高中物理教學中“微元法”教學策略初探

鄒燕

［摘 要］微元法是最近幾年高考常考查的方法，同時也是學生較難掌握的一種方法。文章從微元法的概念入手，討論了在高中物理教學中“微元法”的教學策略及相關注意點。

［關鍵詞］微元法；高中物理；教學策略

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）17-0049-03

在新課程改革的大背景下，物理學科教學越來越關注學生對科學方法及相關規律的合理應用。《普通高中物理課程標準》中提到“通過物理概念和法則的學習理解物理學的研究方法，認識物理實驗、物理模型和數學工具在物理學發展過程中的作用”，可見課程標準對物理模型和數學工具提出了較高的要求。“微元法”是高中物理教學中處理變化問題時常用到的一種方法，也是初中學生沒有涉及的思想方法。本質上，微元法屬于高等數學中的微積分，雖然微元法在高中階段的表現形式仍然是初等數學，但該方法已經需要運用極限、積分等高等數學的思想方法，因此學生掌握起來比較困難，該內容也一直是教學難點。怎樣通過采用一些有效的教學策略幫助學生理解掌握微元法的思想與方法，并使學生能夠靈活運用該方法解決實際問題是值得教師思考的問題。

一、微元法的基本概念

在高中物理學習過程中，學生因為數學知識的不足而難以解決一些涉及高等數學思想的問題。例如計算勻變速直線運動的位移、計算變力做功、推導曲線運動向心加速度的表達式等問題。這些問題對中學生來說是一個很大的難題。但運用“微元法”能夠解決這些問題。“微元法”是指將一個整體的對象分成無窮多個很小的對象，然后對每個微小的對象進行分析，最后再將每個微小的對象累計起來。微元法是分析解決物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思考方法。通過微元法可以用我們熟悉的物理法則迅速化簡復雜的物理過程，并簡化所要求的問題。使用微元法，可以強化對已知法則的再思考，進而加深認識，提高能力。

在大學物理中，微積分是最基本的數學工具，但高中物理教學中并沒有用微積分來解決問題。因此，很多學生在進入高校后一開始很難適應用高等數學解決問題，仍然習慣運用初等數學來處理變化的問題，造成物理學習困難。為了更好地與中學物理銜接，在中學物理教學中必須滲透這種思想。這也是教材編寫者在編寫教材時要考慮的問題。

二、微元法的教學策略

（一）以書本為載體，滲透微元法的思想

教材是教學的重要材料與基礎，目前各個版本的高中物理教材中均涉及微元法的思想。教師在教學過程中應當梳理教材中涉及微元法思想的內容，在新授課時將微元法的思想滲透到相關的教學內容中，引導學生用微元法的思想來思考、解決問題，讓學生在潛移默化中逐漸體會微元法的思想及本質。下面以人教版教材為例，選取教材中幾處涉及微元法思想的內容進行討論。教師在教學中應當特別關注這些內容，有意識、有層次地將這種思想方法滲透到課堂教學中。

1.勻變速直線運動的位移

必修一教材第二章第三節“勻變速直線運動的位移與時間的關系”中討論了微元法的思想。

本節內容，教材通過勻速直線運動[v-t]圖像中位移的表達方式類比勻變速直線運動的位移也可以用圖像來表示，課本的思路是將過程先進行有限的分割，然后引導想象：如果將整個運動過程劃分得非常細，許多小矩形的面積之和可以非常精確地表示物體的位移，并且這些小矩形結合成梯形OABC。梯形OABC的面積表示做勻變速直線運動物體從O到t的時間間隔的位移［1］。

教材非常形象生動地介紹了微元法的基本思想，不但深入淺出，而且非常到位，學生也第一次體會到微元法思想的精妙之處。在教學過程中，教師應當基于教材表述，結合生活中一些學生熟悉的場景或者模型幫助學生更加深刻地體會微元法的核心思想，同時可選擇一些相關的練習鞏固學生對這些內容的掌握。

2.曲線運動

必修二教材第六章第1節“圓周運動”也很好地體現了微元法的思想。教材首先是在引入“線速度”與“角速度”的定義時，利用微元法思想取了一個“時間元”[Δt]，然后進行逼近，也就是當“[Δt]→0”時，就是對應時刻的瞬時速度，這樣就將一個過程逼近為一個時刻。同樣在分析曲線運動的方向與軌跡切線關系時，也用到了割線向切線逼近的思想，從而達到“化曲為直”的目的。另外，教材在討論處理運動軌跡不是直線也不是圓周運動的曲線運動時，都運用了微元法。

