基于隨機反應均衡的供應鏈激勵機制設計

江澤武, 趙曉波, 薛 超, 朱萬山, 謝金星

(1.清華大學 工業工程系,北京 100084; 2.中國人民大學 商學院,北京 100872; 3.清華大學 數學科學系,北京 100084)

0 引言

近年來,機制設計在供應鏈管理中受到關注,其能有效地解決非對稱信息導致供應鏈效率受損的問題。PLAMBECK和DENEND[1]指出大型零售商(如沃爾瑪等)通過設計激勵機制來確保供應商做出與其私有信息相符的決策。具體而言,零售商可能不知道供應商的確切成本構成,例如原材料成本、勞動力成本等,但供應商知曉自身的成本信息。此時,零售商為了最大化自己的期望利潤,她可通過設計合同菜單,其包含多個合同,每個合同根據不同的供應商成本指定相應的批發價和訂貨量。面對合同菜單,供應商選擇一個特定合同來最大化自身的期望利潤。?AKANYILDIRIM等[2]考慮由零售商設計訂貨量和供應商利潤占比的合同菜單時,發現該機制在特定條件下可實現供應鏈協調。類似地,當供應商不知曉買家的私有信息時,他也可通過激勵機制的原理來指定批發價和訂貨量合同菜單,并將合同菜單提供給買家選擇。LEE和YANG[3]研究兩個同質的供應商,通過設計數量折扣和兩部收費兩種機制來分析具有私有需求信息的零售商競爭博弈。LI等[4]考慮兩個異構供應商給擁有私有需求信息的零售商設計最優激勵機制。

上述機制設計研究假設決策者是完全理性的。標準理論采用納什均衡來預測博弈參與者的決策,其假設每個參與者的策略都是對其他參與者策略的最優反應。然而,行為經濟學、行為運籌等領域進行大量的實驗研究,揭示真實人的決策大多情況下是有限理性的,通常伴隨著一些決策誤差[8]。隨機反應均衡(QuantalResponse Equilibrium, QRE)是行為經濟學對納什均衡的拓展而形成的均衡概念,由MCKELVEY和PALFREY[5]首先在博弈實驗分析中使用。該理論認為,博弈各方在計算每個策略的期望效用時,由于人的有限認知能力,體現出有限理性的特征,從而導致在實際決策中并不以概率1選擇納什均衡解。

近年來,在供應鏈管理實證研究中,決策者的有限理性受到廣泛關注[6,7]。CHEN等[6]、CHEN和ZHAO[7]研究完全信息下和不完全信息下的配貨博弈,發現參與者在博弈過程中表現出顯著的有限理性。KALKANCI等[8]研究人—人實驗下各種不同復雜程度的供應鏈合同設計,發現由于有限理性和公平偏好等行為使得簡單合同有時能取得更好的績效。KATOK等[9]通過實驗研究亦發現,基于批發價合同的供應商和零售商的博弈決策都存在顯著的有限理性。關于非對稱信息下機制設計的行為理論和實驗研究相對較少。JOHNSEN等[10]通過設計人-機交互的行為實驗,考察零售商擁有私有需求信息時供應商提供有限預付費和訂貨量合同菜單的情形,發現有限理性等決策行為能夠有效地解釋零售商的決策。

現有的研究工作,一方面,關于激勵機制設計方面的研究,均未考慮人的有限理性行為;另一方面,關于有限理性方面的研究,均未考察在激勵機制背景下的情形。若將隨機反應均衡引入激勵機制設計中,則會影響激勵相容和激勵參與約束的有效性,從而使得傳統的機制設計理論并不總是成立。

本文的研究工作是將隨機反應均衡引入到供應鏈激勵機制設計中,建立依據反應函數的概率選擇分析框架。模型中考慮由一個零售商(設計合同菜單)和一個供應商(擁有私有成本信息)組成的供應鏈,零售商設計包含批發價和訂貨量的最優機制。我們希望通過這一研究,將供應鏈管理中非對稱信息下的標準激勵機制設計拓展至最優反應均衡的激勵機制設計,啟發零售商在設計激勵機制時考慮供應商的有限理性等行為,以改善供應鏈管理的效率。

