破“題眼”，解“自然”

陳秀云

數學解題，方法的選擇往往由思路產生，而思路則是來源于自己已有的解題經驗及知識的遷移，俗稱為靈感，不同的靈感決定了不同的思路，不同的思路決定不同的解法，不同的解法又有繁簡之分，甚至決定了能不能完成解題，所以如何產生好的靈感，是解題的關鍵。筆者以2017年東莞市中考數學第24題為例，以“題眼”——數學模型為依據，進行構造輔助線，讓學生有法可依地、自然地產生解題方法。

一、題目呈現

（2017廣東24題9分）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，點E為線段OB上一點（不與O、PB重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB.

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

（2）求證：CF＝CE；

（3）當時，求劣弧BC的長度（結果保留π）.

二、解法展示（例析）

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

【題眼】 “角平分線+兩垂線”

思路1：如圖1，過點B作BM⊥PC于點M，因為PF為⊙O的切線，所以 OC⊥PF，易求CO∥BM，那么∠OCB=∠MBC，因為OC=OB，所以∠OCB=∠OBC=∠MBC，易求△CEB≌△CMB，從而得到∠ECB=∠MCB， 所以CB是∠ECP的平分線。

思考：思路1直接用角平分線性質：“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”作輔助線，作BM⊥CP，易得到CO∥BM，從而用△CEB≌△CMB來求解。

（2）求證：CF＝CE；

【題眼】“角平分線+平行線”

思路：如圖2，因為PF為⊙O的切線，AF⊥PC， 易求CD∥AF，所以∠FAC=∠ACD，因為OA=OC那么∠CAO=∠ACD從而可求得∠FAC=∠CAO因為AF⊥FC，CE⊥AB利用角平分線的性質可得CF=CE。

思考：第2個問題可以構造全等型來解決，如作OM⊥AF，可構造“一線三垂直”的全等模型△OMA≌△CEO，而且此時發現還構造了一個矩形，從而得到FC=OM=CE；作AM⊥CD，可構造“8字型”全等模型△OMA≌△OEC，也構造了一個矩形AMCF，從而得到：FC=AM=CE；作CM∥AO，構造了一個菱形AOCM，從而也構造了一個“自旋轉型”的全等型△FCM≌△ECO，從而得到CF=CE。第2個問題還可以通過“兩平一等”模型來求解，從條件中可證CD∥AF，再結合等腰△AOC易得出∠FAC=∠CAO，然后根據“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”即可求得CF=CE。

（3）當時，求劣弧BC的長度（結果保留π）.

【題眼】 “角平分線+一條垂線”

三、教學反思

面對具體問題，不同人的思維會向不同的方向發散，從而形成很多不同的解決方法，然而解題方法的自然生成在爭分奪秒的考場上往往決定能否完成解題的一個關鍵，所以要達到自然生成解法，必須給解題過程來個“有法可依，有跡可尋”的步驟，否則面對綜合性壓軸題時，無法找到解題的突破口，從而無法完成題目的解答。如何讓學生具備解法自然的能力，它是需要教師在教學過程中訓練并滲透方法。筆者認為，首先應熟記定理的基本圖形，熟記常用的數學模型——“題眼”，如：一線三等角相似形或全等形，手拉手模型，射影型，垂徑模型等。其次學會縱向上尋找題干中的條件，引導學生讀懂每一個信息，發掘每一個基本圖形，直接衍生出簡單結論。所以，當學生對數學模型及定理的基本圖形有足夠的積累和敏感時，解題也就自然而然，水到渠成了。

責任編輯 邱 麗