風洞四自由度并機器人奇異路徑優化分析

劉方++譚興強++賈淑媛

摘 要：奇異位形是機器人機構的一個十分重要的運動學特性，機器人的運動、受力、控制精度等方面的性能都與機構的奇異位形密切相關。該文對風洞四自由度并聯機器人奇異位形進行了研究，使得機器人動平臺能夠平滑地繞開奇異點且能夠獲得最短路徑，并建立了奇異位形優化方程。最后通過MATLAB仿真得出優化后的軌跡。

關鍵詞：機器人 奇異點 奇異路徑

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

風洞是在符合一定設計要求的管道系統內用動力裝置控制管道內的氣流，采用風洞模型支撐系統[1]。風洞并聯模型支撐系統具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等優點，正引起世界各國研究人員的濃厚興趣[2]。要使得并聯支撐在各行各業得到廣泛的應用，需要對機構進一步的研究，其中包括奇異性分析[3]。目前，一般的并聯機構的奇異位形的研究，到目前為止仍沒有一個非常通用的方法。黃真[4]等學者采用的速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉置的關系，對奇異位形進行研究。本文也采用此種方法研究奇異位置處的運動可控性，從而提高并聯機構的性能。

1 風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型

風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型如圖（1）所示，該機構由直線導軌、四個帶有直線電機的滑塊、四個拉桿、動平臺組成。四個拉桿的上端通過虎克鉸與滑塊相聯；下端通過球鉸與位于動平臺對稱的四個端點、、、相聯。直線導軌位于、所在的直線上，四個滑塊由直線電機驅動沿著直線導軌運動，從而實現模型的位姿變換。

由空間機構學理論可知，運動機構的構件數，所有運動構件數之間的運動副總數，由球鉸數為4，虎克鉸數為4，移動副數為4，轉動副數為4，故運動副的相對自由度，則：

即本機構的自由度數為4個。這四個自由度分別為繞X軸的轉動、繞Y軸的轉動、沿X軸的移動、沿Z軸的移動。

2 奇異位置分析

2.1 四自由度并聯機器人力雅克比矩陣

本文所研究的四自由度并聯機器人的機構的桿的兩端的運動副均為球面副，機構動平臺的驅動力矢經過上下球面副的中心，因此可以運用螺旋理論建立機構平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩陣，忽略滑塊與上頂板之間的摩擦力，分析動平臺的受力情況，4個拉桿上的力螺旋之和應與動平臺的四維廣義力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，為第桿受到的軸力，為第桿軸線的單位線矢量，為動平臺上作用力的主矢，為動平臺上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改寫為矩陣形式：

（2）

其中，

，

，為一階靜力影響系數。

（3）

依據受力平衡可求得：

（4）

單位矢量的偶部可表示為： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并聯支撐機器人的力雅可比矩陣為：

（6）

2.2 奇異位置分析

依據機構學中的重要定律：速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉置。當秩小于4時，機構發生奇異，式（6）的某幾行或某幾列完全相等。顯然拉桿所在的直線的向量在軸上的分量值為零時，機構發生奇異。動平臺的尺寸可以得到動平臺與拉桿連接點在靜坐標系中的坐標值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉桿的長度約束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4時取負值。因此發生此種奇異時必有，，或。故這三個條件是判斷該類奇異是否發生的充分條件。

3 路徑優化

以支鏈1為例進行路徑優化，動平臺鉸點在全局坐標系中的位置可表示為：

（11）

由充分條件可以得出，點在動平臺運動的過程中經過或者接近點時，隨著工作空間的變化，導致位姿軌跡變化呈現間斷式跳躍。要滿足點的位姿軌跡經過或者接近，且位姿軌跡能夠連續運動，故引入優化方程：

