立足身邊事，書好數(shù)學(xué)情
——一元二次方程在利率問(wèn)題中的應(yīng)用

北京教育科學(xué)研究院 丁明怡

北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校 曲 靜

北京市朝陽(yáng)區(qū)教師發(fā)展學(xué)院 張 東

一、教學(xué)內(nèi)容分析

（一）內(nèi)容分析

本節(jié)課是“23．1實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程”的第一節(jié)課，在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用、思想方法的滲透、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)等方面有著很重要的示范和引領(lǐng)作用。教學(xué)中以課本為參考，以結(jié)構(gòu)化、情境化、活動(dòng)化為原則創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，討論如何用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程（組）解法及其應(yīng)用；一元二次方程的解法；對(duì)列代數(shù)式、建立數(shù)學(xué)模型、尋找實(shí)際問(wèn)題中的等量（不等）關(guān)系有一定的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的總結(jié)歸納的能力，但還是有一部分學(xué)生反饋，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)不能找出各要素之間的關(guān)系，建立正確的數(shù)學(xué)模型有很大困難。因此筆者在教學(xué)中以學(xué)生的認(rèn)知為前提，在情境中提出問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題，讓真實(shí)情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題相結(jié)合，從而讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（三）教學(xué)目標(biāo)

（1）能根據(jù)借款問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，并知道要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理；（2）經(jīng)歷將借款問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并建立一元二次方程模型解決利率問(wèn)題的探究過(guò)程，體會(huì)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型觀念；（3）感受用一元二次方程模型描述“利率問(wèn)題”數(shù)量關(guān)系，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，體會(huì)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，培養(yǎng)勇于探究的精神；（4）從數(shù)學(xué)角度體會(huì)加強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)金融管理的必要性，滲透社會(huì)主義核心價(jià)值觀。

（四）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：建立一元二次方程模型解決“利率”問(wèn)題；難點(diǎn)：理解題意，建立正確的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）借助情境，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

情境引入：

網(wǎng)絡(luò)借貸是互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)下新生的借貸模式，由于其簡(jiǎn)單的審核、高速的放款吸引了不少年輕人借貸，可最終還是有人付出了沉重的代價(jià)。廣州某高校大二的學(xué)生小金就深受其害，3個(gè)月的時(shí)間，她借的2000元錢在精心設(shè)計(jì)之下，利滾利竟變成了總欠款達(dá)11萬(wàn)多。

2017年12月小金因?yàn)榧毙栌缅X，在網(wǎng)絡(luò)上查找到一家自稱專門為在校學(xué)生提供借貸的網(wǎng)絡(luò)APP平臺(tái)L。平臺(tái)L稱貸款的周利率是30%，但是采取借一押一的方式，就是如果一周內(nèi)還不上借的2000元，欠款就變成4000元。小金當(dāng)時(shí)認(rèn)為自己有兼職工作，一周能還上欠款及利息，但事實(shí)是沒(méi)有還上。于是小金在平臺(tái)L的介紹下又通過(guò)別的APP平臺(tái)借錢，用借來(lái)的錢還平臺(tái)L的款，但還錢時(shí)只能先還欠的利息，利息還完后才能還本金。3個(gè)月后，雖然小金已經(jīng)還了2萬(wàn)多但是總欠款額已經(jīng)達(dá)到了11萬(wàn)多。無(wú)奈之下小金只能告訴父母，讓父母幫助來(lái)解決問(wèn)題。

教師追問(wèn)：上面的案例中，很顯然小金掉進(jìn)了網(wǎng)絡(luò)金融陷阱了，在現(xiàn)實(shí)中類似小金這樣的案例很多。你覺(jué)得一般情況下借款后需要償還的還款總額與哪些因素有關(guān)？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并發(fā)表自己的看法，教師肯定學(xué)生分析的原因，并逐漸引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉成數(shù)學(xué)因素。

