基于數(shù)學(xué)建模思想的貝葉斯公式教學(xué)方法研討

馬德宜 柳福祥 崔盛

【摘要】《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是幾乎所有大學(xué)生都需要學(xué)的一門課程，貝葉斯公式是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的重要公式之一.文章由貝葉斯公式的實(shí)際應(yīng)用題出發(fā)，首先，基于貝葉斯理論給出解答過程；其次，基于數(shù)學(xué)建模的思想，對(duì)題目進(jìn)行拓展，分析貝葉斯公式與次品率之間的關(guān)系，得到該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性隨著甲車間的次品率的增大而增大的結(jié)論，分析貝葉斯公式與占有率之間的關(guān)系，得到當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例在區(qū)間[0.2，0. 5]時(shí)該次品來自丙車間生產(chǎn)的可能性最小的結(jié)論；最后，通過源碼和圖形仿真驗(yàn)證結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式；數(shù)學(xué)建模；仿真驗(yàn)證

【基金項(xiàng)目】高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心2021年教學(xué)改革項(xiàng)目（CMC20210504）

國內(nèi)外已有許多學(xué)者從不同角度對(duì)與貝葉斯公式相關(guān)的教學(xué)進(jìn)行了研究，比如在線課程設(shè)計(jì)、課程思政、數(shù)學(xué)建模、后驗(yàn)分布、統(tǒng)計(jì)推斷等.雖然貝葉斯的相關(guān)知識(shí)在教材上有許多例題，但是大部分都是以貝葉斯公式為基礎(chǔ)進(jìn)行求解的.文章將以貝葉斯公式為基礎(chǔ)，對(duì)應(yīng)用問題進(jìn)行拓展，考慮各種極值情況，最后再用Matlab進(jìn)行仿真，并以圖形可視化形式展現(xiàn)最后結(jié)果，讓貝葉斯公式更加通俗易懂.

一、貝葉斯公式

由此可見，該產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn)的可能性最大.

三、貝葉斯公式與次品率之間的關(guān)系

對(duì)于上述例1，基于數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)一步討論下面這個(gè)問題.在其他條件不變的情況下，甲車間的次品率下降到多少時(shí)該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性不是最大？

以0.001為步長，將甲車間的次品率從0逐步遞增到0.5，繪制該次品來自甲、乙和丙車間生產(chǎn)的可能性與甲車間次品率之間的關(guān)系.

數(shù)學(xué)建模仿真結(jié)果和數(shù)學(xué)公式分析結(jié)果相一致，從兩種不同角度分析貝葉斯公式，讓學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)貝葉斯公式.

四、貝葉斯公式與占有率之間的關(guān)系

（一）丙占有率為20%

對(duì)于例1，基于數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)一步討論下面這個(gè)問題.在其他條件不變的情況下，甲車間的產(chǎn)量占全廠多少時(shí)該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性不是最大？

以0.01為步長，固定丙車間的產(chǎn)量占比為20%，將甲車間的產(chǎn)量占比從0.05逐步遞增到0.75，繪制該次品來自甲、乙和丙車間生產(chǎn)的可能性與甲車間產(chǎn)品占比之間的關(guān)系.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例大于0.267時(shí)該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性最大；當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例小于0.267時(shí)該次品來自乙車間生產(chǎn)的可能性最大；當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例在[0.25，0.30]之間時(shí)該次品來自丙車間生產(chǎn)的可能性最小.

數(shù)學(xué)建模仿真結(jié)果和數(shù)學(xué)公式分析結(jié)果相一致.數(shù)學(xué)建模給出了直觀圖形，數(shù)學(xué)公式給出了理論推理，讓學(xué)生從多角度思考貝葉斯公式.

（二）丙占有率為40%

對(duì)于例1，基于數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)一步討論下面這個(gè)問題.在其他條件不變的情況下，甲車間的產(chǎn)量占全廠多少時(shí)該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性不是最大？

以0.01為步長，固定丙車間的產(chǎn)量占比為40%，將甲車間的產(chǎn)量占比從0.05逐步遞增到0.55，繪制該次品來自甲、乙和丙車間生產(chǎn)的可能性與甲車間產(chǎn)品占比之間的關(guān)系.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例大于0.5時(shí)該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性最大；當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例小于0.2時(shí)該次品來自甲車間生產(chǎn)的可能性最小；當(dāng)甲車間的產(chǎn)品占全廠的比例在[0.2，0.5]之間時(shí)該次品來自乙車間生產(chǎn)的可能性最小.

五、小 結(jié)

基于貝葉斯求解的應(yīng)用題有許多，比如：

例2 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）？

例3 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，問考試及格的學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的人的概率？

這種類似例題，都可以仿照本文方法進(jìn)行拓展，然后進(jìn)行仿真，讓學(xué)生更加生動(dòng)形象地理解貝葉斯公式的含義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]韓云娜，張靜.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在線課程教學(xué)設(shè)計(jì)與創(chuàng)新：以“全概率公式與貝葉斯公式”為例[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2021（13）：115-116，140.

[2]李廣玉，田研.“課程思政”理念指導(dǎo)下的貝葉斯公式教學(xué)[J].惠州學(xué)院學(xué)報(bào)，2020（06）：126-128.

[3]曹建美，馮晨嬌，王鳳翔.將數(shù)學(xué)建模思想引入“貝葉斯公式”教學(xué)中的案例實(shí)施[J].江蘇科技信息，2020（34）：57-59.

[4]程偉麗，李曉霞.后驗(yàn)分布在貝葉斯統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)的延伸[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018（01）：74-78.

[5]胡順奇，公維麗.貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的經(jīng)典教學(xué)實(shí)例解析[J].中國統(tǒng)計(jì)，2018（10）：41-43.