巧設鏈式情境，妙促素養提升
——以軸定圖之最短路徑問題

北京教育科學研究院 丁明怡

北京市興華中學 張素香

北京市大興區教師進修學校 師春紅

一、教學背景分析

（一）內容分析

以人教版第十三章第4節課題學習最短路徑問題為基礎，研究實際情境問題，利用軸對稱性質解決“最短路徑問題”。學生將實際問題抽象成數學問題，體會數學的應用價值，初步了解數學轉化的方法。

（二）學情分析

學生已學過“軸對稱性質”“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，以及有關平移的基本知識。已有了圖形變換以及數學模型構建的意識，獲得了初步數學轉化思想活動的技能，具備了主動參與、合作交流、分析歸納、猜想驗證的能力。

（三）教學目標

（1）能利用軸對稱性質將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題，解決最短路徑問題；（2）在探索數學模型過程中，體會圖形的變化、軸對稱的“橋梁”，形成幾何直觀思維，利用數學模型解決最值問題，感悟轉化思想；（3）體驗數學活動的探索性和創造性，培養獨立思考、合作交流等學習習慣，形成實事求是的科學態度。

（四）教學重難點

重點：用軸對稱性質解決實際問題中的最短路徑問題；難點：體會圖形的變化在解決實際問題中的作用，感悟圖形類比轉化的思想。

二、教學過程

（一）創設情境，動手操作

活動1 創設情境

課堂引入設計：以“視力檢查實錄”（見圖1）的實際情境引入，由學生介紹學校近期視力檢查情況，對視力檢查的場地問題提出質疑，針對實際問題向學校“建言獻策”，在提出方案的過程中遇到問題，引入本節課。

圖1

學生活動：學生團隊提出建言獻策。

學生1：校園內視力檢查過程中，你發現了哪些不合理的問題？

學生2：場地過小，存在擁擠現象。

學生3：等待過程中有部分同學背書包，負擔過重。

活動2 建言獻策

學生1：基于上述問題，我們設計了改進方案，并向學校建言獻策，錄制了現場模擬的視頻，請大家幫我們分析、幫助解決。

學生1展示“建言獻策”（方案一，見圖2）：

圖2

學生1追問：視力檢查的流程是什么？簽到處設在什么位置才能使得路線最短？

集合—→簽到處—→視力檢查

學生4：很明顯，兩點之間線段最短，將簽到處設在兩點連線與甬路交點處，路線最短。

學生1展示“建言獻策”調整（方案二，見圖3）：由于等待檢查的隊伍排在甬路上不安全，做以下調整（見圖4）。

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

圖16

圖17

圖18

圖19

學生1：調整后簽到處設置在什么位置更合適呢？請同學們幫助我們解決。

設計意圖：以學生親身感受、熟悉的實際情境引入，貼近學生生活。學生通過設計方案、錄制模擬視頻、合作分工、步測記錄，研究生活情境問題，使學生逐步感知用數學的眼光觀察現實世界，進一步用數學思維思考現實世界。

（二）依托情境，抽象問題

活動3 探究模型

問題1：如何將方案二，從文字語言、圖形語言和符號語言角度，轉化成數學問題？

教師活動：引導學生嘗試作圖探究：在直線上確定一點，使它到兩定點的距離和最小。

學生作圖探究：

（預設：學生作圖會出現多種情況的折線，可引導學生用直尺測量、比較。）

問題2：在多條折線中，哪種路線和最短？

學生5：作垂線段，再連線最短。

學生6：作線段AB的垂直平分線，與直線l的交點，此時線段和最短。

教師活動：用幾何畫板演示，通過數據測量、觀察、比較線段和，最終確定動點的位置，學生直觀感受將直線同側兩點變為異側兩點，研究“最短路徑問題”。

設計意圖：從學生已有知識和生活經驗入手，通過動手繪圖、思考、操作、感悟、歸納，進一步感知實際情境問題數學化，以數學的視角研究生活實際問題，在探究過程中培養數學能力。

（三）觀察歸納，探究問題

活動4 驗證模型

問題3：針對方案二進行探究：點A、B分別是直線l同側的兩個點，點P在直線l的什么位置時，AP＋BP最短？

學生7：所學過的最短問題有：兩點之間線段最短；點到直線，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等。

