帶有相依稀疏算子的一階隨機系數二項自回歸模型

邰志艷, 王佳聰, 楊 凱, 張 潔

(長春工業大學 數學與統計學院, 長春 130012)

0 引 言

α◇θX=U1+U2+…+UX,

其中Ui=ViZ, 且非負整數值隨機變量X與{Ui,i∈+}相互獨立, {Vi,i∈+}是獨立同分布的、 以θ∈(0,1)為參數的Bernoulli隨機變量序列,Z是服從參數為的Bernoulli分布的隨機變量, 且0<α≤θ<1.Zhang等[5]將“◇θ”算子應用到BAR(1)模型中, 建立了帶有可替代相依稀疏算子的一階二項自回歸(ADCBAR(1))模型. 上述模型的稀疏參數均固定不變, 但在實際問題中, 稀疏參數有時會隨著時間的變化而變化. 為體現參數的動態變化性, Zheng等[6]將INAR(1)模型推廣到隨機系數情形, 建立了一階隨機系數整數值自回歸(RCINAR(1))模型; Yang等[7]提出了由Logistic回歸驅動的隨機系數整數值門限自回歸(RCTINAR(1)-X)模型; 張睿[8]提出了協變量驅動的二項自回歸(BAR(1)-X)模型. 本文針對有限范圍內存在相依性及零堆積性質的整數值時間序列數據, 在文獻[5]的基礎上, 考慮將ADCBAR(1)模型推廣到隨機系數情形, 并給出其相應的統計推斷.

1 模型定義和性質

1.1 模型建立

定義1設{Xt}是取值于非負整數集的時間序列, 若滿足以下方程:

Xt=αt◇θXt-1+βt◇θ(n-Xt-1),

(1)

RCADCBAR(1)模型的轉移概率為

其中k和l分別為t和t-1時刻的狀態,IA是條件A的示性函數, 即當滿足條件A時IA=1, 否則IA=0.

1.2 RCADCBAR(1)模型的概率統計性質

命題1由式(1)定義的RCADCBAR(1)過程是遍歷的, 且有唯一的平穩分布.

證明: 由式(1)可知RCADCBAR(1)過程{Xt}是狀態空間I={0,1,…,n}上的Markov鏈.RCADCBAR(1)過程的轉移概率Pk|l恒大于0, 即{Xt}是一個不可約且非周期的Markov鏈.又因為I是一個有限集合, 因此式(1)是正常返的, 從而由文獻[9]中定理4.3.3可知, RCADCBAR(1)過程(1)是遍歷的, 并存在唯一的平穩分布.

命題2設{Xt}是模型(1)的平穩解, 則對于t≥1, 有:

1)E(Xt|Xt-1)=(a-b)θXt-1+nbθ;

證明: 只需證3).因為

Var(Xt|Xt-1)=Eat,bt(Var(Xt|Xt-1,at,bt))+Varat,bt(E(Xt|Xt-1,at,bt)),

E(Xt|Xt-1,at,bt)=atθXt-1+btθ(n-Xt-1),

所以

從而可得3)的表達式.

2 參數估計

假設at～Beta(a1,b1),bt～Beta(a2,b2), 則可得模型的轉移概率為

在進行舊建筑風格的設計師時要貫徹整體性原則，按城市規劃的要求進行宏觀控制，使建筑設施和其周圍的環境保持高度的一致。除建筑風格保持統一外，尚應考慮在色彩方面的統一、呼應。各單體建筑具有自身的特點，應按照單體符合總體的要求開展設計，把單體建筑放在共性的框架之中，彰顯出既有個性，又有統一的設計特征。

(2)

(3)

其中η0為參數真值,I(η)為Fisher信息陣.

證明: 只需驗證文獻[10]中條件5.1是否成立:

(i) 令(k,l)∈I, 使得Pk|l(η)>0且不依賴于參數η;

(ii) 每個轉移概率Pk|l(η)在參數空間Θ上都具有連續的三階偏導數;

(iv) 對任意的η∈Θ, 只存在一個遍歷集且不存在瞬時狀態.