設為所引起的奇異點，設為以為中心、半徑為R的微小體積域，當R很小且對位姿路徑精度影響不大能夠連續的運動，，建立的優化方程如下：

（12）

顯然當R越小時，位姿路徑精度越高，若要滿足最小位姿路徑，則應該從方程（12）中選取球面的其中一條軌跡。球面上，球心對稱的兩點最短軌跡為半圓。過點作法向量的方程，則：

，

（13）

過點法平面向量為的空間平面方程為（動點為）：

（14）

將（12）式和（14）式聯立可得到最優路徑軌跡。

4 結語

該文提出了一種新型的風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型，并在此基礎上對其奇異位置進行了分析，然后對風洞四自由度并聯機器人奇異位形進行了研究，對四自由度并聯機器人的路徑優化，使得可以按照指定的位姿路徑運動，并建立相關的優化方程，用MATLAB仿真出優化路徑的軌跡（圖2）。

參考文獻

[1] 張浩.六自由度并聯風洞模型支撐系統機構優化[D].清華大學碩士學位論文，2011.

[2] 戰培國.國外風洞試驗的新機制、新概念、新技術[J].流體力學實驗與測量，2004，18（4）：2-6.

[3] 譚興強.風洞留自由度并聯支撐機器人優化設計及控制系統研究[D].重慶大學博士學位論文，2012.

[4] 譚興強，謝志江，謝永春.風洞6PUUS并聯試驗臺的運動位置控制仿真及結構優化[J].重慶大學學報，2003（4）：19-25.endprint

摘 要：奇異位形是機器人機構的一個十分重要的運動學特性，機器人的運動、受力、控制精度等方面的性能都與機構的奇異位形密切相關。該文對風洞四自由度并聯機器人奇異位形進行了研究，使得機器人動平臺能夠平滑地繞開奇異點且能夠獲得最短路徑，并建立了奇異位形優化方程。最后通過MATLAB仿真得出優化后的軌跡。

關鍵詞：機器人 奇異點 奇異路徑

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

風洞是在符合一定設計要求的管道系統內用動力裝置控制管道內的氣流，采用風洞模型支撐系統[1]。風洞并聯模型支撐系統具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等優點，正引起世界各國研究人員的濃厚興趣[2]。要使得并聯支撐在各行各業得到廣泛的應用，需要對機構進一步的研究，其中包括奇異性分析[3]。目前，一般的并聯機構的奇異位形的研究，到目前為止仍沒有一個非常通用的方法。黃真[4]等學者采用的速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉置的關系，對奇異位形進行研究。本文也采用此種方法研究奇異位置處的運動可控性，從而提高并聯機構的性能。

1 風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型

風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型如圖（1）所示，該機構由直線導軌、四個帶有直線電機的滑塊、四個拉桿、動平臺組成。四個拉桿的上端通過虎克鉸與滑塊相聯；下端通過球鉸與位于動平臺對稱的四個端點、、、相聯。直線導軌位于、所在的直線上，四個滑塊由直線電機驅動沿著直線導軌運動，從而實現模型的位姿變換。

由空間機構學理論可知，運動機構的構件數，所有運動構件數之間的運動副總數，由球鉸數為4，虎克鉸數為4，移動副數為4，轉動副數為4，故運動副的相對自由度，則：

即本機構的自由度數為4個。這四個自由度分別為繞X軸的轉動、繞Y軸的轉動、沿X軸的移動、沿Z軸的移動。

2 奇異位置分析

2.1 四自由度并聯機器人力雅克比矩陣

本文所研究的四自由度并聯機器人的機構的桿的兩端的運動副均為球面副，機構動平臺的驅動力矢經過上下球面副的中心，因此可以運用螺旋理論建立機構平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩陣，忽略滑塊與上頂板之間的摩擦力，分析動平臺的受力情況，4個拉桿上的力螺旋之和應與動平臺的四維廣義力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，為第桿受到的軸力，為第桿軸線的單位線矢量，為動平臺上作用力的主矢，為動平臺上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改寫為矩陣形式：