學(xué)生1：與利率的多少有關(guān)。

學(xué)生2：與貸款總額和貸款的時(shí)長(zhǎng)也有關(guān)。

學(xué)生3：還與計(jì)算利息的方式有關(guān)，比方說(shuō)是單利計(jì)算還是復(fù)利計(jì)算，是不是需要“利滾利”。

學(xué)生4：與還款的方式也有關(guān)，還要看是向誰(shuí)借的錢，如果不是正規(guī)渠道可能還有一些額外的條件。

教師：同學(xué)們說(shuō)得都很好，概括起來(lái)實(shí)際還款總額一般與借款本金、借款期限、借款利率和還款方式等因素有關(guān)。當(dāng)然以上只是一種理想化的數(shù)學(xué)分析，影響實(shí)際還款總額的因素可能還有很多。

設(shè)計(jì)意圖：（1）創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，引發(fā)學(xué)生對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思考；

（2）分析影響還款總額的因素，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)思維分析現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

（二）分析問(wèn)題，理解題意

教師提問(wèn)：如果平臺(tái)沒(méi)有要求小金“借一押一”，借款本金只是2000元，按照上述周利率30%計(jì)算，其間沒(méi)有提前還款的情況下，“利滾利”兩周后小金要還款總額是多少？

師生活動(dòng)：教師出示情境，學(xué)生先獨(dú)立思考然后回答上面的問(wèn)題。

學(xué)生1：借款利息＝本金×利率×借款時(shí)間，因?yàn)槭前凑罩芾视?jì)算，所以兩周后小金的還款總額是本金加利息，即3380元；

學(xué)生2：兩周后總還款額是3380元，首先在第一周后利息是600元，還款總額是2600元，因?yàn)槭恰袄麧L利”即“復(fù)利”，所以在第二周時(shí)借款本金就變成了2600元，即第一周的利息變成第二周本金的一部分，也會(huì)生成利息。所以兩周后還款總額是3380元；

為了幫助學(xué)生理解每一周應(yīng)還款總額的構(gòu)成情況，教師做演示如下（見(jiàn)表1）：

表1 每周應(yīng)還款總額的構(gòu)成

設(shè)計(jì)意圖：以現(xiàn)實(shí)情境為背景，拉近學(xué)生與實(shí)際問(wèn)題的距離，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。以具體的借款金額、借款利率、借款時(shí)間為例，解釋“利滾利”的意思，幫助學(xué)生解除理解上的困惑，加深對(duì)問(wèn)題的理解，從而為后面建立一元二次方程模型做好鋪墊。

教師追問(wèn)：如果按照上述條件，小金在前三周里都沒(méi)有還款，那么在第三周后小金的還款總額應(yīng)是多少？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并解決問(wèn)題，師生達(dá)成共識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：再一次感受題意，檢驗(yàn)學(xué)生是否理解。

（三）提煉模型，解決問(wèn)題

探究：小金畢業(yè)后就參加了工作，但試用期工資很少且不提前發(fā)放，所以日常開(kāi)銷就成了問(wèn)題。她吸取上學(xué)時(shí)的教訓(xùn)，決定向爸爸借5000元錢。但爸爸為了激勵(lì)小金，決定按月（不足一個(gè)月時(shí)按一個(gè)月計(jì)）復(fù)利計(jì)息（即“利滾利”），如果2個(gè)月試用期滿后一次性還清本息，則小金需還給爸爸6050元。那么爸爸向小金收取的月利率是多少？

分析：設(shè)每月利率為x，用代數(shù)式表示，第一個(gè)月后的利息為_(kāi)_____元，應(yīng)還款總額為_(kāi)_____元，第二個(gè)月后的利息為_(kāi)_____元，應(yīng)還款總額為_(kāi)_____元。

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考然后組內(nèi)討論，分析問(wèn)題并解決問(wèn)題，按照分析的提示討論完成代數(shù)式的表示部分，找到關(guān)系并列出方程，教師鼓勵(lì)學(xué)生講出自己的困惑，逐步讓學(xué)生分析找出等量關(guān)系并列出方程。

