研學巧鑒典韻，素養深植情境
——等腰三角形在確定生活中方向問題的應用

北京教育科學研究院 丁明怡

北京市興華中學 張 蕊

北京市大興區教師進修學校 鮑 靜

一、內容分析

幾何直觀是初中階段核心素養的主要表現之一。本節課重在落實如何“根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質，利用圖形分析實際問題，探索解決實際問題的思路”。

本部分內容是前期所學知識的深化與拓展，是聯系現實生活，培養學生應用意識和創新能力的良好紐帶，具有重要的現實意義。

本節課是基于中國古典著作《淮南子·天文訓》中的一段文字記載（見圖1），在此基礎上設計的一節應用課。其文化背景彰顯了數學的魅力，與地理學科的結合，體現了數學作為基礎學科的作用。

圖1

二、學情分析

八年級學生的形象思維能力較強，喜歡通過觀看圖片或視頻，小組合作交流，動手實驗等方式進行數學學習。

學生在閱讀實際背景下的文字材料，缺少專注力和提取主要信息的能力，從實際情境中抽象數學圖形的意識和能力薄弱。本節課為文化背景下的一節數學應用課，文字語言較多，描述的活動比較抽象，學生缺少豐富的學習經驗，因此本節課教師設計了演示視頻和小組討論等活動來輔助學習。

三、教學目標

（1）應用等腰三角形知識解決簡單的實際問題。

（2）經歷將實際問題抽象出幾何模型并解決問題的過程。探索在實際情境中從數學的角度提出問題，運用多種學科知識解決問題的方法。

（3）感受數學的應用價值，培養合作交流、動手實踐、反思質疑的學習習慣，發展幾何直觀能力。

四、教學重難點

教學重點：應用等腰三角形的知識解決實際問題。

教學難點：根據語言的描述準確畫出幾何圖形。

五、教學過程

（一）創設情境，提出問題

教學內容：引入本節課的主題——利用“立桿驗影”法確定平面內的方向。

問題1

（姜子藝同學）在剛剛結束的校運動會上，各班的方隊和精彩紛呈的展示活動，展現了各班同學朝氣蓬勃的精神面貌，令人印象深刻（見圖2）。

圖2

運動會結束后，我一直在思考一個問題，希望同學們幫助我想想該如何解決。各班同學在入場時，為了保證各班方隊以“由北向南”的方向前進，都借用了操場上的指向南北方向的跑道線入場，如果在操場上沒有跑道線的地方進行展示時，又該如何畫出這條南北方向的直線呢？

學生活動：觀看照片，回顧與交流生活中確定方向的方法。學生能想到的方法很多，比如觀察太陽、北斗星的位置，觀察建筑的朝向等。

教師活動：教師對學生的方法進行歸納，引出本節課的主題。

生活中有很多確定方向的方法，觀察太陽所處的方向是人們熟知的一種辨別方向的方法。回顧前面的問題，如果站在操場上觀察太陽來確定方向，我們并不能十分準確地確定操場上的東西或南北方向。今天這節課我們來學習一種新的確定平面內方向的方法——“立桿驗影”法。

設計意圖：選擇熟悉的、貼近現實的、真實可信的情境和學生感興趣的話題引入，利于降低學生的陌生感，激發學生的求知欲，深刻體會數學知識來源于生活。

（二）方法初探，解決問題

教學內容：完整經歷應用“立桿驗影”法確定平面內的方向的過程。

問題2

日出時太陽所處方向是____，桿的影子所指方向是____方向；日落時太陽所處方向是____，桿的影子所指方向是____方向。

學生活動：

（1）全班同學觀看常樂同學課前拍攝的陽光下如何“立桿”的視頻（見圖3），了解“立桿”的方法，理解太陽、桿、桿的影子的關系。

圖3

（2）學生思考生活中太陽日出和日落的方向，通過閱讀和分析《淮南子·天文訓》中的日出和日落的方向與節氣的關系的相關記載，全班交流后解決用方位角表示日出和日落時太陽所處方向的問題。

《淮南子·天文訓》一章中相關記載譯文如下：

冬至時，太陽從東南方升起，向西南方落下，夏至時太陽從東北方升起，向西北方落下，春分和秋分時，太陽從正東升起，正西落下。

（3）利用太陽、桿、桿的影子的關系，全班交流后解決用方位角表示桿的影子的方向問題，學生板書作圖。

設計意圖：初步感受將實際生活問題轉化為數學知識，培養學生在實際情境中提出和發現問題的能力。觀看本班學生拍攝的演示視頻，更加貼近學生的現實、感受此方法的真實可信，更利于學生從現實情境中學習數學知識與方法。

