半群DkPn的秩和平方冪等元秩

張建國，余江慧，羅永貴

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

設(shè)S是半群,A是S的非空子集且a,e∈S。若對任意的s∈S,存在a1,a2,…,am∈A使得s=a1a2…am,則稱A是半群S的生成集,記為S=〈A〉。若對半群S的任意生成集B都有|A|≤|B|,則稱A為半群S的極小生成集。通常半群S的秩定義為

rank(S)=min{|A|:A?S,〈A〉=S},

其中|A|為A的基數(shù)。若e2=e,則稱e為半群S的冪等元,半群S中所有冪等元之集記為E(S)。類似地,A中所有的冪等元之集記為E(A)。若(a2)2=a2且a2≠a,則稱a為半群S的平方冪等元,半群S所有平方冪等元之集用E2(S)表示。類似地,A中所有的平方冪等元之集記為E2(A)。若A?E2(S)且對任意s∈S,存在b1,b2,…,bt∈A使得s=b1b2…bt,則稱A為半群S的平方冪等元生成集。令M是半群S的任意平方冪等元生成集且|A|≤|M|,則稱A為半群S的平方冪等元極小生成集,進而稱|A|為半群S的平方冪等元秩,記為

rank2(S)=min{|A|:A?E2(S),〈A〉=S}。

設(shè)Xn={1,2,…,n}并賦予自然序,Pn和Sn分別是Xn上的部分變換半群和對稱群,記SPn=PnSn,則SPn是Pn的子半群。令

記Dk=〈gk,δk〉,稱Dk為Xn上的k-局部二面體群且令DkPn=Dk∪(PnSn),易證DkPn是半群Pn的子半群。設(shè)α∈DkPn,用im(α)表示α的象集,dom(α)表示α的定義域,ker(α)表示dom(α)上的如下等價關(guān)系:

ker(α)={(x,y)∈dom(α)×dom(α):xα=yα}。

為敘述方便,引用Green-等價關(guān)系[1-2],在半群DkPn中L,R,H,D,J有如下刻劃:對任意的α,β∈DkPn有:

(α,β)∈L?im(α)=im(β);

(α,β)∈R?ker(α)=ker(β);

(α,β)∈J?|im(α)|=|im(β)|;

D=J。

對任意的i,j∈Xn,定義R(i,j)={α∈Jn-1:iα=jα},Ri={α∈Jn-1:dom(α)=Xn{i}},易知R(i,j)=R(j,i),當(dāng)3≤k≤n時,對Jn-1中的所有R-類作如下的分類:

用符號ζi(1≤i≤n)表示Jn-1中如下形式的冪等元:

設(shè)n≥3,3≤k≤n,記

E4={ζi:1≤i≤n};

令E(Jn-1)為Jn-1中所有冪等元之集,于是有E(Jn-1)=E1∪E2∪E3∪E4且E1,E2,E3,E4兩兩相交為空集。記

設(shè)δ∈E(Jn-1)且δ的唯一非單點核為(i,j),其中i,j∈Xn,則Jn-1中的平方冪等元形式如下:

其中:q∈Xn{i,j};dom(δi)=Xn{i};s,t∈Xn{i}。

當(dāng)n≥3,3≤k≤n,令

定理1設(shè)n≥3,3≤k≤n,則半群DkPn=〈{gk,δk}∪E〉。

定理3設(shè)n≥3,3≤k≤n,則半群DkPn=〈E2(DkPn)〉=〈{gkδk,δk}∪∏〉。

本文未定義的符號及術(shù)語參見文獻[1-2]。

為完成定理1及定理2的證明先給出以下若干引理。

引理1[1]當(dāng)n≥3時,SPn=〈E(Jn-1)〉。

引理2當(dāng)0≤r≤n-2時,Jr?Jr+1·Jr+1。

證明由文獻[8]引理1.3直接可得。

由引理2直接可得:

