基于改進分段Knothe函數的山區開采地表沉陷動態預計模型*

張力杰 盛 平 鄭 誠

（1.山東能源集團有限公司；2.中國礦業大學力學與土木工程學院；3.杭州杭港地鐵有限公司）

據統計，國內大型生產礦井“三下”壓煤量接近138億t，各礦區建筑物下壓煤問題極其嚴重［1］。我國山西、重慶、云南等地不少礦區地貌為山地、丘陵地，受地形地貌影響，采動引起的坡體滑移、地表裂縫等災害對地表建筑物有著較強的破壞性影響。對建筑物進行維修、及時釋放采動變形引起的附加應力、控制地下開采對建筑物的破壞程度，是建筑物下壓煤開采的重要技術途徑。地表沉陷預測，尤其是動態沉陷預測是建筑物維修、加固方案設計的重要前提。

我國地表沉陷預測常見的方法包括典型曲線法、影響函數法、數值計算方法等，目前基本形成了以概率積分法為主體，多種沉陷預測方法共同發展的局面。總體而言，針對平原地區下煤層開采的地表沉陷的動態、靜態預計都較為成熟，基于概率積分法與動態時間函數相結合的沉陷預測方法在各礦區獲得了廣泛應用［2-3］。山區地表沉陷預測目前主要采用《建筑物、水體、鐵路及主要井巷煤柱留設與壓煤開采規范》中推薦的山區地表沉陷模型，模型能夠較好預測山區開采地表靜態沉陷情況。山區開采沉陷動態預測仍缺少有效的方法。

為了實現較高精度的山區開采沉陷動態預計效果，本文在山區開采沉陷滑移模型的基礎上，采用理論研究和實測研究相結合的方法，首先評估傳統Knothe函數進行開采沉陷動態預測的效果；在此基礎上，采用分段函數方法對Knothe函數進行改進，以達到工程精度需求。

1 山區開采沉陷動態預計理論

1.1 山區開采沉陷滑移模型

地形地貌產生的附加滑移是山區地表移動與變形相對平原區域不同的主要原因。何萬龍［4］根據實測數據分析，求解各觀測點的滑移分量以及變形值，分析總結山區復雜地形地質條件下工作面開采引起的變形分布規律，提出山區地表移動疊加原理。

依據山區地表移動疊加原理，山區地表下工作面開采任意點的下沉值，等價于相同地質條件平地下任意點的下沉值與采動滑移垂直分量的疊加，該任意點的水平移動值等價于相同地質條件平地下水平移動值與采動滑移水平分量的疊加。山區地表下任意點下沉值W'(x)和水平移動值U'(x)的預計公式為

式中，W'(x)和U'(x)分別為山區地形下工作面開采引起的地表點下沉值與水平移動值，W(x)和U(x)分別為相同地質條件下平地地形下工作面開采引起的地表點下沉值與水平移動值，ΔW(x)和ΔU(x)分別為受地形影響引起的滑移下沉與水平移動分量。

1.2 山區開采動態下沉過程

以工作面走向主斷面為例，通常動態預計區間的劃分取決于工作面開采長度或開采單元的回采時間，若將開始時刻t=0定于開切眼處開采時，第1個開采單元的開采時間為t1，其開采速度定義為v1，則第一個開采單元的單元長度為v1t1，同理若將第n個開采單元的開采時間定義為tn，開采速度為vn，則其開采單元長度為vntn。t時刻當n個開采單元開采后，地表某點的動態移動變形由每個單元開采造成的動態移動變形值疊加而成［5］。

第1個開采單元引起的地表下沉計算公式為

第2個開采單元引起的地表下沉計算公式為

則第n個開采單元引起的地表下沉計算公式為

式中，W'i表示山區地形下第i個單元開采引起地表某一點的穩態下沉。假設每個開采單元的開采時間相同，則可推導出山區開采地表動態移動與變形公式。

山區地形下工作面開采引起的地表動態下沉為

式中，W(xi-1)-W(xi)為相同地質采礦條件平地下工作面第i個單元開采引起的地表下沉值，mm；Dx為山區采動滑移系數；α為地表趨勢面傾角；P(xi)為滑移函數；n為t開采時刻的單元個數。

