量子力學不確定原理的教學方法探索

郭曉通 劉萬芳

摘?要：在量子力學課程的學習中，不確定原理一直是重點和難點。結合量子力學史，介紹不確定原理提出的背景和不同物理學家對該理論的理解，從而引導出對不確定原理的正確解釋。有助于學生對不確定原理的學習，同時加深了學生對不確定原理認識和理解，并激發學生對量子力學的學習興趣，從而提高了該課程的教學效果。

關鍵詞：不確定原理；量子力學

中圖分類號：O413.1??文獻標識碼：A

量子力學是為了研究微觀粒子運動規律而誕生的一門科學理論，也是現代物理學的重要基礎理論之一［12］。因此，許多的物理學理論都是建立在量子力學的基礎上，比如固體物理學、核物理學、粒子物理學和粒子天體物理以及其他相關的學科。然而，量子力學中存在著許多令人難以理解的理論，比如波函數的統計解釋、不確定原理等。這些理論不僅是量子力學的核心內容，也是量子力學區別于經典理論的內容。為了能更好地讓學生理解和掌握量子力學中的基本原理，我們嘗試結合它的發展史來講解該課程。

不確定原理是量子力學的重要原理之一。在量子力學課程中，不確定原理的講述與學生建立該課程的圖像有著直接關系。然而遺憾的是，教學中往往并不能使學生真正地理解該原理。其根源與課本中對不確定原理的講述有著直接的關系，即：由電子單縫實驗出發推導出不確定原理，或由算符不對易關系出發推導出廣義不確定原理。為了讓學生理解不確定原理，本文由量子力學發展中遇到的問題出發，引出不確定原理的提出，以及不同物理學家對該理論的理解，再到對不確定原理的正確解釋和推導過程，從而使學生更清楚地理解不確定原理的正確物理意義，并激發學生對量子力學的興趣。

1?不確定原理的基本內容

經典力學中，質點的運動狀態可以用它的位置r→和動量p→構成的相空間（r→，p→）來描述。因此，我們可以同時并準確地測量該質點在每一時刻質點的位置、動量、能量等信息。然而，在量子力學中，一個運動粒子的位置和它的動量不可被同時確定。只能將該粒子位置和動量變化量之積限制在一定范圍內，即Δx·Δp/2。該關系稱為（狹義的）不確定原理，又稱測不準原理。該關系主要是由于位置和動量算符不對易，使得這兩個力學量無法同時被測量，從而得到了Δx·Δp/2。對于任意兩個不對易的算符F︿和G︿，就可以得到廣義的不確定原理：ΔF·ΔG1/2|F︿，G︿|［1］。

2?不確定原理的提出的原因與解釋

2.1?不確定原理提出的歷史背景

不確定原理是由矩陣力學的創始人海森堡（Heisenberg）在1927年提出的。為了更清楚地了解不確定原理的發展，首先了解矩陣力學建立的背景。

1925年，海森堡由于花粉過敏，所以不得不短暫地離開了哥本哈根的理論物理研究所。為了躲避花粉，海森堡選擇了去海島上度假。盡管海森堡名義上是去度假，但他仍然在思考量子力學有關問題。在量子力學中，最重要的問題就是玻爾的氫原子模型。玻爾的原子模型里面有個人為的假設，就是電子圍繞原子核在特定的軌道上運動，而且這些軌道是量子化的。海森堡在海島上精神充分放松，就開始思考原子的軌道。玻爾和索末菲都說有軌道，但誰見過電子的運動軌道呢？沒有看見的東西為什么要說一定存在？于是海森堡拋棄了軌道的概念，僅僅認為電子是在不同能級之間的躍遷。海森堡將觀測量整理成表格（矩陣），這些表格代入計算很容易得出由一個能級躍遷到另一個能級釋放出的光子能量。于是海森堡將其整理成文章發表了，史稱“一個人的paper”［3］。這也標志著矩陣力學的誕生。隨后，約爾丹、玻恩、泡利、玻爾發展并完善了矩陣力學［45］。

盡管矩陣力學能夠很好地解釋氫原子的光譜，但仍存在一些難以理解問題，例如：力學量（矩陣）為什么不滿足乘法交換律？為什么力學量先測和后測的結果不一樣？即先測量粒子的位置再測量動量與先測量動量再測量位置得到的結果不一樣。這是為什么？