曲線運動的概念及處理方法是高中物理教學的重要內容之一，學生在學習本章內容時容易思維固化，往往只是記住幾個公式，對于公式的形成及背后的物理意義并不了解。對向心加速度概念，很多學生就算是到了高三階段，仍然只記得向心加速度的表達式，無法闡明表達式的推導過程及其中運用的物理規律及方法，因此教師在教授該知識點時應當引導學生對加速度表達式的產生進行詳細推導，讓學生掌握：當條件滿足“[Δθ]→0”時，弧線的長度與弦的長度相同；當“[Δθ]→0”時平均加速度就等于瞬時加速度。

3.重力勢能

在必修二教材第八章“機械能守恒定律”中，當討論重力做功特點時所采用的邏輯方法是從特殊到一般，即先是豎直向下的直線情況，再是斜直線情形，最后是任意曲線情形。討論物體沿任意曲線運動過程中重力做的功時，書本的分析大意是：

如圖1所示，假設某物體沿著某個路徑從高度為h1的起點[A]移動到高度為h2的終點[B]，并將整個路徑分割成較短的間隔[AA1]，[A1A2]，[A2A3]……由于每一級都很小，所以可以近似于傾斜的直線。每段小斜線的高度差分別是[Δh1]，[Δh2]，[Δh3]……那么，物體通過各段的小斜線時重力做的功分別是[mgΔh1]，[mgΔh2]，[mgΔh3]……物體通過整個路徑時重力做的功就是各個部分的功的代數和，即[WG=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+……=mgh1-mgh2]。

本段內容是教材上對于微元法最為全面的描述，它描述了從“取元”到“疊加”這一完整的解決問題過程。教師在講授本節內容時應特別重視該部分內容，不能將重力做功與路徑無關的結論直接告訴學生，而忽略了上述推導證明過程。當學生理解了運用微元法分析該過程的實質后，也會用同樣的方法分析靜電場力做功的特點，從而加深對保守力做功特點的理解。

上述所列舉的三個例子均是學生在高一階段所學的內容，教師應當重視在該階段運用教材中的內容將微元法的思想介紹給學生，在高一階段就讓學生體會微元法的本質與處理方法，從而為下一階段用該方法解決更復雜的問題打下基礎。

（二）以習題為手段，強化微元法的使用

物理習題是對真實物理情境的加工簡化，將所要考查的知識鑲嵌到具體的題目情境中，以期考查學生對物理知識、規律、方法的掌握程度以及學生的物理建模能力、問題解決能力。分析解答物理習題是促進學生理解掌握物理知識方法的重要手段之一。教師可以通過呈現包含微元法思想的習題并讓學生解答，以此檢驗學生對微元法思想的掌握情況，并強化學生對微元法的使用，同時通過習題訓練也能進一步加深學生對微元法思想的理解。在近些年全國高考物理試題中，多次出現需要運用微元法來解答的試題。下面以江蘇省高考物理試卷中的一道題為例討論微元法的應用。

如圖2所示，在水平面內三角形頂角[θ=45°]的固定導軌MON放置于磁感應強度為B，方向豎直向下的勻強磁場中。質量為m的長直導線在一個水平外力的作用下垂直于導軌的ON邊以不變的速度[v0]向右勻速運動，導線單位長度的電阻為r，導線與導軌的接觸點為a和b，從直導線在O處時開始計時，若在[t0]時刻撤去外力，求導線最終停在導軌上的位置坐標。

［分析］由牛頓第二定律有：[F=ma]? ? ? ? ? ?①

由動量定理有：[FΔt=mΔv]

在上面的解題過程中，主要運用了①②③這三個式子，因為去除了外力的桿會做加速度變小的減速運動，故用一般方法無法解決。這時可取時間元[Δt]，通過整理并且兩邊進行疊加發現[lvΔt]可以表示桿子掃過的梯形面積S，而[Δv]為全過程的速度的變化量，此時問題就能迎刃而解了。可見微元法是解答此問的關鍵，也是學生處理這個問題的瓶頸。