學生8：在作圖過程中，我發現作點B關于直線l的對稱點，再連接對稱點與A點，連線與直線的交點就是動點P的位置。

教師追問：為什么作對稱點后，此時的交點就是動點P的位置？

學生9：我利用軸對稱的性質作對稱點，將同側的兩點變為異側兩點，再利用兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊，所以作對稱點確定點P時，路徑最短。

得出數學模型：

設計意圖：在研究情境問題中，先研究異側點再研究同側點，幫助學生更直觀地感受“線段和最小”，化未知為已知、化“同側”為“異側”、化折為直，為學生進一步理性思考問題做好鋪墊。

（四）感受新知，加深理解

活動5 方案探究

學生1追問：（方案三）如何解決同學背書包問題？

教師活動：首先將實際問題轉化為數學問題。

圖形語言：當集合點、視力檢查點固定時，簽到處如何設置，使同學所走路線最短？

符號語言：

已知：直線l1、l2交于O，及定點A、B。

求作：直線l2上動點M，使的值最小。

教師追問：此時提出視力檢查點設在草叢旁，與方案二有什么聯系？

學生10：點A、B還是定點，點P是動點，此時是求△ABP的周長，可按方案二解決。

問題4：學生1追問：（方案四）在方案三的基礎上，若集合點不變，視力檢查點設在草坪旁，那么簽到處和視力檢查點設在什么位置，使同學檢測完再背書包的路線最短？

學生11：此時只有一個定點，要確定兩個動點的位置，可以作兩次點A的對稱點解決。

作圖：

設計意圖：方案三“化折為直”解決“兩定點一動點”的最短路徑問題，并解決學生建言獻策中提出的實際問題。方案四在研究“2定＋1動”的基礎上，進一步研究“1定＋2動”求最短路徑，為學生的知識理解、層次遞進，數學能力上逐步提升。

（五）拓展延伸，提高能力

活動6 巧用模型

問題5：若草坪所在直線與甬路所在直線的夾角是30°，點O、A的距離是6米，那么同學所走的最短路線是多少？

師生活動：利用方案四的方法，構造等邊三角形進行解決。

設計說明：本節課的設計原題：

（2018年山東濱州）如圖，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內的定點且OP＝，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是（ ）。

原題變式：

已知：∠DOE＝30°，A為∠DOE內部一定點，OA＝6，M、N分別為OD、OE上的動點，求△AMN周長的最小值。

設計意圖：將實際情境問題轉化為數學問題，用數學語言予以表達，并用所學數學知識解決。

（六）提煉總結，收獲感悟

活動7 通過“路徑最短”問題探究及方案解析，你收獲了什么？談談你對最短路徑問題的認識。

師生活動：學生思考、討論、整理，教師引導歸納，知識形成系統，思維能力得到提升。

設計意圖：總結過程中，學生積極主動參與，通過研究實際情境問題，探究數學模型的過程中，動手動腦，交流中感悟，研究中提升，培養幾何直觀、模型觀念等數學素養，感受化歸等數學思想方法的科學態度。

（七）作業設計，關注收獲

基礎性作業：完成書上基礎練習

跨學科作業——物理反射問題：在成直角的兩面墻上放兩面鏡子，使從A點發出的一束光線經過鏡子反射到點B的路線最短。

拓展性作業：完善“建言獻策”內容，為學校提出合理化建議，并與同學進行分享。

設計意圖：設置分層作業，學生根據實際需要進行自主選擇，針對每位學生的學業基礎和學習能力有針對性地訓練，設置跨學科和“建言獻策”作業，將課堂持續化，兼顧不同層面的學生知識理解與獲得，在現有的基礎上得到最大限度的提升。

三、結語

整節課以一道中考題改編成學生熟悉的生活問題，學生在逐層遞進中完成對知識的學習探索，利用數學綜合實踐活動在培養學生的應用意識、創新能力，注重引導學生獨立思考、學會思考、發現問題、提出問題、解決問題、學以致用，將創新意識、實踐能力的培養貫穿數學活動的始終，為學生的終身發展和適應時代的需要打下堅實基礎。