基于深度學習下的概念課實踐*
——以函數的零點與方程的解為例

廣東省興寧市第一中學(514500) 賴海波

深度學習是機器學習的一種,是實現人工智能的必經路徑,是一個源于人工神經網絡的研究的概念. 課堂教學中,借助合理的深度學習,全面構建數學學習共同體,有效提升數學知識、數學思想方法和數學能力等,是提升課堂教學效果的一個重要途徑. 特別在概念教學過程中,深度學習顯得更為重要.

1 深度學習的必要性

1.1 探究概念的來龍去脈

借助深度學習,合理挖掘概念的根源,培養學生對知識探究的濃厚興趣和探究欲望. 通過自身對數學概念的探究,加強內驅力,進而理清概念發展的脈絡,構建與之相關的概念體系與數學知識體系,對知識的學習與體系的構建很有幫助.

1.2 拓展知識的深層理解

借助深度學習,在表層概念的基礎上,通過對概念等知識的批判性的理解與接收,合理內化,融入自身已有的知識系統中去,合理實現與已有認知與知識的連接與聯系,從而加大加深對知識的理解與應用,為知識的遷移與學習拓展更加廣闊的空間.

1.3 注重知識的交匯融合

借助深度學習,對相關概念的學習基礎上,進一步加深與其他知識的聯系與關聯,從而構建起不同知識之間的交匯與融合,開拓知識的枝蔓,強化新知識內化以及與原有知識之間的聯系,形成一個更加綜合的新模式.

1.4 養成良好的核心素養

借助深度學習,在概念等相關知識理解與掌握的基礎上,融入數據分析、數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象以及數學運算等核心素養,更能批判性地學習新思想和新知識,并巧妙融入已有的認知與知識體系中去,形成對知識的更深層次的理解與遷移,培養學生的思想方法、創新意識與數學能力.

2 深度學習的課堂實踐

2.1 導學聚焦

教材考點學習目標核心素養函數零點的概念及求法理解函數零點的定義,會求函數的零點數學抽象、數學運算函數零點的判斷掌握函數零點的判斷方法,會判斷函數零點的個數及其所在區間邏輯推理、直觀想象函數零點的應用會根據函數零點的情況求參數數學運算、直觀想象

理清學習目標與考點,對應相應的核心素養,為課堂的概念教學確立明確的目標與理念,圍繞這些基本目標來學習.

2.2 問題導學

預習人教A 版2019 必修第一冊P142-P144,并思考以下問題:

(1)函數零點的概念是什么?

(2)如何判斷函數的零點?

(3)方程的根、函數的圖象與x軸的交點、函數的零點三者之間的聯系是什么?

強調自主學習,也為深度學習提供條件與過渡. 在學生自主學習的基礎上,通過課堂的概念教學加以深入,全面提升深度學習的效果.

2.3 概念形成

(1)概念: 對于一般函數f(x),我們把使f(x) = 0 的實數x叫做函數y=f(x)的零點.

(2)方程的根、函數的圖象與x軸的交點、函數的零點三者之間的聯系

提出問題: (1)函數的零點是點嗎?

提示: 函數的零點不是一個點,而是一個實數,當自變量取該值時,其函數值等于零.

提出問題: (2)函數的零點個數、函數的圖象與x軸的交點個數、方程f(x)=0 根的個數有什么關系?

提示: 相等.

提出問題: (3)結合所學的基本初等函數(如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數),思考是否所有的函數都有零點? 并說明理由.

提示: 不一定. 因為函數的零點就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以說不是所有的函數都有零點. 如: 指數函數,其圖象都在x軸的上方,與x軸沒有交點,故指數函數沒有零點.

不停留在概念的表層,通過提出問題,反饋信息,深度理解并掌握相關概念的深層次的內涵與實質,也是深度學習的一個層面.

2.4 定理剖析

函數零點存在定理:

條件 (1)函數y =f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線.(2)f(a)·f(b)＜0.結論 函數y =f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,這個c 也就是方程f(x)=0 的根.

提出問題: (1)函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,f(a)·f(b)＜0 時,能否判斷函數在區間(a,b)上的零點個數?

提示: 不能.

提出問題: (2)在零點存在定理中,若f(a)·f(b)＜0,則函數f(x)在(a,b)內存在零點. 則滿足什么條件時f(x)在(a,b)上有唯一零點?

提示:f(x)在(a,b)內為單調函數.

提出問題: (3)函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點,是不是一定有f(a)·f(b)＜0?

提示: 不一定,如f(x) =x2在區間(-1,1)上有零點0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1＞0.

加深對定理的理解與掌握,全方位、多層面加以理解與掌握,也為零點的應用這一深度學習目標提供依據.

