“分類討論”思想在導數解答題中的應用

于志東 王興濤

(山東省青州第一中學)

在處理導數解答題時,會遇到多種多樣的情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后整合,這就是數學中“分類討論”思想在解題中的靈活運用,其優點在于“化整為零”“各個擊破”.在進行分類討論時,我們要遵循標準統一、不漏不重的原則.

1 對參數實施“分類討論”

在處理含有參數的函數問題時,往往需要根據問題的具體情況對參數實施“分類討論”,進而順利求解有關函數的單調性、極值等問題.

1.1 討論函數的單調性

例1已知函數g(x)＝lnx＋ax2＋bx,其中g(x)的函數圖像在點(1,g(1))處的切線平行于x軸.

(1)確定a與b的關系;

(2)若a≥0,試討論函數g(x)的單調性.

點評本題第(2)問需要分類討論的原因是令時對應方程的根的情況以及根的大小關系不確定.

1.2 討論函數的極值

例2已知函數f(x)＝x－alnx(a∈R).

(1)當a＝2 時,求曲線y＝f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;

(2)求函數f(x)的極值.

解析由題意知f(x)的定義域為(0,＋∞),且

(1)當a＝2時,f(x)＝x－2lnx,f′(x)＝1－(x＞0),所以f(1)＝1,f′(1)＝－1,故曲線y＝f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1),即x＋y－2＝0.

綜上,當a≤0時,函數f(x)無極值;當a＞0時,函數f(x)的極小值為a－alna,無極大值.

點評本題第(2)問需要討論的原因是導函數與0的大小關系不確定.

2 對自變量實施“分類討論”

處理不含參數的函數問題時,一般不需要分類討論.但直接求解比較困難時,則可考慮對自變量實施“分類討論”,進而借助函數的圖像與性質求解.

例3已知函數f(x)＝sinx－ln(1＋x).

(1)證明:f′(x)在(－1,)上存在唯一極大值點;

(2)證明:f(x)有且僅有2個零點.

所以sinx－ln(x＋1)＜0,即f(x)在(π,＋∞)上不存在零點.

綜上,f(x)有且僅有2個零點.

點評一般地,利用導數確定函數零點或方程根的個數的常用方法如下.1)構建函數g(x),將原問題轉化為確定g(x)的零點個數問題,利用函數的性質和圖像,通過數形結合求解.2)利用零點存在定理:先用該定理判斷函數在某區間上有零點,然后利用導數研究函數的性質,進而判斷函數在該區間上零點的個數.

(完)