函數誠可貴 同構價更高

陳熙春(正高級教師)

(寧夏六盤山高級中學)

利用同構法解題已經成為近年來高考命題的熱點.對一個等式或不等式進行變形,使等式或不等式左、右兩邊式子結構完全相同,然后通過構造函數,利用函數的單調性進行處理,找這個函數模型的方法就是同構法.在一些函數或不等式問題中,同構已經成為一種常見的解題意識與技巧.其關鍵在于觀察函數或式子結構的共性,并合理構造共性,借助并應用共性解題.

1 常見同構試題類型

1.1 利用同構法解決解不等式中比較大小問題

例1(2020年全國Ⅰ卷理12)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,則( ).

A.a＞2bB.a＜2b

C.a＞b2D.a＜b2

解析因為2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b,而22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b,所以2a＋log2a＜22b＋log22b.

令f(x)＝2x＋log2x,由指數、對數函數的單調性可得f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,且f(a)＜f(2b),所以a＜2b,故選B.

點評解題的關鍵是先對等式右邊4b＋2log4b變形并放縮,得到2a＋log2a＜22b＋log22b,觀察不等式左、右兩邊的結構特點,構造函數f(x)＝2x＋log2x,從而利用函數的單調性進行求解.

變式(2020 年全國Ⅱ卷理11)若2x－2y＜3－x－3－y,則( ).

A.ln(y－x＋1)＞0 B.ln(y－x＋1)＜0

C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0

解析由2x－2y＜3－x－3－y,可得2x－3－x＜2y－3－y.令f(x)＝2x－3－x,由指數函數的單調性可得f(x)在R上單調遞增,且f(x)＜f(y),所以x＜y,即y－x＞0.因為y－x＋1＞1,所以

故選A.

點評把不等式變形,使不等式左、右兩邊結構形式完全相同,通過構造函數,結合函數的單調性求解.

1.2 利用同構法求解參數取值范圍問題

例2(2020 年新高考Ⅰ卷21,節選)已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析方法1構造函數法

f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等價于elna＋x－1＋lna－1≥lnx等價于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.

令g(x)＝ex＋x,上述不等式等價于g(lna＋x－1)≥g(lnx),顯然g(x)在R 上為增函數,則lna＋x－1≥lnx,即lna≥lnx－x＋1.

令h(x)＝lnx－x＋1,則,在(0,1)上,h′(x)＞0,h(x)單調遞增;在(1,＋∞)上,h′(x)＜0,h(x)單調遞減,所以hmax(x)＝h(1)＝0,則lna≥0,即a≥1,故a的取值范圍是[1,＋∞).

點評解題的關鍵是在變形的基礎上連續進行五次等價轉化,第一次等價轉化為不等式elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx;第二次等價轉化為不等式g(lna＋x－1)≥g(lnx);根據g(x)的單調性,第三次等價轉化為lna≥lnx－x＋1;令h(x)＝lnx－x＋1,第四次等價轉化為求h(x)的最大值;第五次轉化為關于a的對數不等式lna≥0,解得a的取值范圍.

方法2“改頭換面”切線放縮法

由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,等價于

由①和③得lna＋lnx＋1≥lnx－lna＋1,即2lna≥0,所以lna≥0,故a≥1.

點評在解決含有指數式和對數式混合型不等式問題時,有時在同構的基礎上結合切線放縮可以有效降低此類問題的難度.利用ex≥x＋1,x－1≥lnx將ex和lnx同時放縮成直線,這種方法稱為“改頭換面”.

方法3構造“形似”函數法

點評本題先將原不等式等價變形,使其左、右兩邊具有“形似”結構,再構造“形似”輔助函數g(x)＝xex解題.解題的關鍵是將不等式轉化為函數的最值問題,再利用導數求該函數的極值(最值),然后構建不等式求解.

變式若不等式ln(x＋1)－a(x＋1)＞x－aex在x∈(0,＋∞)上恒成立,求實數a的取值范圍.