1 問題描述

考慮由一個上游供應商(記作“他”)和一個下游零售商(記作“她”)組成的兩級供應鏈系統。零售商售賣產品的市場價為p=a-q,其中q表示從供應商處采購并銷售到市場的產品數量,a代表市場規模。我們考慮非對稱信息:供應商的單件生產成本有低成本(cl)或高成本(ch)兩種類型,供應商知道自身的成本類型;但零售商并不確切知曉供應商的生產成本,只知道其屬于兩種類型中的一種。假定a>ch>cl以避免無意義的解。

具體地,類型為t∈{l,h}的供應商擁有單件生產成本ct。在決策過程中,零售商無法觀測到供應商的類型,只知道供應商是屬于類型l的概率為v,屬于類型h的概率為(1-v)。

圖1表示雙方交易過程中事件發生的順序,類似傳統機制設計中的事件流[2,3,11]。首先,零售商設計合同菜單(一個合同由批發價和訂貨量構成)并提供給供應商;然后,供應商選擇其中一個合同或拒絕合同;最后,若某個合同被選擇,供應商交付相應數量的產品,并獲取收入;零售商銷售產品到市場,并結算利潤。若供應商拒絕合同,雙方均不會獲利。

圖1 交易過程中事件發生的順序

2 完全理性下的激勵機制設計

假設零售商和供應商均為利潤最大化的理性決策者。考慮供應商的私有成本信息,我們對零售商設計最優的激勵機制進行建模分析。依據標準機制設計理論[11],零售商為兩種類型的供應商設計激勵機制M={(wt,qt)|t∈{l,h}},若供應商的成本類型為t,選擇某個合同d∈{l,h},即(wd,qd),那么市場零售價為pd=a-qd,零售商單件產品的利潤為pd-wd=a-qd-wd,則零售商和供應商的利潤分別是

(ΠR(d|M)=(a-qd-wd)qd,?d∈{l,h})

(1)

(2)

從零售商的角度進行分析,因其只知曉供應商以一定概率為不同的成本類型,故最大化自身的期望利潤為:

(3)

標準機制設計理論表明,零售商在設計最優的激勵機制時,需要確保滿足激勵相容(Incentive Compatibility)約束和激勵參與(Individual Rationality)約束,如下所示:

(4)

(5)

公式(4)為激勵相容約束(IC),表明類型為t的供應商選擇類型為t合同而獲得的利潤比選擇類型d≠t合同而獲得的利潤要高。因此,激勵相容約束能夠確保該激勵機制分離供應商私有成本信息。公式(5)為激勵參與約束(IR),標準模型假定參與約束的保留利潤為零。激勵參與約束使得各種類型t的供應商選擇類型為t的合同時,均能獲得大于或等于零的利潤,從而確保供應商能達成交易。值得說明的是,供應商也可以選擇拒絕合同,如圖1流程所示,但拒絕合同導致雙方利潤均為零,顯然對零售商也不利。

在分析非對稱信息下的最優激勵機制之前,首先考慮完全信息下的最優機制,作為參照基準。在完全信息下,其最優批發價和訂貨量如下所示。

引理1完全信息下的最優機制是wFB=c,qFB=(a-c)/2。

引理1中,上標FB代表“第一最優”。在該最優機制下,供應鏈渠道的利潤實現最大化,且批發價等于供應商的生產成本c,易得最優訂貨量為(a-c)/2。此時,供應商的利潤為零,零售商的利潤等于供應鏈渠道的利潤。該最優機制有助于研究非對稱信息對最優機制設計和供應鏈績效的影響。接下來分析供應商的成本信息不對稱時零售商的激勵機制設計問題。

命題1不完全信息下的最優激勵機制是:

(6)

命題1發現非對稱信息下的最優激勵機制設計的表現形式會收到市場規模a的影響。當市場規模較小時,高成本類型的合同參數均為零,表明激勵機制僅與低成本類型供應商進行交易而排除高成本類型供應商;當市場規模較大時,兩個類型合同參數均大于零,表明既可與低成本供應商進行交易亦可與高成本供應商進行交易,從而使得激勵機制能夠有效分離供應商的私有成本類型信息。

3 隨機反應均衡下的激勵機制設計

標準機制設計以完全理性人為前提假設,認為博弈參與者總是能夠完美地實現推理和最優測算。然而,行為經濟學、行為運籌管理等領域的大量研究表明,人們的實際決策與標準理論存在很多差異。為了更實際地刻畫決策者的博弈行為,本章構建相應的行為決策模型。