山區地形下工作面開采引起的地表動態水平移動值為

式中，U(xi-1)-U(xi)為相同地質采礦條件平地下工作面第i個單元開采引起的地表水平移動值，mm。

2 時間函數的選取

現有的各類時間函數基本能夠描述地表的實際動態下沉過程，其中Sroka-Schober時間函數實現的下沉速度變化趨勢與現有下沉理論相符合，但該函數的下沉速度變化曲線高度不對稱，導致整個地表下沉過程中的預計效果并不理想。廣義時間函數增加了一個參數A，提高了函數適應性，但其函數圖像不能較好地符合現有下沉理論。Logistic增長模型時間函數描述的地表下沉、下沉速度和加速度與實際情況相符，但其模型參數缺乏明確的物理意義。上述時間函數具有各自的優缺點，難以直接選取適當的時間函數，因此本文針對應用最為廣泛的Knothe時間函數著手進行分析研究。

2.1 Knothe時間函數的分析

波蘭學者Knothe在1952年提出了Knothe時間函數，假設某一時刻的地表下沉速度與地表最終的靜態下沉值W0和t時刻的動態下沉值W（t）之差成比例［6-7］：

式中，t為預計時刻到工作面開挖時刻的時間長度；W（t）為t時刻地表動態下沉值，W0-W（t）為t時刻到地表沉陷穩定后的潛在下沉量，c為模型參數，也稱時間常數，它的取值與采空區上覆巖層的物理力學性質密切相關。

根據初始時刻開釆邊界條件：t=0，W（t）=0，對式（7）進行積分，可推導出

上述公式是Knothe時間函數計算地表動態下沉的表達式，令時間函數φ(t)=1-e-ct，則上式可表示為

上文中Knothe時間函數的函數圖像表達了工作面開采后地表點所經歷的下沉過程，當t=0時，表示地表點還未下沉，隨著時間增加，地表點下沉量逐漸增大，時間t趨于無窮時，則認為地表下沉達到了最大值。有學者指出，其函數的一階導數反映了工作面開采過程中地表下沉的速度變化趨勢，地表下沉加速度變化趨勢則與其二階導數對應。如圖1所示，繪制了其函數圖像、一階導數和二階導數圖像。

根據工作面地質采礦條件等因素，通過調整時間系數c，以此控制時間函數的取值到達預期的效果。圖2給出了地表點下沉量隨著不同取值的時間系數c的變化情況。當地表最終下沉量W0設為固定值時，隨著時間系數c的增加，地表點下沉到穩定期所需的時間逐漸減少，下沉過程中同一時期的地表點下沉量也隨之增大。總而言之，時間系數c的取值反映了工作面開采過程中地表點下沉速度的快慢，取值越大則地表點下沉持續時間越短，下沉過程越劇烈。

但在實際開采過程中，基于Knothe函數的動態預計效果并不理想。對于這個問題，相關研究表明：在工作面采動初期，地表點的下沉速度較小，此時下沉量緩慢增加，但隨著開采的進行，下沉速度逐漸增大，地表下沉量也在短期內快速增加，進入開采后期，地表點下沉速度逐漸下降，地表點的下沉量開始緩慢增長且逐漸停止增長。這一地表下沉過程與分段時間函數的地表下沉是一個靜止到加速下沉，再到減速下沉至靜止的過程理論相符，因此可考慮采用分段時間函數進行地表沉陷動態預計。

2.2 Knothe時間函數的改進

常占強等［8］通過研究地表點下沉速度的變化規律，提出了采用分段Knothe函數的方法反映地表點的下沉過程，該方法將工作面開采過程中地表點的下沉速度曲線分為兩段，且第一段下沉速度曲線與第二段下沉速度曲線關于τ（地表點達到下沉速度最大所需的時間）處對稱。則地表點下沉速度V與時間t的函數為

式中，V1（t）和V2（t）為下沉速度函數，分別對應著下沉過程的第一階段和第二階段；C為時間函數系數；Ws為最大下沉值；T為下沉總時間。時間函數由式（10）對時間t積分得出下沉時間函數表達式W（t）：