方法2設g(x)＝lnx－ax,則x－aex＝g(ex),不等式ln(x＋1)－a(x＋1)＞x－aex在x∈(0,＋∞)上恒成立,等價于g(x＋1)＞g(ex)在x∈(0,＋∞)上恒成立.又ex＞x＋1在x∈(0,＋∞)上成立(證明過程略),所以x＋1＞1,ex＞1,故g(x)＝lnx－ax在x∈(1,＋∞)上單調遞減,故g′(x)＝在x∈(1,＋∞)上恒成立,而∈(0,1),所以a≥1,故a的取值范圍是[1,＋∞).

點評形如ea±a≥b±lnb型的不等式一般有兩種同構途徑:

1)ea±a≥elnb±lnb,構造函數f(x)＝ex±x;

2)ea±lnea≥b±lnb,構造函數f(x)＝x±lnx.

方法1是以不等式右邊的表達式為標準構造函數,方法2 是以不等式左邊的表達式為標準構造函數,再借助函數的單調性求解.

1.3 利用同構法解決函數中的最值問題

點評解題的關鍵是進行xex＝elnx＋x的轉化,把含有指數式xex化為含有指數和對數式elnx＋x的同構式,再利用切線不等式ex≥x＋1放縮.常見的同構變形有

變式已知對任意實數x＞0,不等式2ae2xlnx＋lna≥0恒成立,求實數a的最小值.

點評解題的核心是把不等式兩邊化為同構式,分別構造函數,利用函數的單調性得到關于a的不等式,再利用參變分離構造函數求最值.比較這3種方法可知方法3最簡單,因為構造出的函數的單調性最明顯,所以在遇到乘積型問題時,兩邊取對數是比較簡單的方法.

1)形如乘積型aea≥blnb的同構,一般有三種同構途徑:

1.4 利用同構法解決與方程根有關的問題

變式已知x0是方程2x2e2x＋lnx＝0的實數根,則關于實數x0的判斷正確的是( ).

方法1由2x2e2x＋lnx＝0,得

方法3由2x2e2x＋lnx＝0,得2x2e2x＝－lnx,兩邊取自然對數得2x＋ln(2x2)＝ln(－lnx),則

得g(2x)＝g(－lnx),所以2x＝－lnx,即2x＋lnx＝0,故選C.

點評方法1 是以左邊的函數為目標,構造函數g(x)＝xex,方法2是以右邊的函數為目標,構造函數g(x)＝xlnx,方法3是兩邊取自然對數構造基本函數,顯然方法3較簡單.以上三種方法都用到了同構思想,一題多構殊途同歸,體現了思維的靈活性.

1.5 利用同構法解決不等式證明問題

例5(2014年全國Ⅰ卷理21)設函數f(x)＝,曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)＞1.

又h′(x)＝e－x(1－x),所以當x∈(0,1)時,h′(x)＞0,當x∈(1,＋∞)時,h′(x)＜0,所以h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,故

點評若不等式中同時含有指數式和對數式,則在證明過程中要進行指、對分離(“一分為二”),把指數式和對數式分別放在不等式的兩邊,采用“分而治之”的策略分別求出不等式兩邊函數的最值.

點評同構主要原理:若F(x)≥0 能夠變形成f[g(x)]≥f[h(x)],則可利用f(x)的單調性進行轉化,如若f(x)單調遞增,則轉化為g(x)≥h(x).

1.6 利用同構法解決雙變量問題

點評對于含有二元變量x1,x2的函數,常見的同構類型有以下幾種:

點評題目中出現x1,x2,f(x1),f(x2)的對稱數據,因而我們可以把x1和f(x1)放在一起,把x2和f(x2)放在一起,兩個變量沒有等量關系,具有任意性,故可以化為同構式,構造新函數,再結合函數的單調性求解.

2 小結

運用同構法構造函數是高中數學解題的一種常見方法,尤其對于涉及包含指數、對數函數混合的不等式問題有著巧妙應用.在解題過程中要充分挖掘題目結構式隱含的共性特征,通過觀察、分析,不斷變形等將之轉化為結構相同的式子,再構造函數,利用函數的單調性或不等式放縮等方法解決問題.

(完)