基于“設而不求”下的導函數(shù)零點合理構設

巨小鵬 彭文琴

(1.四川師范大學實驗外國語學校 2.陜西省漢中市龍崗學校)

1 問題提出與解決

點評本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性從而得到函數(shù)的極值,考查了二次函數(shù)的圖像及性質.解題的關鍵在于兩點:

1)證明函數(shù)存在唯一極小值,通過零點代換將復雜的函數(shù)簡單化;

2)證明函數(shù)值范圍,通過逆向思維分析零點所在大致區(qū)間,從而得到函數(shù)值范圍,與所證明結果契合.

2 隱零點問題構設與思考

在導函數(shù)解答題求解過程中,常常利用“設而不求”解決導函數(shù)零點問題,即對隱零點進行合理構設,其思路是形式上虛設,運算上代換,數(shù)值上估計,策略上等價轉化.

2.1 直接代換

例2(2020年新高考Ⅰ卷21)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna.

(1)當a＝e時,求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析(1)因為f(x)＝ex－lnx＋1,所以f′(x)＝ex－,即k＝f′(1)＝e－1.又f(1)＝e＋1,所以切點的坐標為(1,1＋e),故函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y－e－1＝(e－1)(x－1),即y＝(e－1)x＋2,所以切線與坐標軸交點的坐標分別為,則所求三角形面積為

當x∈(0,x0)時f′(x)＜0,當x∈(x0,＋∞)時,f′(x)＞0,而,故lna＋x0－1＝－lnx0,因此

當0＜a＜1 時,f(1)＝a＋lna＜a＜1,所以f(1)＜1,不符合題意.

綜上,實數(shù)a的取值范圍是[1,＋∞).

點評第(2)問借助導數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調性,通過指對代換將函數(shù)簡單化,求出其最小值,進而通過fmin(x)≥0即可求出a的取值范圍,此法是本題的通性通法;本題也可以利用同構思想將原不等式化成elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx,再根據(jù)函數(shù)h(m)＝em＋m的單調性,利用分離參數(shù)法即可求出a的取值范圍.

2.2 參數(shù)代換

例3已知函數(shù)f(x)＝eλx－λlnx.

(1)當λ＝－1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;

(2)若0＜λ＜e,函數(shù)f(x)的最小值為h(λ),求h(λ)的值域.

當x∈(0,x0)時,t(x)＜0,即f′(x)＜0,故f(x)單調遞減;當x∈(x0,＋∞)時,t(x)＞0,即f′(x)＞0,故f(x)單調遞增,所以

點評本題考查了導數(shù)的綜合應用,考查了運算求解能力與邏輯推理能力,細心計算、合理轉化是解題的關鍵,將參數(shù)進行代換,然后構造新函數(shù),利用新函數(shù)的性質解決問題.

2.3 隱零點同構

當a＜0,x＞0時,ax－ex＜0,所以當x＞1時,f′(x)＜0;當0＜x＜1時,f′(x)＞0,故函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減.

2.4 隱零點估計

例5(1)討論函數(shù)的單調性,并證明:當x＞0時,(x－2)ex＋x＋2＞0;

(2)證明:當a∈[0,1)時,函數(shù)g(x)＝有最小值.設g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

解析(1)易知f(x)的定義域為(－∞,－2)∪(－2,＋∞),且

當且僅當x＝0 時,f′(x)＝0,所以f(x)在(－∞,－2),(－2,＋∞)上單調遞增,而當x∈(0,＋∞)時,f(x)＞f(0)＝－1,所以(x－2)ex＞－(x＋2),故(x－2)ex＋x＋2＞0.

點評第(1)問先求定義域,再用導數(shù)法求函數(shù)的單調性,進而證明當x∈(0,＋∞)時,f(x)＞f(0).第(2)問用導數(shù)法求函數(shù)g(x)的最值,再構造新函數(shù),利用導數(shù)法求解.

(完)