3.1 完全信息下隨機反應均衡的機制設計

首先分析完全信息下的隨機反應均衡的最優機制設計,為不完全信息下的隨機反應均衡的最優機制設計提供參照。

當供應商的生產成本是完全信息時,零售商提供單合同機制M=(w,q),其中合同批發價不小于供應商的生產成本c。若供應商接受該合同,則零售商得到利潤為(a-q-w)q。考慮到隨機反應均衡,決策者并不是絕對選擇納什均衡解,其決策依賴于某個概率。假設供應商接受合同(w,q)的概率為P,零售商最大化其利潤

(7)

若供應商拒絕合同,雙方利潤均為零。供應商收到零售商提供的機制M時,需要在可行域{接受合同,拒絕合同}做出決策。依據隨機反應均衡模型[5],供應商接受合同的概率P為

(8)

其中ΠS(M)是供應商接受合同時的利潤(w-c)q。當λ→+∞時,供應商總是選擇利潤最大的決策,則零售商的最優機制與完全理性下的情形一致,即引理1。當λ→0時,供應商以等概率在可行域{接受合同,拒絕合同}做出隨機選擇,零售商的最優機制為“第一最優”的納什均衡解w*=c,q*=qFB。由于供應商以等概率隨機選擇接受合同或拒絕合同,導致零售商和供應鏈渠道的期望利潤僅為λ→+∞情形下相應利潤的一半。接下來考慮有限理性處于0<λ<∞的范圍時隨機反應均衡下最優機制設計。

命題2在完全信息下,隨機反應均衡的最優機制的批發價和訂貨量滿足:

(9)

從命題2可看出,隨機反應均衡的最優機制的訂貨量q*為“第一最優”的納什均衡解,與有限理性參數λ無關,表明該情形下供應商渠道利潤并未明顯受損。最優批發價是一個關于有限理性參數λ的隱函數,求解得到最優的批發價是分段函數:當有限理性參數處于0<λ≤8/(a-c)2時,最優批發價等于供應商的生產成本,即w*=c;當有限理性參數處于8/(a-c)2<λ≤∞時,最優批發價隨著有限理性參數λ的增加先增加后減小,與完全理性下的最優批發價顯著不相同。考慮到隱函數性質較為復雜且難以得到閉式解,接下來將通過數值算例來進一步分析有限理性λ對完全信息下最優機制設計和供應鏈渠道績效的影響。

設置基礎參數:供應商的生產成本為c=3,市場規模為a=27(滿足a>c)。有限理性參數λ為0.01～1,參考供應鏈合同設計的相關行為實驗和理論[7,10]得到。

最優機制的批發價和訂貨量隨著有限理性λ的變化趨勢如圖2所示。可以發現,最優訂貨量保持不變,與“第一最優”的納什均衡解一致。最優批發價隨著有限理性λ的增加表現出三階段的變化:先不變,然后增加,最后減少。與完全理性下最優批發價的性質明顯不同。第一階段:當理性程度極低時,最優批發價等于供應商的生產成本c;第二階段:理性程度較低時,最優批發價隨著理性參數λ的增加而增加;第三階段:理性程度較高時,最優批發價隨著理性參數λ的增加而減少。若理性參數λ趨近于正無窮,最優批發價與完全理性下的引理1一致。

圖2 完全信息下最優機制的批發價和訂貨量隨著有限理性λ的變化規律

上述最優機制的機理是受到最優反應均衡模型的影響。從零售商的目標函數可發現,其期望利潤等于(a-q-w)q與接受合同概率P的乘積,最優訂貨量保持為常數q*=(a-c)/2,使得利潤函數是隨著批發價單調遞減的線性函數,對w的導數為-q*;而概率P=eλ(w-c)q/(eλ(w-c)q+1)是隨著批發價單調遞增的函數,?P/?w>0且?2P/?w2<0。當有限理性參數λ極小時,無論批發價取多少,供應商均以隨機等概率選擇接受或拒絕合同,故最優批發價等于供應商的生產成本;當有限理性參數λ較小時,增加批發價帶來合同被接受的概率P的增益,強于增加批發價帶來的利潤損益,故最優批發價隨著λ的增加而增加;當有限理性參數λ較大時,供應商理性程度較高,接受合同概率很高,通過提高批發價從而提高接受合同概率P的效果不明顯,弱于降低批發價帶來的利潤提升,故最優批發價隨著λ的增加而降低。