推論1設(shè)n≥3,3≤k≤n,則

DkPn?〈Jn-1,Dk〉。

引理3設(shè)n≥3,3≤k≤n,則

則

引理4設(shè)n≥3,3≤k≤n,則

從而

又由

則

即

引理5設(shè)n≥3,3≤k≤n,則

證明對任意的k+1≤i

(1)對

引理6設(shè)n≥3,3≤k≤n,則

定理1的證明因為半群DkPn=Dk∪(PnSn)=Dk∪SPn且Dk=〈{gk,δk}〉,再由引理1知SPn=〈E(Jn-1)〉,又由于E(Jn-1)=E1∪E2∪E3∪E4且E1,E2,E3,E4兩兩相交為空集。由引理3知

由引理4知

引理7[10]對任意的α,β∈Pn,有dom(αβ)?dom(α),im(αβ)?im(β)。

引理8設(shè)α,α1,α2,…,αs∈Jn-1使得α=α1α2…αs,則(α,αs)∈L,(α,α1)∈R。

證明由α=α1α2…αs及引理7可知im(α)?im(αs),又由α,αs∈Jn-1可知(α,αs)∈J,依據(jù)格林關(guān)系有|im(α)|=|im(αs)|=n-1,故im(α)=im(αs),即(α,αs)∈L。

由α=α1α2…αs及引理7可知dom(α)?dom(α1),從而有|dom(α)|≤|dom(α1)|。對任意的(x,y)∈ker(α1)有xα1=yα1;進而有xα1α2…αs=yα1α2…αs,即xα=yα,故(x,y)∈ker(α),進一步ker(α1)?ker(α),從而|dom(α1)|≤|dom(α)|,因此|dom(α1)|=|dom(α)|。由于α1∈Jn-1,則ker(α1)有n-1個不同的同余類,不妨設(shè)為a1ker(α1),a2ker(α1),…,an-1ker(α1),則a1ker(α1),a2ker(α1),…,an-1ker(α1)∈dom(α)/ker(α)。此外,a1ker(α)∪a2ker(α)∪…∪an-1ker(α)=dom(α);a1ker(α1)∪a2ker(α1)∪…∪an-1ker(α1)=dom(α1)。現(xiàn)假設(shè)|aiker(α1)|<|aiker(α)|,其中i∈{1,2,…,n-1},故|dom(α1)|=|a1ker(α1)|+|a2ker(α1)|+…+|an-1ker(α1)|< |a1ker(α)|+|a2ker(α)|+…+|an-1ker(α)|=|dom(α)|。與|dom(α1)|=|dom(α)|矛盾。故|aiker(α1)|=|aiker(α)|,即有ker(α)=ker(α1),故而(α,α1)∈R。

由引理8直接可得:

推論2設(shè)A?Jn-1且Jn-1=〈A〉,則A覆蓋Jn-1中的每一個R-類和每一個L-類。

引理9設(shè)n≥3,3≤k≤n,對任意的β∈Dk有:

容易計算:

引理10設(shè)n≥3,3≤k≤n,A?Dk∪Jn-1且Dk∪Jn-1=〈A〉,則:

(1)|A∩Dk|≥2。

證明(1)若|A∩Dk|=?,由A?Dk∪Jn-1可得A?Jn-1,進而有〈A〉?〈Jn-1〉=SPn,與〈A〉=DkPn矛盾,故|A∩Dk|≠?;若|A∩Dk|=1,不妨設(shè)A∩Dk=α,則〈A∩Dk〉=〈α〉是循環(huán)群,即〈α〉是交換群,與Dk是非交換群矛盾,故而|A∩Dk|≥2,(1)得證。

推論3rankDkPn≥

證明由引理10可得:

反之,由推論3知:

為完成定理3及定理4的證明先給出以下引理。

引理11設(shè)n≥3,3≤k≤n,Dk的極小生成集為{gkδk,δk},即Dk=〈{gk,δk}〉=〈{gkδk,δk}〉,且gkδk,δk均為平方冪等元。

從而

gkδk,((gkδk)2)2=(1Xn)2=1Xn=(gkδk)2;故gkδk是平方冪等元。同理可證(δk)2=1Xn≠δk,((δk)2)2=(1Xn)2=1Xn=(δk)2,即δk是平方冪等元。

DkPn=Dk∪SPn=〈{gkδk,δk}∪∏〉。

由定理3及推論3可得

特別地,類似上述證明可得:當(dāng)k=1時半群DkPn=D1Pn且