RCADCBAR(1)過程的狀態空間I是一個有限集, 因此對?k,l∈I, 恒有轉移概率Pk|l>0, 則條件(i)和(iv)成立.注意到Pk|l是關于η的多項式, 關于參數的偏導到任意階都存在且連續, 則條件(ii)成立.此外, 轉移矩陣不可約, 不失一般性, 下面假設n>4.由條件(iii)可知, 只需找到一個w×w階方陣, 證明其滿秩即可.通過計算可知, 矩陣

的行列式不為零, 即該矩陣是可逆的, 因此條件(iii)成立, 其中

綜上可知, 文獻[10]中的條件5.1成立, 因此定理1得證.

3 數值模擬

選取下列3組不同的參數進行數值模擬, 分別取樣本量T=100,200,300,500:

1) (n,a1,b1,a2,b2,θ)=(10,0.8,0.1,0.2,0.6,0.85);

2) (n,a1,b1,a2,b2,θ)=(7,0.9,0.3,0.1,0.7,0.9);

3) (n,a1,b1,a2,b2,θ)=(5,0.2,0.7,0.8,0.1,0.7).

圖1為RCADCBAR(1)模型在上述3組不同參數下樣本量T=200時的樣本路徑圖及自相關函數(ACF)圖. 由樣本路徑圖可見, 3個序列均為平穩序列并具有零堆積的性質. 由ACF圖易見, 本文模型不僅能刻畫正相關數據, 對負相關數據同樣適用. 對于每個參數組合, 在R軟件環境下進行1 000次重復試驗, 分別計算其偏差(Bias)和均方誤差(MSE), 模擬結果列于表1. 由表1可見, 隨著樣本量的增大, 估計值的偏差和均方誤差均逐漸減小, 估計值逐漸收斂到真實參數, 表明估計的效果越來越好, 同時驗證了條件最大似然估計的相合性和有效性.

表1 不同樣本量下3組參數的估計結果Table 1 Estimated results of three groups of parameters with different sample sizes

圖1 3組參數下的樣本路徑圖及ACF圖Fig.1 Sample paths and ACF diagrams under three groups of parameters

4 實例分析

本文將RCADCBAR(1)模型應用于南京2015年1月到2020年12月每周下雨天數數據集中(數據來源于https://lishi.tianqi.com). 該數據集上限n=7, 包含T=312個觀測值, 樣本均值和方差分別為1.705和2.569.

圖2為數據集的路徑圖、 ACF圖及偏自相關函數(PACF)圖. 由路徑圖可見, 數據中包含較多的零數據, 由ACF圖可見, 數據集具有自相關特征. 本文將RCADCBAR(1)模型與ADCBAR(1)模型[5]、 BAR(1)模型[11]及零膨脹模型[12]進行比較, 結果列于表2. 由表2可見, RCADCBAR(1)模型與ADCBAR(1)模型的對數似然函數值近似相等, 由于RCADCBAR(1)模型的參數個數比ADCBAR(1)模型多, 因此其AIC(Akaike information criterion)與ADCBAR(1)模型的AIC有些差距, 但兩者的AIC均小于BAR(1)和ZT0-BAR(1)模型. 且RCADCBAR(1)模型的均方根(RMS)小于其他模型的RMS, 因此RCADCBAR(1)模型擬合效果相對較好. 本文對ADCBAR(1)模型的隨機系數推廣有意義, 它能更好地刻畫個體之間具有相依性的有上限零堆積整數值時間序列的數據.

表2 不同模型對南京2015-01—2020-12每周下雨天數數據集的擬合結果比較Table 2 Fitting results comparison of different models on dataset of weekly rainy days in Nanjing from 2015-01 to 2020-12

圖2 南京2015-01—2020-12每周下雨天數數據集的樣本路徑圖、 ACF圖和PACF圖Fig.2 Sample paths, ACF and PACF diagrams of dataset of weekly rainy days in Nanjing from 2015-01 to 2020-12