進一步考察有限理性對供應鏈績效產生的影響。圖3揭示最優機制下供應鏈各方的期望利潤隨著有限理性λ的變化規律。左面板顯示零售商的期望利潤隨著有限理性λ的增加,先不變后快速增加。其原因是當有限理性極小時,最優的批發價等于生產成本,而交易達成的概率也基本保持不變,故先保持不變;后續快速增加,是由于隨著供應商理性程度的提高,其接受合同的概率快速上升,使得零售商的收益快速上升。圖3右面板顯示供應商的期望利潤隨著的增加,呈現先不變、然后增加、最后減少的變化趨勢,與最優批發價關于有限理性的三階段相關。右半圖還展示供應鏈渠道的期望利潤隨著λ的增加先不變,然后快速增加。供應鏈渠道的期望利潤與接受合同概率P呈現線性正相關,也說明隨著λ的增加,接受合同概率P保持單調上升,從而使得供應鏈渠道績效增加。若λ的趨近于正無窮時,零售商獲取供應鏈渠道的全部利潤,供應商的利潤為零,與引理1中完全理性下的情形一致。

圖3 完全信息下最優機制的供應商各方期望利潤隨著有限理性λ的變化規律

3.2 不完全信息下隨機反應均衡的激勵機制設計

考慮到供應商的生產成本是私有信息,零售商不知曉供應商具體的生產成本,僅知曉其可能的成本參數cl,ch和對應的概率v,(1-v)。零售商為供應商設計機制M={(wt,qt)|t∈{l,h} },若供應商選擇某個合同(wd,qd),其利潤為(a-qd-wd)qd。考慮到隨機反應均衡模型,假設成本類型為t的供應商選擇合同(wd,qd)的概率為Pt(d),零售商最大化其期望利潤:

(10)

供應商收到零售商提供的激勵機制M時,需要在可行域{合同l,合同h,拒絕合同}做出決策。傳統機制設計理論假設代理人永遠選擇利潤或效用最大化的決策,激勵相容約束尤為重要。零售商設計的最優機制使得低(高)成本類型供應商選擇低(高)成本類型合同獲得的利潤優于選擇高(低)成本類型合同帶來獲得的利潤,從而分離供應商的私有成本信息。考慮到決策者實際存在隨機反應均衡的決策行為[5],即便某一成本類型供應商選擇與其成本類型不相符的合同獲得的利潤較少,他依然會以一定的概率做出這樣的決策,從而導致激勵相容失效。類似地,激勵參與約束也可能會失效,即供應商以一定的概率選擇相應的合同,而不會完全排除拒絕合同的選項。

考慮隨機反應均衡模型,重新定義供應商的決策行為,成本類型為t的供應商選擇合同(wd,qd)的概率為

(11)

考慮到隨機反應均衡模型的復雜性,難以得到閉式解,我們主要通過數值算例來探究有限理性λ對不完全信息下最優機制設計以及對供應鏈渠道績效的影響。大量數值算例表明,當市場規模較低時,滿足a≤(ch-vcl)/(1-v),有限理性下的最優機制以單合同的形式出現;當市場規模較高時,滿足a>(ch-vcl)/(1-v),有限理性下的最優機制出現可能雙合同結構。

數值算例參數如下:供應商的生產成本分別為低成本cl=3、高成本ch=9以及概率v=0.5、(1-v)=0.5,市場規模為a=12,15(滿足a≤(ch-vcl)/(1-v))和a=21,27,42(滿足a>(ch-vcl)/(1-v)),有限理性參數0.001～2的范圍內,步長0.001。

若市場規模較小(滿足a≤(ch-vcl)/(1-v))

圖4 不完全信息下最優機制的批發價和訂貨量隨著有限理性λ的變化規律(市場規模較小)