（2）

其中，

，

，為一階靜力影響系數。

（3）

依據受力平衡可求得：

（4）

單位矢量的偶部可表示為： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并聯支撐機器人的力雅可比矩陣為：

（6）

2.2 奇異位置分析

依據機構學中的重要定律：速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉置。當秩小于4時，機構發生奇異，式（6）的某幾行或某幾列完全相等。顯然拉桿所在的直線的向量在軸上的分量值為零時，機構發生奇異。動平臺的尺寸可以得到動平臺與拉桿連接點在靜坐標系中的坐標值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉桿的長度約束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4時取負值。因此發生此種奇異時必有，，或。故這三個條件是判斷該類奇異是否發生的充分條件。

3 路徑優化

以支鏈1為例進行路徑優化，動平臺鉸點在全局坐標系中的位置可表示為：

（11）

由充分條件可以得出，點在動平臺運動的過程中經過或者接近點時，隨著工作空間的變化，導致位姿軌跡變化呈現間斷式跳躍。要滿足點的位姿軌跡經過或者接近，且位姿軌跡能夠連續運動，故引入優化方程：

設為所引起的奇異點，設為以為中心、半徑為R的微小體積域，當R很小且對位姿路徑精度影響不大能夠連續的運動，，建立的優化方程如下：

（12）

顯然當R越小時，位姿路徑精度越高，若要滿足最小位姿路徑，則應該從方程（12）中選取球面的其中一條軌跡。球面上，球心對稱的兩點最短軌跡為半圓。過點作法向量的方程，則：

，

（13）

過點法平面向量為的空間平面方程為（動點為）：

（14）

將（12）式和（14）式聯立可得到最優路徑軌跡。

4 結語

該文提出了一種新型的風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型，并在此基礎上對其奇異位置進行了分析，然后對風洞四自由度并聯機器人奇異位形進行了研究，對四自由度并聯機器人的路徑優化，使得可以按照指定的位姿路徑運動，并建立相關的優化方程，用MATLAB仿真出優化路徑的軌跡（圖2）。

參考文獻

[1] 張浩.六自由度并聯風洞模型支撐系統機構優化[D].清華大學碩士學位論文，2011.

[2] 戰培國.國外風洞試驗的新機制、新概念、新技術[J].流體力學實驗與測量，2004，18（4）：2-6.

[3] 譚興強.風洞留自由度并聯支撐機器人優化設計及控制系統研究[D].重慶大學博士學位論文，2012.

[4] 譚興強，謝志江，謝永春.風洞6PUUS并聯試驗臺的運動位置控制仿真及結構優化[J].重慶大學學報，2003（4）：19-25.endprint

摘 要：奇異位形是機器人機構的一個十分重要的運動學特性，機器人的運動、受力、控制精度等方面的性能都與機構的奇異位形密切相關。該文對風洞四自由度并聯機器人奇異位形進行了研究，使得機器人動平臺能夠平滑地繞開奇異點且能夠獲得最短路徑，并建立了奇異位形優化方程。最后通過MATLAB仿真得出優化后的軌跡。

關鍵詞：機器人 奇異點 奇異路徑

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

風洞是在符合一定設計要求的管道系統內用動力裝置控制管道內的氣流，采用風洞模型支撐系統[1]。風洞并聯模型支撐系統具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等優點，正引起世界各國研究人員的濃厚興趣[2]。要使得并聯支撐在各行各業得到廣泛的應用，需要對機構進一步的研究，其中包括奇異性分析[3]。目前，一般的并聯機構的奇異位形的研究，到目前為止仍沒有一個非常通用的方法。黃真[4]等學者采用的速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉置的關系，對奇異位形進行研究。本文也采用此種方法研究奇異位置處的運動可控性，從而提高并聯機構的性能。