解：設(shè)每月的利率是x

解得x1＝0．1，x2＝－0．12（不合題意，舍去）

答：每月的利率為0．1，即10%。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)理想化的模型用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，并能根據(jù)實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性，從而初步感知模型的建立過(guò)程。讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的基本途徑，從現(xiàn)實(shí)生活中或具體問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，也就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

問(wèn)題1：如果按照上面的利率計(jì)算，經(jīng)過(guò)三個(gè)月后小金一次性還完本息，那么她最終還給爸爸多少錢？

答：經(jīng)過(guò)三個(gè)月后小金還給爸爸6655元。

師生活動(dòng)：學(xué)生計(jì)算出3個(gè)月后的還款總額，感知如果不盡早還款，隨著時(shí)間的推移；按上述方式還款的話，還款總額會(huì)非常大。教師讓學(xué)生復(fù)盤還款總額的計(jì)算過(guò)程。

（四）類比探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問(wèn)題2：如果借款本金為m元，每月的利率為x，按照“復(fù)利”計(jì)算，一次性還清本息且期間不還款，則經(jīng)過(guò)n個(gè)月后還款總額為_(kāi)_____元。

設(shè)計(jì)意圖：本部分內(nèi)容是探究的延伸內(nèi)容，目的是讓學(xué)生把問(wèn)題思考更進(jìn)一步，體會(huì)模型思想。因?yàn)樯婕暗哪Ｐ统^(guò)了2次，所以這里沒(méi)有要求學(xué)生列方程解決實(shí)際問(wèn)題，只是要求學(xué)生列出代數(shù)式，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，體會(huì)模型的意義。

（五）思維拓展，提高能力

問(wèn)題3：由于小金努力工作，在向爸爸借了5000元滿一個(gè)月后拿到一筆獎(jiǎng)金，小金非常高興當(dāng)天就還給爸爸2000元。又過(guò)了一個(gè)月后，小金又給了爸爸4800元作為還款。那么，如果按照“復(fù)利”計(jì)算，小金付給爸爸的平均月利率是多少？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并給出解法，在討論中學(xué)生爭(zhēng)議比較大的是第二個(gè)月開(kāi)始時(shí)的本金怎么表示，經(jīng)過(guò)師生的共同討論后，學(xué)生明白了該如何計(jì)算。

解：設(shè)平均月利率為x

解得x1＝0．2，x2＝－1．8（不合題意，舍去）

答：平均月利率為0．2，即20%。

設(shè)計(jì)意圖：在探究的基礎(chǔ)上設(shè)置不同層次的問(wèn)題，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行變式，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，進(jìn)一步用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，從而也讓學(xué)生感知“高利率”借款的可怕。

（六）小結(jié)反思，提升認(rèn)識(shí)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所探究?jī)?nèi)容，并提出下面的問(wèn)題。

問(wèn)題：本節(jié)課在探究“復(fù)利”借款問(wèn)題時(shí)，都經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？你有哪些收獲和感悟？你對(duì)一元二次方程的作用有哪些體會(huì)？

學(xué)生1：經(jīng)過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)借貸問(wèn)題也可以變成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)研究，可簡(jiǎn)單也可以復(fù)雜，并理解了其中的借款本金、借款利率、借款期限、還款方式等對(duì)最后還款額的影響，還有列方程可以解決一些實(shí)際問(wèn)題。

學(xué)生2：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我體會(huì)到網(wǎng)絡(luò)借貸陷阱的可怕，自己一定要保持清醒的頭腦，在自己能力范圍內(nèi)理性消費(fèi)。