接下來探究最優機制形成的機理。當市場規模較小時,最優機制設計僅與低成本類型的供應商交易。該情形與命題1中傳統的機制設計類似,僅與低成本類型供應商進行交易而獲得的利潤是高于與兩種成本類型供應商均進行交易而獲得的利潤。此外,考慮隨機反應均衡,不完全信息下的最優機制退化成單合同形態,其最優批發價隨著有限理性λ的變化規律,與完全信息下的最優機制類似;最優訂貨量隨著有限理性λ的先減少后增加,當有限理性λ較小時,高成本類型的供應商可能以一定的概率接受合同,從而使得最優訂貨量處于(a-ch)/2和(a-cl)/2之間進行波動,當有限理性λ較高時,高成本類型的供應商接受合同概率幾乎可以忽略,故最優訂貨量收斂至低成本類型的“第一最優”的納什均衡解。

上述分析表明,有限理性對不完全信息下的最優機制產生顯著的影響。進一步探究有限理性對不完全信息下最優機制的供應鏈績效產生的影響。圖5左面板展示零售商的期望利潤隨著有限理性參數λ的增加呈現先降低后增加的趨勢。圖5右面板展示隨著理性參數λ的增加,供應商的期望利潤先增加而后逐步降低,供應鏈渠道的期望利潤逐步增加。

圖5 不完全信息下最優機制的供應商各方期望利潤隨著有限理性λ的變化規律(市場規模較小)

若市場規模較大(滿足a>(ch-vcl)/(1-v))

圖6 不完全信息下最優機制的批發價和訂貨量隨著有限理性λ的變化規律(市場規模較大)

我們進一步討論有限理性對不完全信息下最優機制對供應鏈績效產生的影響,如圖7所示,與市場規模較小的情形類似。零售商的期望利潤隨著有限理性參數λ的增加呈現先降低后增加的趨勢。供應商的期望利潤先增加而后逐步降低,供應鏈渠道的期望利潤逐步增加。

圖7 不完全信息下最優機制的供應商各方期望利潤隨著有限理性λ的變化規律(市場規模較大)

4 結論

本文研究零售商面對擁有私有成本信息供應商的最優激勵機制設計。首先,分析完全理性下的最優策略,結果表明,當市場規模較小時,最優機制僅與低成本類型供應商交易;當市場規模較大時,可與兩種類型供應商交易,且面對低成本類型供應商時總能實現渠道最優,而高成本類型時的最優訂貨量偏離渠道最優。然后,引入隨機反應均衡模型,從而分析有限理性下的激勵機制設計。結果表明,完全信息下最優訂貨量始終保持渠道最優,最優批發價隨著供應商理性程度的上升先增加后減少,并收斂至完全理性下的最優策略。最后,研究不完全信息下隨機反應均衡的激勵機制設計,結果表明,當市場規模較小時,最優機制僅提供低成本類型供應商正收益的合同,最優批發價隨著供應商理性程度的上升先增加后減少;當市場規模較大時,隨著供應商理性程度的上升,最優機制逐步呈現三個狀態:僅提供低成本類型供應商正收益的單合同,提供兩種類型供應商正收益的單合同,提供兩種類型供應商正收益的合同菜單。若供應商理性程度趨近于正無窮,最優機制收斂至完全理性下最優策略。

本文進一步考察了有限理性對最優機制下供應鏈績效的影響。首先,有限理性下的供應鏈整體渠道利潤小于完全理性下的供應鏈整體渠道利潤,即有限理性會帶來供應鏈渠道績效受損。然后,完全信息下,零售商和渠道的期望利潤隨著有限理性的增加而單調增加;供應商的期望利潤在其理性程度極低或極高時均較少。最后,不完全信息下,渠道的期望利潤隨著有限理性的增加而單調增加,零售商的期望利潤在供應商理性程度極低或極高時較高,供應商的期望利潤在其理性程度極低或極高時利潤較少。上述結果主要源于供應商理性程度極低時,可能接受利潤極小甚至負收益的合同,從而使得供應商期望利潤較低;而供應商理性程度極高時,供應商接受利潤極小的合同,使得零售商能獲取更大的利潤空間。

本研究主要考慮在有限理性下,上游供應商擁有私有成本信息而零售商設計激勵機制(由批發價和訂貨量構成)。基于此,可能在諸多方面進一步拓展。例如,在有限理性下,考察不同類型的機制設計,包括常見的收入分享合同或回購合同;不同類型的非對稱信息,下游零售商可能擁有私有市場需求信息等。本文關于激勵機制設計的行為理論研究為其他考慮行為的機制設計研究提供了一個參考框架。