1 風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型

風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型如圖（1）所示，該機構由直線導軌、四個帶有直線電機的滑塊、四個拉桿、動平臺組成。四個拉桿的上端通過虎克鉸與滑塊相聯；下端通過球鉸與位于動平臺對稱的四個端點、、、相聯。直線導軌位于、所在的直線上，四個滑塊由直線電機驅動沿著直線導軌運動，從而實現模型的位姿變換。

由空間機構學理論可知，運動機構的構件數，所有運動構件數之間的運動副總數，由球鉸數為4，虎克鉸數為4，移動副數為4，轉動副數為4，故運動副的相對自由度，則：

即本機構的自由度數為4個。這四個自由度分別為繞X軸的轉動、繞Y軸的轉動、沿X軸的移動、沿Z軸的移動。

2 奇異位置分析

2.1 四自由度并聯機器人力雅克比矩陣

本文所研究的四自由度并聯機器人的機構的桿的兩端的運動副均為球面副，機構動平臺的驅動力矢經過上下球面副的中心，因此可以運用螺旋理論建立機構平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩陣，忽略滑塊與上頂板之間的摩擦力，分析動平臺的受力情況，4個拉桿上的力螺旋之和應與動平臺的四維廣義力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，為第桿受到的軸力，為第桿軸線的單位線矢量，為動平臺上作用力的主矢，為動平臺上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改寫為矩陣形式：

（2）

其中，

，

，為一階靜力影響系數。

（3）

依據受力平衡可求得：

（4）

單位矢量的偶部可表示為： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并聯支撐機器人的力雅可比矩陣為：

（6）

2.2 奇異位置分析

依據機構學中的重要定律：速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉置。當秩小于4時，機構發生奇異，式（6）的某幾行或某幾列完全相等。顯然拉桿所在的直線的向量在軸上的分量值為零時，機構發生奇異。動平臺的尺寸可以得到動平臺與拉桿連接點在靜坐標系中的坐標值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉桿的長度約束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4時取負值。因此發生此種奇異時必有，，或。故這三個條件是判斷該類奇異是否發生的充分條件。

3 路徑優化

以支鏈1為例進行路徑優化，動平臺鉸點在全局坐標系中的位置可表示為：

（11）

由充分條件可以得出，點在動平臺運動的過程中經過或者接近點時，隨著工作空間的變化，導致位姿軌跡變化呈現間斷式跳躍。要滿足點的位姿軌跡經過或者接近，且位姿軌跡能夠連續運動，故引入優化方程：

設為所引起的奇異點，設為以為中心、半徑為R的微小體積域，當R很小且對位姿路徑精度影響不大能夠連續的運動，，建立的優化方程如下：

（12）

顯然當R越小時，位姿路徑精度越高，若要滿足最小位姿路徑，則應該從方程（12）中選取球面的其中一條軌跡。球面上，球心對稱的兩點最短軌跡為半圓。過點作法向量的方程，則：

，

（13）

過點法平面向量為的空間平面方程為（動點為）：

（14）

將（12）式和（14）式聯立可得到最優路徑軌跡。

4 結語

該文提出了一種新型的風洞4_PUS并聯機器人機構簡化模型，并在此基礎上對其奇異位置進行了分析，然后對風洞四自由度并聯機器人奇異位形進行了研究，對四自由度并聯機器人的路徑優化，使得可以按照指定的位姿路徑運動，并建立相關的優化方程，用MATLAB仿真出優化路徑的軌跡（圖2）。

參考文獻

[1] 張浩.六自由度并聯風洞模型支撐系統機構優化[D].清華大學碩士學位論文，2011.

[2] 戰培國.國外風洞試驗的新機制、新概念、新技術[J].流體力學實驗與測量，2004，18（4）：2-6.

[3] 譚興強.風洞留自由度并聯支撐機器人優化設計及控制系統研究[D].重慶大學博士學位論文，2012.

[4] 譚興強，謝志江，謝永春.風洞6PUUS并聯試驗臺的運動位置控制仿真及結構優化[J].重慶大學學報，2003（4）：19-25.endprint