基于素養立意的命題思考
——2022 年山東省威海市數學中考第24 題賞析

福建省廈門外國語學校海滄附屬學校(361026) 王晴

普通高中以及義教課標相繼提出核心素養. 發展核心素養已成為各學段的教學目標,相應的學業質量評價從關注知識到關注人的全面發展,命題導向也從能力立意轉變為素養立意.[1]素養立意體現在命題堅持以核心素養的發展與考查作為命題的出發點;在知識、技能、能力融通中測評學生的素養水平,使考試真正起到促進教學改革的作用,更好體現教—學—評的一致性. 筆者結合2022 年山東省威海市中考第24 題,闡述對素養立意命題的理解及思考.

1 素養立意命題的理解

1.1 素養立意試題的特點

素養并非先天,是學生在長期的學習生活情境中所發展形成的關鍵能力及必備品格,是可測可評的. 素養立意不僅強調常規問題解決技能、能力的考查,更強調知識的遷移與應用,創造性探究能力的考查. 能力立意試題,其試題結構完整,對解題速度和準確度有一定要求,并且有一定的解法可循. 而素養立意試題與其有所不同,該試題特點為: 題目結構不良,問題開放,無固化答題模式,伴有整體性、情境性等真實任務,能更清晰準確評價學生的智力水平、思考深度及思維習慣[1].

1.2 素養立意試題的命題思路

如何命制一道素養立意的試題? 素養立意命題最終為了實現素養發展,學科育人價值. 命題源于對教學的思考,因此提升數學核心素養的教學實踐為素養立意命題提供切實可行的命題思路. 筆者認為可以從以下三個方面入手:

1.2.1 從具體問題情境中尋找命題點[2]

問題情境是培養核心素養的土壤,素養立意試題的命制離不開問題情境. 如: 我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰: 置積尺數. 以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑．“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式我們知道球的體積公式為那么利用開立圓術求直徑相當于體積公式中的π=____. 本題以古代數學文化為問題情境,充分考查閱讀理解、運算能力、推理能力以及數學文化素養. 考查學生能夠根據題意提取關鍵信息,利用球的體積V建立等式,通過消元求出π的近似值.

1.2.2 從研究問題的一般路徑尋找命題點[2]

新課標學業質量標準指出,以結構化數學知識主題為載體,在形成與發展“四基”的過程中評估學生核心素養達成情況. 在教學的過程中,引導學生掌握研究問題的一般方法,有助于學生進行類比遷移,形成知識體系. 例如在幾何的學習中,常按照定義、表示、分類、性質、判定的研究路徑展開,可以通過命制一道讓學生自主探究一個新幾何圖形的試題,以此考查是否達到素養目標要求.

1.2.3 從學科知識本質尋找命題點

沒有知識和技能的理解運用, 數學核心素養的發展就是緣木求魚. 運算的學習不僅是技能訓練, 還要理解算法與算理之間的關系. 模型觀念的培養, 不僅是掌握幾種常見的模型, 套用模型, 還要掌握建立模型, 選擇模型的基本方法. 素養立意試題的命制應聚焦知識學習本質. 如: 請你證明二次函數的圖象具有對稱性. 看似一個具有很強幾何直觀的問題,但其本質是什么? 如何證明? 我們可以選取最特殊的函數y=ax2進行證明, 再利用平移可得一般化結論. 假設點A(s,t)為y=ax2圖象上一點,則as2=t. 因為a(-s)2=as2=t,所以點A′也在y=ax2圖象上. 點A與點A′關于對稱軸y軸對稱,所以二次函數y=ax2具有對稱性. 該問題能夠促進學生對二次函數具有對稱性這一本質的理解,由感性認識上升到理性思維,同時體現了新課標的要求在代數學習中滲透代數推理.

2 素養立意試題的評析

2.1 試題呈現

回顧: 用數學的思維思考

如圖1,在ΔABC中,AB=AC．

①BD,CE是ΔABC的角平分線．求證:BD=CE．

②點D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD,CE．求證:BD=CE．(從①②兩題中選擇一題加以證明)

猜想: 用數學的眼光觀察

經過做題反思,小明同學認為:在ΔABC中,AB=AC,D為邊AC上一動點(不與點A,C重合)．對于點D在邊AC上的任意位置,在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E,使得BD=CE．進而提出問題: 若點D,E分別運動到邊AC,AB的延長線上,BD與CE還相等嗎? 請解決下面的問題:

如圖2,在ΔABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AC,AB的延長線上,請添加一個條件,使得BD=CE,并證明．

探究: 用數學的語言表達

如圖3,在ΔABC中,AB=AC= 2,∠A= 36°,E為邊AB上任意一點(不與點A,B重合),F為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能,求CF的取值范圍;若不能,說明理由．

2.2 解答分析

第一問考查學生的推理技能,選擇其中一個小題的條件證明ΔBEC∽= ΔCDB,由全等性質得BD=CE即可.

第二問根據三角形全等判定的方法進行條件添加即可,本題為開放性試題,答案不唯一.以下答案皆可:BE=CD,∠AEC=∠ADB,∠BCE=∠DBC.