2.5 零點應用

2.5.1 零點的確定

A. {1} B. {-1}

C. {-1,1} D. {-1,0,1}

解析: 當x≤0 時,f(x) =x+1 = 0?x= -1; 當x＞0 時,f(x) = log2x= 0?x= 1,所以函數f(x)的所有零點構成的集合為{-1,1},故選擇答案: C.

規律方法總結: 求函數y=f(x)的零點通常有兩種方法: 一是令f(x) = 0,根據解方程f(x) = 0 的根求得函數的零點;二是畫出函數y=f(x)的圖象,圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.

2.5.2 零點的區間

A. (1,2) B. (2,3)

C. (3,4) D. (e,+∞)

解析: 因為f(1)=-2＜0,f(2)=ln 2-1＜0,所以在(1,2)內f(x)無零點,選項A 錯;又所以f(2)·f(3)＜0,所以f(x)在(2,3)內有零點,故選擇答案: B.

規律方法總結: 判斷函數零點所在區間的3 個步驟:①代入: 將區間端點值代入函數解析式求出相應的函數值;②判斷: 把所得的函數值相乘,并進行符號判斷; ③結論: 若符號為正且函數在該區間內是單調函數,則在該區間內無零點,若符號為負且函數連續,則在該區間內至少有一個零點.

2.5.3 零點的個數

例3. 函數f(x) = lnx+x2-3 的零點的個數為____個.

解析: 因為f(1) = -2,f(2) = ln 2 + 1＞0, 所以f(1)·f(2)＜0, 又f(x) = lnx+x2- 3 的圖象在(1,2)上是不間斷的, 所以f(x) 在(1,2) 上必有零點, 又f(x) 在(0,+∞)上是單調遞增的,所以零點只有一個,故填答案: 1.

規律方法總結: 判斷函數存在零點的2 種方法: ①方程法: 若方程f(x) = 0 的解可求或能判斷解的個數,可通過方程的解來判斷函數是否存在零點或判定零點的個數; ②圖象法: 由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標系內作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,根據兩個圖象交點的個數來判定函數零點的個數.

2.5.4 交點的確定

例4. 函數f(x)=xlg(x+2)-1 的圖象與x軸的交點個數有____個.

解析: 令x·lg(x+2)-1=0,所以畫出函數y= lg(x+ 2)與函數在區間(-2,+∞) 上的圖象, 如圖所示,那么相應的函數圖象有2 個交點,故填答案: 2.

規律方法總結: 這類問題一般不易解方程求解,而是根據圖象與性質直接判斷,尤其是那些方程兩端對應的函數類型不同的方程,多以數形結合方法求解.

2.5.5 參數的求解

例5. 若函數f(x)=mx2-2x+3 只有一個零點,求實數m的取值范圍.

解析: (1)當m= 0 時,函數f(x) = -2x+3 是一次函數,令f(x)=0 得函數f(x)=mx2-2x+3 只有一個零點,符合題意;(2)當m/=0 時,函數f(x)=mx2-2x+3是二次函數,要使函數只有一個零點,應使方程f(x) = 0 只有一個實數根,因此Δ=(-2)2-4×m×3=0,得

綜上分析,實數m的取值范圍是m=0 或

規律方法總結: 已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍的方法: ①直接法: 直接根據題設條件構建關于參數的不等式,通過解不等式確定參數的取值范圍; ②分離參數法:先將參數分離,然后轉化成求函數值域問題加以解決; ③數形結合法: 先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖象,然后數形結合求解[1].

借助零點的應用,多視角多層面展開,有效應用并驗證函數的零點概念與函數零點存在定理,也為具體問題的分析與求解提供條件,并進一步總結規律方法,這才是深度學習的目的之一.

3 深度學習的教學啟示

3.1 把握學情,合理設計

數學深度學習具有本源性、聯系性、整合性和建構性等特征,在實際數學概念的教學過程中,要充分挖掘數學概念及其對應的課程資源,調動學生的主體性并合理把握學生的實際情況,巧妙設計深度學習的課堂教學實踐過程,兼顧數學課程和學生學情之間合理鏈接,有機銜接,自然過渡,而不是構建概念學習的“空中樓閣”與抽象思維,落到實處,才能真正推進數學深度學習,形成有效深度學習[2].

3.2 緩慢過程,逐步提升

借助數學概念的教學,結合解題研究,從數學概念的淺顯理解走向深刻掌握,并借助實例應用,形成概念學習的逐漸上升與螺旋前進的過程,是數學教學與解題研究中追求的一種理想狀態,需要師生不斷加以反饋與加深,才能形成良好的深度學習,培養良好的數學習慣,提升數學能力.

學生借助深度學習,進一步完善數學的知識體系,形成良好的認知結構,逐步實現數學學習從“學會”到“會學”,并不斷過渡到“會用”的數學學習新境界,形成數學能力,提升數學品質,發展核心素養[2].