一道遞推數列通項的多解探究

摘 要：本文從一道求遞推數列的通項公式問題展開深入研究，主要從數學歸納法、迭代法、構造法和累加法進行認識和改進.

關鍵詞：通項公式；數學歸納法；迭代法；構造法；累加法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0098-03

數列是高中數學的重要內容之一，求數列通項公式問題在各種考試中經常出現.在大多數數列問題中，確定數列的通項公式是求解的關鍵，也是解決數列問題的基礎.此類問題的出題方式靈活多變，解法也多種多樣.對于既不是等差數列，也不是等比數列，我們需要根據遞推關系式的特點，選擇合適的方法進行求解.

數學歸納法是高中數學的一種重要方法.通過數列的初始值和遞推公式依次計算出數列的前幾項，要注意項的表示形式能夠反映其規律性，便于發現數列的通項公式，主要考查學生的觀察、猜想和歸納的合情推理能力.

迭代法是解決有關數列問題的通用方法，尤其是已知相鄰項的遞推關系式時十分有效，利用數列的遞推關系式依次輾轉代入，發現項與序號之間的變化規律，最終轉化為第n項和第一項的關系.

構造法就是根據題目的條件和結論，構造出一些新的數學形式來解決問題的一種方法.

利用累加法求數列的通項公式時，需要將已知的遞推關系式進行恰當的變形，整理成下一項與上一項的差和項數之間的函數關系，形如an+1-an=f（n），然后等式兩側對應累加，轉化為求f（n-1）+（n-2）+…+f（1）式子的和.

本題中，p=2，q=3，a1=12，滿足a1-pq+1=0，所以an是等比數列，也就是這種巧合使本身錯誤的解法得到了正確的答案.從中可以發現：若數列an+an+1是公比不為±1等比數列，那么數列an是否也為等比數列取決于首項.

參考文獻：

［1］ 郭建華.關注生之問 探尋教之策：以一道數列通項題的求法為例[J].中學數學教研（數學），2022（2）：17-20.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：雷譽（1991.12-），女，湖北省咸寧人，本科，從事高中數學教學研究.