第三問是前兩小題所建立幾何模型的遷移與應用. 本題第一個關鍵思維點是能夠將題目問題BF與CE是否相等轉化線段BF與BD是否相等. 在圖3 中, 取AC上取一點D,使得BD=CE. 若BF=CE,則BD=BF,反之也成立. 第二個關鍵思維點, 當BF=BA時,CF取到最大. ∵BD＜AB,∴BF＜AB, 顯然BD越大,BF就越大,CF也越大. 第三個關鍵思維點證明三角形相似. 由∠A= 36°,可得∠F= 36°,∠BCF= 108°,∠CBF= 36°,∴∠A= ∠CBF,∠CFB= ∠CFB,∴ΔABF∽ΔBCF.第四個關鍵思維點設元求解. 設CF的長度為x,由相似對應邊成比例,列出方程解得. ∵E與A不重合,∴0＜CF＜

2.3 試題評析

本題是對教材中考查全等三角形與相似三角形的性質和判定等一類問題的拓展探究.

試卷位置: 該題處于全卷最后一題,第一、二問為常規全等三角形性質和判定問題難度不大,第三問綜合性較強,有一定的難度.

數學方法: 考查能夠用設元的方法表示圖形中的數量關系;運用方程,代數式等代數表達方式來研究幾何問題的能力.

核心思想: 在研究圖形的性質和運動的過程中,考查了化歸與轉化思想,方程思想,類比思想,由特殊到一般的數學思想方法;綜合體現了模型意識、幾何直觀、推理能力,運算能力等核心素養.

價值分析: 本題借助等腰三角形以及相似三角形學習中常見的幾何圖形,通過模型探究—模型運用—模型拓展,培養了學生的模型觀念,運用幾何模型求解問題的能力. 向學生展示了研究幾何問題的一般思路. 先從三角形中特殊線段角平分線、中線入手進行研究,全等證得BD=CE;再把問題一般化如果點D和點E為一般位置的點,是否也存在BD=CE的情況;最后把等腰三角形的頂角特殊化為36°,通過線段轉化,運用相似三角形判定解決問題. 本題聚焦幾何中的核心問題,由淺入深,在變化過程中,考查全等三角形和相似三角形性質及判定等方法的遷移運用,三個問題體現了數學學習邏輯一致性和解題方法的前后連貫性. 既有合情推理又有演繹推理,試題本身展現出來的“一般性方法”是本題最大的價值.

本題在新課標背景之下,巧妙以“三會”核心素養為出發點. 第一問,用數學的思維思考世界,考查推理技能. 第二問,用數學的眼光觀察世界,將點D,E的位置一般化,在運動的過程中探究數量關系. 第三問,用數學的語言表達世界,考查學生在新的情境下,能夠熟練運用幾何模型解決問題. 三個問題的設計緊緊圍繞著核心素養的三個方面,整道試題聚焦核心問題,高屋建瓴,宏觀架構主線,突出素養考查.

2.4 試題拓展

第①小題角平分線與中線是三角形中重要的線段, 此處可以啟發學生聯想若改成高是否同樣成立. 即如圖1,在ΔABC中,AB=AC．BD和CE為AC、AB邊上的高．求證:BD=CE. 此問題還可以用等積法求解更為簡潔.

第③小題為了證明相似, 題目給出了36°這一特殊的角. 若本小題不求CF的長,是否可以將36°這個條件刪去. 我們可以將設問改為: 若能,求當CF取最大值時,∠A與∠ABF之間的關系.

3 素養立意命題的教學導向

3.1 立足課本,深挖教材知識內涵

本題命題原型為人教版八上課本P29 第11 題, 如圖5, ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分線BE,CF相交于點G. 求證: ∠BGC= 90°+P34 第6 題, 如圖6ΔAEC∽= ΔADB, 點E和點D是對應頂點, 寫出它們的對應邊和對應角. 以及P79 練習1, 如圖7∠A= 36°,∠DBC= 36°,∠C= 72°, 分別計算∠BDC,∠ABD的度數.

再此基礎上,疊加了相似三角形的判定以及分式方程求解. 圖形由普通三角形到等腰三角形,再到頂角為36°的等腰三角形,兩次特殊化,將課本中看似三道普通的題目關聯在一起,這一過程也給了我們很大的命題啟示. 另外,本題由點在線上到點在線外拓展,由特殊位置再到一般位置,這也是命題常用的方式.

本題立足課本, 從三角形、全等三角形、到等腰三角形,遵循教材學生的認知順序. 教學中多數教師孤立講授每個單元知識,孤立看待課本中的例習題,缺乏將它們進行聯系整合的意識. 我們應加強對各單元教學知識聯系的理解,深挖教材的生長點,延伸教材中的問題,從整體關聯視角進行問題設計,實現深度教學.

3.2 開放問題,拓展學生思維空間

課標提出,要加強學生創新素養的培養,而創新素養的培養需要一定量的開放性試題. 對于條件開放的試題,可以提高學生在陌生情境下分析問題、篩選信息、決策判斷能力;對于結論開放的試題,允許學生從不同角度思考問題. 如本題第2 問,選擇不同的三角形判定全等或者選擇不同的判定方法其答案也就不同. 開放性的試題與起傳統試題相比,打破常規解決問題的方法,減少死記硬背和機械刷題,關注學生個體差異,給學生較大的思維空間,培養學生多角度思考問題的習慣,激發學生創新意識.

3.3 創設情境,促進核心素養發展

情境是實現知識到素養的橋梁. 數學情境分為兩種類型: 一是生活問題情境. 要求學生能夠通過任務驅動,經歷數學抽象的過程,掌握“數學化”的方法,在情境中提取信息,將生活問題轉化為數學問題, 運用已有的數學知識解決問題.二是數學問題情境. 在學生已有知識經驗基礎上提出新的研究問題,用類比的方法解決一般化問題,對于特殊問題、新的問題進行重點探究,形成新的活動經驗. 情境創設有效促進學生對知識來龍去脈的理解,建立知識關聯,促進思維鏈的延伸和知識遷移.