2.2?不確定原理提出與海森堡的解釋

由于海森堡是矩陣力學的創始人，所以他一直在思考上面的幾個問題。有一天，海森堡突然意識到，微觀粒子如此小，測量本身是不是會對粒子的性質產生較大的影響，從而使得它的性質測不準。1927年，海森堡就推導出了粒子位置和動量變化量之積必須要大于普朗克常數，即

Δx·Δph（1）

海森堡并把其撰寫為論文《論量子理論運動學與力學的物理內涵》［6］。為了解釋不等式（1），海森堡在他的文章中提出了一個思想實驗。利用顯微鏡來測量粒子的位置和動量的思想實驗（如圖1所示）。顯微鏡的分辨率越高，測量出粒子的位置越精確。顯微鏡的分辨率與波長成反比例，即要想測量位置越準確，就需要用波長越短的光。而測量粒子的動量時，需要利用光子來撞擊粒子，并找出反彈后的光子，從而計算出此刻粒子的動量。然而，光子撞擊粒子之后就會改變粒子動量，使得粒子的動量測量不準確。要想粒子動量測量越準確，就需要采用波長越長的光子去撞擊該粒子。若采用波長較長的光，粒子的動量能夠準確地測量，但粒子的位置就不能準確地測量。若采用波長較短的光，粒子的位置能夠準確地測量，但粒子的動量就不能準確地測量。所以海森堡得出結論，同時準確測量位置和動量是不可能的。

2.3?玻爾對不確定原理的理解與解釋

海森堡發表不確定原理的論文時，玻爾正好離開了哥本哈根理論物理研究所，去挪威度假。于是海森堡將論文抄了一份寄給玻爾。玻爾看到這篇論文之后，立馬收拾行李回了哥本哈根。他們見面后，海森堡希望玻爾能給自己這篇論文提點意見。于是玻爾就問海森堡，他的測不準原理有沒有考慮波的問題？由于海森堡不喜歡薛定諤的波動理論，所以他就沒有考慮波的問題。玻爾告訴海森堡，他對不確定原理的理解是觀察者效應，觀察者的測量行為影響到了結果。實際上，不確定原理的本質是粒子波粒二象性的表現，不是觀察者效應。海森堡對玻爾的說法表示堅決反對，于是與玻爾產生了激烈的爭執。最后，泡利從哥廷根坐火車來到哥本哈根，目的就是為了解決海森堡和玻爾之間的爭執。這次關于不確定原理的爭論僅僅是哥本哈根學派內部的一次論戰，最后以玻爾獲勝告終。

隨后，在1929年，羅伯遜（Robertson）將不確定原理推廣到了任意兩個算符，并得到了廣義的不確定原理：ΔF·ΔG1/2|F︿，G︿|［7］。對于時間和能量的對易關系，可以寫為ΔE·Δt1/2。

2.4?愛因斯坦和玻爾關于不確定原理的論戰

在大部分物理學家都了解了量子力學的不確定原理之后，第二次關于不確定原理的論戰也即將拉開了序幕。索爾維會議上，愛因斯坦、玻爾、以愛因斯坦為代表的反對派、以玻爾為代表的哥本哈根學派和以居里夫人為代表的實驗派。首先，愛因斯坦在會議上提出了一個“愛因斯坦光子箱”的思想實驗。其目的就是要證明不確定原理是錯誤的。愛因斯坦設想了一個密封的箱子，箱子里存在大量的輻射光子，并且在箱壁還存在一個可以用快門來精準控制的小孔，如圖2左側所示。實驗時，先測量箱子質量一次。控制快門非常準確，可以在Δt內釋放一個光子，Δt非常小。通過時鐘的指針，就可得知光子離開光子箱的確切時間了。當光子箱釋放一個光子后，再次測量箱子質量，計算出減少的光子質量，從而利用E=mc2可以準確地計算出光子的能量。這樣測量光子的能量和測量時間是獨立進行的，互不干涉，都可準確測量，所以不確定原理不成立。

第二天，玻爾對愛因斯坦的“光子箱”實驗進行了合理改進，并證明了不確定原理仍是成立的。玻爾認為測量是需要工具的，所以要想測量“光子箱”的質量，需要用到彈簧秤，于是波爾在愛因斯坦的“光子箱”上添加了一個彈簧秤，如圖2右側所示。當控制快門打開時，光子從“光子箱”中飛出，“光子箱”質量減小，彈簧秤收縮，“光子箱”向上運動，所處的引力場發生微小變化。根據廣義相對論，在不同的引力場處，時間的流逝是不相同的，控制快門的時間不是準確的。另外，從引力勢能較低處運動到較高處時，光子將發生紅移，光子的能量也會有微小的變化。波爾根據這兩點進行了簡單的計算，發現測不準原理仍是正確的［8］。

