基于數(shù)學知識內(nèi)在聯(lián)系的解題策略探究

摘 要：數(shù)學解題應把“聯(lián)系”的觀點貫穿解決問題的全過程，解題教學應引導學生把握數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，有效促進學生把數(shù)學知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化為自己的認知結(jié)構(gòu)，提高對數(shù)學整體性的認識.

關鍵詞：數(shù)學知識；內(nèi)在聯(lián)系；解題策略；探究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0067-03

活動是數(shù)學教學的基本形式，思考是數(shù)學的核心問題.如何提升學生的解題能力，重要的不是研究教師怎樣講，而是研究如何創(chuàng)設良好的問題情境，讓學生運用已有經(jīng)驗，在思考與活動中經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程.通過知識內(nèi)在的聯(lián)系將相關知識整合融通，使知識上下溝通、左右逢源，使數(shù)學知識系統(tǒng)化、整體化，以達到在頭腦中建立完整的認知結(jié)構(gòu).

1 題目呈現(xiàn)

題目 已知菱形ABCD，E為AD中點，且BE=3，則菱形ABCD面積的最大值為.

題目以平面圖形菱形為背景考查面積最值，學生在解題思考時可從平面幾何、三角函數(shù)、向量相關知識入手，對題目條件進行合理轉(zhuǎn)化.學生在閱讀完題目條件后能瞬間聯(lián)想到相關知識點，看似起點低，但真正動筆演算時卻發(fā)現(xiàn)解答的落腳點很高，在考場上臨場解答非常有難度.下面我們從學生的認知出發(fā)，尋找題目條件與相關知識的內(nèi)在聯(lián)系，探究本題的解法（為了解題方便，不妨設AB=a，∠EAB=θ）.

2 題目探究

探究策略1 余弦定理+斜率轉(zhuǎn)化.

題目已知中線長度求面積，學生很自然地聯(lián)系到利用余弦定理將邊角轉(zhuǎn)化，通過菱形的邊長和夾角以及中線建立關系，再利用三角形面積公式將面積統(tǒng)一到角度θ.對于分式形式的三角函數(shù)最值問題可聯(lián)系到圓的參數(shù)方程（三角代換），將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題中的斜率.

評注 海倫公式S=p（p-a）（p-b）（p-c）（p=a+b+c2）是聯(lián)系三角形面積與邊長最直接的工具.在本題△ABE中，已知BE=3，AB=2AE，故很容易想到直接利用海倫公式求解面積，后邊對于最值的處理可以運用基本不等式，也可以運用導數(shù)，還可以換元（令t=x2）后利用二次函數(shù)求解.

數(shù)學是一個整體，不同的數(shù)學知識之間存在著緊密的、重要的聯(lián)系.學生在獲得數(shù)學理解的同時，應當能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系［2］.但是，由于知識在教材中的呈現(xiàn)是相對獨立的，教學又是以課時為單位設計學習內(nèi)容，加上學生受到認知發(fā)展的限制，在沒有引領的情況下，往往不容易發(fā)現(xiàn)知識之間的關聯(lián).因此在解題教學中，教師應利用適當?shù)男问胶头椒◤臄?shù)學的邏輯上引導學生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生在解題的過程中不斷地探索，進而展示數(shù)學知識的整體性與數(shù)學方法的一般性.

參考文獻：

［1］ 劉雪明.通過一題多解溝通知識聯(lián)系發(fā)展數(shù)學思維[J].中學生數(shù)學，2022（07）：45-46.

[2] 李小蛟.基于學生視角的解題策略探究案例[J].理科考試研究，2021，28（17）：14-16.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

基金項目：成都市名師專項課題“初高中數(shù)學銜接與教材整合實踐探究”（項目編號：CY2018M30）