（三）以數學為依托，深化對微元法的理解

在高中數學教學中，也會對微元法的相關概念進行討論，教師可以查看數學教材中對微元法思想的相關闡述，再結合物理學科背景進行教學，這樣有助于學生對微元法進行遷移運用，加深學生對微元法思想的理解。

1.強調微元法的數學思想

運用微元法解題時，一般從對事物的極小部分（微元）的分析著手，通過各部分的疊加，達到解決整個問題的目的。微元法的思路是先“分割取元”，接著對元進行逼近與分析，所謂逼近就是指當你正確取元后，你的研究對象或過程就與某些便于處理的模型和物理過程接近了，比如說當取時間元[Δt]后，此時研究的過程就向勻速運動逼近，就可以將其作為勻速直線運動來處理了。最后就是將各個元進行疊加，從而得到整體的結論［2］。

2.深化對微元法的理解

微元法的核心之一就是“元分割”與“元疊加”。分割取元一般有兩種情況：

一是將研究對象進行分割。比如一根有長度的金屬棒可以將其分割為無限多個[Δl]的元長度；一個帶電體可以將其分割為無限多個[Δq]的元電荷；一條曲線也可以分解為無限根直線；等等。

二是將研究的過程進行分割。比如變速運動可以分割為無限個勻速直線運動的元過程；變力做功過程可以分割為無限個恒力做功的元過程；等等。

微元法最關鍵的地方就是能夠根據不同的情況合理地選取“元”，不可以盲目地進行分割取元。要想合理地取元，必須與后一步“逼近與分析”聯系起來，也就是說取元的目的應當非常明確，取出來的“元”一定是我們容易處理的物理模型或過程，不然取出來的元是沒有意義的。

對元的選取要注意兩點：首先，要確保所取的元具有可相加性，不然這些元最后將無法相加，以至于無法反映整個對象的特性。其次，要確保所取的元沒有遺漏與重復，否則將無法得到正確的整體性質。“元疊加”這一過程其實就是高等數學中的積分，在中學也就是兩邊的無限求和，用“[Σ]”表示。在中學物理中遇到的疊加問題都是有其宏觀的物理意義。比如說“[vΔt]”就表示全過程的位移，[Δv]表示初、末速度的變化量等。在分割取元時應當要考慮將元疊加后應該有宏觀的物理意義。

（四）以生活為經驗，內化微元法的內容

通過與學生的交流發現，學生較難掌握微元法的重要原因是生活中并沒有直觀的模型或經驗，這樣學生就難以接受與理解微元法。其實生活中涉及微元法的思想很多，教師可以選擇適當的例子，通過視頻、實驗等展現給學生，讓學生體會微元法思想在生活中也是常見的，是真實的，以此幫助學生接受微元法思想，實現知識的內化。

例如，微元法思想在“化曲為直”分析中的運用，教師可以地球為例來展示，教師先問學生“當大家在高處往空曠的遠方眺望時，覺得地面平直嗎？”，學生憑借經驗會得到肯定的結論，接著教師拿出地球儀，讓學生思考“大家都知道地球是一個球體，其表面應當是曲面，但為什么地面上的人看到地面卻覺得它是平面呢？”。該問題可引發學生的認知沖突，學生通過思考與討論發現實際上就是由于在地面上的人看到的平面僅僅是整個地球表面非常小的一部分，相對于整個球面而言該部分就是一個“面元”，當然非常小的“面元”就可近似視為平面，這就是微元法在“化曲為直”分析中的一個具體運用。當學生理解了這個例子后，對微元法的思想自然能接受，同時對該種方法也有了更加深刻的理解。又比如對將變化的過程處理為多個不變過程的疊加時，可以用植物的生長過程來類比。用攝像機快速播放植物幾個月內的生長過程，人們可以非常明顯地觀察到植物的生長變化，但生活中我們就算觀察植物一整天也無法發現植物在生長。這是因為相對幾個月而言，一天的時間是非常短的，相當于“[Δt]→0”這個條件，因此對整個變化過程（幾個月中植物的生長），我們可以將其分解為多個近似不變的過程（一天中植物的生長）的疊加來處理。

總之，微元法是人類研究數學和物理問題的重要思想方法。中學物理教師要在實踐中讓學生掌握這種方法，讓學生體會微元法思想的重要性。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 物理 必修1［M］.北京：人民教育出版社，2006.

［2］? 沈晨.更高更妙的物理 ［M］.杭州：浙江大學出版社，2007.