3?不確定原理的證明過程

在1929年，羅伯遜已經給出了廣義不確定原理的嚴格證明。下面，我們結合羅伯遜的證明過程，由兩個算符的不對易關系導出廣義的不確定原理。

設力學量算符F︿和G︿（厄米算符）是不對易的，其對易關系寫為：

F︿，G︿=F︿G︿-G︿F︿=ik︿，

其中，k︿是一個算符或普通的數。以F-、G-和k-依次表示F︿、G︿和k︿在任意態ψ中的期望值。令ΔF︿=F︿-F-，ΔG︿=G︿-G-。則ΔF︿和ΔG︿也為厄米算符，它們的對易關系寫為：

ΔF︿，ΔG︿=F︿-F-G︿-G--G︿-G-F︿-F-=F︿G︿-G︿F︿=ik︿，（1）

設一個態函數φ=ξΔF︿+iΔG︿ψ，其中ξ是參數。考慮積分I（ξ）=∫φφdτ=∫φ2dτ0，積分區域是變量變化的整個空間。因為被積函數是絕對值的平方，所以該積分I（ξ）是大于等于0的。將積分中的平方項展開，可得：

I（ξ）=∫ψΔF︿-iΔG︿ξΔF︿+iΔG︿ψdτ

=ξ2∫ψΔF︿2ψdτ+∫ψΔG︿2ψdτ+iξ∫ψΔF︿，ΔG︿ψdτ

將式（1）代入，得：

I（ξ）=ΔF︿2ξ2+ΔG︿2-k-ξ0

利用平方和不等式a2+b22ab，上式可化簡為：

2ξ?ΔF︿2·?ΔG︿2-k-ξ0

再化簡為：

ΔF︿2·?ΔG︿2k-2=12［F︿，G︿］

可以簡寫為：

ΔF︿·ΔG︿12［F︿，G︿］

這就是任意力學量F和G在任何態下的漲落必須滿足的關系式，即廣義的不確定原理。

4?總結

本文結合量子力學發展史介紹量子力學中的一節內容——不確定原理。首先介紹了海森堡對不確定原理的理解，他認為不確定原理是由觀察者效應引起的。隨后介紹了玻爾對不確定原理的理解，從而引出不確定原理的正確解釋，其本質是粒子波粒二象性的表現，不是觀察者效應。另外，還介紹了愛因斯坦和玻爾關于不確定關系的論戰。最后，進行了廣義不確定原理的嚴格推導。通過學習相關物理學家的思維歷程，讓學生了解不確定原理提出的原因，使學生能更容易接受該理論。通過玻爾與愛因斯坦關于不確定原理的論戰，加深了學生對不確定原理的認識和理解，另外避免了學生在學習中產生與愛因斯坦類似的想法。通過介紹相關物理學家對不確定原理的認識和理解，激發了學生對不確定原理和量子力學的學習興趣，達到了課程教學效果。

參考文獻：

［1］周在勛.量子力學教程［M］.人民教育出版社，1979.

［2］曾謹言.量子力學卷Ⅰ［M］.科學出版社，2000.

［3］Heisenberg，W.，ber?quantentheoretische?Umdeutung?kinematischer?und?mechanischer?Beziehungen.Zeitschrift?fur?Physik，1925，33（1）：879893.

［4］Born，M.and?Jordan，P.，Zur?Quantenmechanik，Zeitschrift?fur?Physik，1925，34（1）：858888.

［5］Born，M.，Heisenberg，W.，and?Jordan，P.，Zur?Quantenmechanik.II..Zeitschrift?fur?Physik，1926，35（89）：557615.

［6］Heisenberg，W.，ber?den?anschaulichen?Inhalt?der?quantentheoretischen?Kinematik?und?Mechanik.Zeitschrift?fur?Physik，1927，43（34）：172198.

［7］Robertson，H.P.，The?Uncertainty?Principle.Physical?Review，1929，34（1）：163164.

［8］郭奕玲，沈慧君.物理學史：第2版［M］.清華大學出版社，2005.

基金項目：2021年引進博士科研啟動費（211014）

作者簡介：郭曉通（1990—?），男，漢族，理學博士，安慶師范大學數理學院講師，碩士研究生導師，研究方向為天文學活動星系核。