改進后的Knothe時間函數引入了地表點下沉速度最大值所需時間，并以此建立了分段時間函數，其函數曲線如圖3所示，相較于原來的Knothe時間函數，其函數曲線更加符合地表點的動態下沉過程。

相關研究和實測數據結果表明，近水平煤層開采時，地表下沉最大速度出現的時刻，地表下沉值理論應為地表最大下沉值的一半［9］。如圖4所示，當τ值固定，根據不同的參數c繪制改進的Knothe時間函數圖形，其最大速度出現的時刻對應的函數值不為最大值的一半。且選取不同的參數c和τ組合，圖像函數值未收斂于理論值1。因此分段Knothe時間函數仍存在以下問題：下沉速度最大時刻，時間函數值不為理論值的一半，導致實際預測時會出現預計誤差，影響精度；下沉趨于穩定時刻，時間函數的收斂值不為1，導致預計的下沉值將小于理論值。

為解決上述問題，將分段Knothe時間函數優化為如下公式：

對上式進行化簡，可得：

優化后的時間函數圖像如圖5所示，解決了下沉速度最大時刻函數值不為理論值的一半的問題，且選取不同的參數c和τ組合時，函數也最終能收斂于1，解決了實際運用中的函數導致的誤差問題。

3 工程案例

為了評估改進后的山區開采沉陷動態預計模型的精度，采用某礦區3302工作面數據作為驗證，基于改進后的Knothe時間函數結合山區開采沉陷滑移模型預計各觀測點的下沉，結合實測數據進行分析，并與Knothe時間函數的預計結果進行對比。

3302工作面地表總地勢西北高東南低，屬于中低山及山區丘陵地形。走向長2 506 m，傾向長223 m，煤層傾角平均2°，煤層平均厚度5.2 m，工作面走向與X軸方向夾角為6°，煤層平均埋深為280 m。在工作面開切眼一側布置了半走向觀測線和全傾向觀測線，共布設了2條觀測線，如圖6所示。

3.1 基于Knothe函數的動態預計結果精度分析

采用基于Knothe時間函數的模型對觀測點下沉進行了預測，并結合實測數據進行對比分析。以工作面邊界附近的Q17號點和中部的Q22號點為例，對2點的不同期預計值與實測值進行對比，如圖7所示。

分析圖7可以看出，在固定參數基礎上，采用Knothe時間函數進行動態預計時，工作面中部和邊緣的地表點在采動地表沉陷初期，預測結果接近于實測數據，但隨著地表觀測點下沉量的增大，預計值與實測值之間的相對誤差逐漸增大。這表明Knothe時間函數在實踐中存在一定缺陷，其預計結果在地表下沉初期效果較好，但不能很好地反映完整的地表點下沉過程。

3.2 基于改進后的Knothe函數的動態預計結果精度分析

采用基于改進后的Knothe時間函數的模型對觀測點下沉進行了預測，并結合實測數據進行對比分析。以2期（第3期和第7期）地表各觀測點的下沉實測值和預計值，以及Q17和Q22號點的各期下沉實測值與預計值為例，繪制實測值和預計值的擬合曲線直觀對比預計精度，如圖8所示。

為進一步闡明改進Knothe函數動態預測效果，分別計算了傾向線4期動態預測結果與實測數據之間的中誤差，如表1所示。

根據計算結果，地表觀測點各期預計下沉的中誤差最小為33.7 mm，最大為145.2 mm，相對于各期實測最大值的相對誤差最小為3.98%，最大為6.56%，結果表明，基于改進后Knothe時間函數的模型預計結果與實測下沉數據具有較好的一致性，動態預計方法取得了良好的工程實踐效果。

4 結論

（1）Knothe時間函數具有形式簡單，參數易標定的優勢。實測數據驗證結果表明，Knothe時間函數難以完整描述地表點的沉陷過程，在地表沉陷早期擬合效果較好，后期擬合效果較差。

（2）提出一種改進的分段Knothe時間函數模型進行山區地表沉陷動態預測。實測數據驗證結果表明，分段Knothe函數較好地擬合地表沉陷的全過程，地表沉陷最大值預測精度優于7%。