學(xué)生3：我知道了該怎么列一元二次方程解“復(fù)利”問(wèn)題，一定要清楚借款時(shí)的本金和利率是多少，還款方式是什么樣的……

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)思考、交流讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行回顧，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力。教師可以從學(xué)生的總結(jié)中提煉本節(jié)課的一些核心關(guān)鍵詞，如一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題、列式、檢驗(yàn)等。總結(jié)過(guò)程中，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與，在研究情境問(wèn)題中探究建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，動(dòng)手動(dòng)腦，交流中感悟，研究中提升，培養(yǎng)模型觀念等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（七）作業(yè)及目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

小金將2萬(wàn)元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1萬(wàn)元用于教育投入，剩下的1萬(wàn)元及所得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款利率不變，到期后本金和利息一共1．32萬(wàn)元，則這種存款方式的年利率是多少？

設(shè)計(jì)意圖：為了促進(jìn)學(xué)生更好地理解利率問(wèn)題，作業(yè)題保持了與課堂一致的情境，是課堂問(wèn)題的續(xù)延，但在問(wèn)題中加入了新的影響元素，思維力度各有不同，多層次多角度地拓展學(xué)生的思維。

三、反思

本節(jié)課依托問(wèn)題情境，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型、求解模型、驗(yàn)證反思的過(guò)程，形成模型觀念。其中在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境方面具有以下四個(gè)特點(diǎn)。

一是情境的真實(shí)性。本節(jié)課以網(wǎng)絡(luò)上比較熱的網(wǎng)絡(luò)貸款為大背景，以真實(shí)故事為情境，探討利率問(wèn)題，源于實(shí)際的案例激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)就在身邊。

二是情境中問(wèn)題的挑戰(zhàn)性。創(chuàng)設(shè)情境后，教師并沒(méi)有直接給出具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是提出具有一定真實(shí)性、復(fù)雜性的思考問(wèn)題“你覺(jué)得一般情況下還款總額與哪些因素有關(guān)？”通過(guò)這一問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分析數(shù)據(jù)的規(guī)律性。

認(rèn)識(shí)到在建立數(shù)學(xué)模型研究一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，通?？梢韵葟挠绊懘藛?wèn)題的有關(guān)因素入手進(jìn)行分析，明確了影響因素后方能有的放矢，建構(gòu)有關(guān)模型。這一問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生有一定挑戰(zhàn)性，引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，也給學(xué)生指明了數(shù)學(xué)建模的思考方向。

三是情境中問(wèn)題的發(fā)展性。本節(jié)課圍繞借款情境，教師提出一系列拓展性問(wèn)題。從已知借款本金、借款利率、借款期限，求還款總額，到反過(guò)來(lái)已知借款本金、借款期限、還款總額，求借款利率；從具體數(shù)字規(guī)律，到一般字母規(guī)律；從一次性還款到提前部分還款，圍繞一個(gè)情境，不斷提出思維進(jìn)階性問(wèn)題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷運(yùn)用代數(shù)式、方程等模型解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)不同模型的應(yīng)用條件，增強(qiáng)學(xué)生建立模型表達(dá)數(shù)量關(guān)系、解決問(wèn)題的能力，感悟“數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)真實(shí)世界的工具、方法和語(yǔ)言”。

四是情境的育人價(jià)值。本節(jié)課選取發(fā)生在校園里的真實(shí)案例為情境，讓學(xué)生充分感知發(fā)生在身邊的網(wǎng)絡(luò)陷阱的可怕，它提醒自己時(shí)刻保持清醒頭腦、辨別真?zhèn)?、理性消費(fèi)，不僥幸不貪小利，用自己的智慧和勞動(dòng)換取自己想要的生活，從而也體會(huì)到了國(guó)家對(duì)網(wǎng)絡(luò)管理的必要性與合理性。

核心素養(yǎng)是學(xué)生在認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的關(guān)鍵能力與必備品格。因此核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開(kāi)真實(shí)問(wèn)題，讓我們一起注重情境設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)在與真實(shí)問(wèn)題有關(guān)的活動(dòng)中逐步得到發(fā)展。