問題3

日出時，若在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著這根桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），點B處立第二根桿；日落時，沿著第二根桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立第三根桿，連接AB，BC和CA。

想一想：圖中的幾何圖形是________，你判定的依據是____________________________________________。

師生活動：

（1）學生自主閱讀并獨立思考作圖，再板書分享。

（2）教師組織全班交流討論，確定圖形的準確形狀，如圖4。在作圖過程中，根據兩次測量的距離都是十步，很容易確定圖形的形狀是等腰三角形。但是部分學生作圖時沒有考慮到日出與日落時桿的兩條影子的夾角是一個銳角，導致所畫三角形不準確，如圖5所示。

圖4

圖5

設計意圖：經歷將實際問題抽象出幾何圖形的過程，鍛煉學生的閱讀能力和準確作圖的能力，培養學生的空間觀念和幾何直觀能力，養成實事求是的科學態度。

問題4

確定CA的中點D，你的方法是什么？

師生活動：教師提出問題，學生獨立完成作圖后全班分享（見圖6）。

圖6

設計意圖：訓練學生多種方法作圖，鼓勵學生從不同角度解決問題，提高作圖能力和獨立分析問題的能力。應用等腰三角形的性質證明所作點為中點時，提高學生的語言表達的能力。

問題5

如圖7，若確定了直線DB表示的方向為東西方向，那么直線CA表示的是什么方向呢？為什么？

圖7

圖8

圖9

師生活動：回顧課前引入的問題并交流，教師引導學生將數學知識中直線的垂直與生活中方向中的垂直相結合，進而解決問題。

設計意圖：訓練學生用數學的語言表達，鍛煉獨立思考和解決問題的能力。感受實際問題與數學問題的互相轉化，體會方法中所蘊含的數學知識和思想方法。

（三）方法再探，深化理解

教學內容：小組合作進一步探究“立桿驗影”法，從測量工具和測量時間兩個方面設計改進方案。

問題6

回顧“立桿驗影”法確定平面內方向的過程，我們應用了哪些數學知識解決的實際問題呢？

師生活動：

回顧“立桿驗影”法解決問題的過程，并進行歸納和總結。

設計意圖：總結方法，梳理思路，為后續進一步探究做準備。

問題7

在學習了“立桿驗影”法之后，如果在操場上沒有跑道線的地方畫出南北方向的直線，你會自己選擇哪些工具和時間呢？

師生活動：

（1）常樂同學在了解了“立桿驗影”法之后，利用周末去體驗了一下這個方法并錄制了視頻，課堂上與全班同學分享視頻后，交流了他在操作過程中遇到的困難。

（2）全班同學圍繞測量工具和時間的改進展開討論。

（3）針對測量時間的改進問題，由于學生缺少相關的生活經驗，教師給學生展示了一些不同時間時陽光下桿的影子的照片，引導學生歸納影子的角度的變化規律，進而設計改進方案。

參考：下面三幅圖分別展示了同一天中三個時刻桿的影子。

設計意圖：在對問題解決與數學思想深度理解的基礎上，體會數學發現與探究的樂趣，對問題中蘊含的規律進一步進行探究，養成合作交流和質疑的學習習慣，鍛煉學生語言表達的能力。

（四）總結反思，歸納提升

教學內容：對本節課所學的知識和學生的收獲進行總結。

師生活動：

（1）教師首先引導學生從知識層面對本解課進行小結。

（2）有人說，數學素養是一個新時代公民應當具備的基本素養，你同意這種說法嗎？教師引導學生談談對以上觀點的理解。

（3）教師介紹“立桿驗影”這種方法的出處，對學生進行“數學史”方面的教育。

設計意圖：

從知識的應用、問題解決的過程、題目涉及的文化背景三個方面對本節課進行了梳理和總結。梳理知識的同時，歸納了解決問題的方法，提升了學生對數學學習的認識。

（五）布置作業，拓展提高

A層（鞏固基礎）

《周髀算經》中記載了一種確定東南西北方向的方法，大意是：（題目略）

B層（課后實踐）

繼續完善“立桿驗影”法改進方案，課后小組驗證各組的方案。

設計意圖：分層布置作業，讓基礎比較薄弱的學生鞏固知識和方法的應用，有所收獲。完善和檢驗本組的改進方案這項作業作為課堂學習的深化和延伸，承擔著提升學生的學科素養的作用。如果由一個學生來完成會過于復雜，因此需要分工合作和多視角探究，從而真正發揮學生的創造力，提高他們的團隊合作的能力。