初中數學教學中數形結合思想的應用分析

賈龍才

【摘要】數形結合在課程教學中的應用比較普遍，且應用效果較好，可以助力于學生的知識理解，促進學生思維拓展的作用.初中數學課程教學中應用數形結合的思想，將數字、圖形兩個知識要素進行融合，可以準確、直觀地表達出數學知識間的邏輯關系.文章對數形結合思想進行研究和分析，并對其在具體初中數學課程教學中的實踐應用進行研究，提出了提高數形結合思想應用的措施.

【關鍵詞】數形結合；初中數學；思維能力；數形互變

引 言

數形結合思想是一個比較廣泛的概念，在該思想的引領下，教師對初中數學課程教學的應用靈活性有所增強，教學效果也進一步增強.數形結合思想的應用可以貫徹落實課程教學的各個階段，所應用的方法也存在差異，在應用形式上可以與多媒體技術融合，建立數學模型，助力于學生對知識的理解，以符合對學生能力培養的目標.

一、數形結合思想的應用方法

數形結合思想在初中數學課程教學中的方法應用上，教師應充分考慮到數字與圖形之間的關系，判斷二者之間的內在聯系.具體而言，教師將數形結合思想應用在教學中，可以采用以形促數、以數解形、數形互變的方法.

（一）以形促數

針對初中數學課程中比較復雜的內容，如抽象化的數量關系，教師可以應用圖形的方式將其直觀展現，學生在解題過程中根據圖形之間的聯系解決復雜的數量關系問題.教師再次應用以形促數的方式，對函數關系進行講解，幫助學生更加直觀地了解數學問題.

以初中數學“一次函數”的課程教學為例，列出一次函數“y=ax+b”，其中a，b兩個數值均為常數，且a不為0.教師如果直接對數量關系進行解釋，那么學生很難對其進行理解，教師如果將數量關系繪制成為直觀的圖形，那么學生對知識內容的理解將會更加深入.因此，教師可以在黑板上列出不同情況下的圖形，解釋一次函數中的數量關系（如圖1）.

教師將原本抽象的數量關系以圖形的方式展示在黑板上，使學生對一次函數的數量關系有了更加深入且直觀的理解.教師根據圖形和一次函數的性質，設置例題“y=2x2+6”，在圖像中存在兩個點，分別為（2，y1），（-2，y2）.學生按照教師所應用的數形結合思想進行習題解析，將數量關系帶入函數中，對其進行比較和分析，判斷y值的變化關系，最終得出答案.

以形促數方法的應用是依據數形結合的思想對相關問題進行解析，將原本復雜的數量關系以圖形的方式直觀展示出來，并根據設置的不同條件，繪制成不同的圖形，通過對圖形的分析，直觀地了解習題中的數量關系.

（二）以數解形

以數解形是指利用數量關系對圖形內容進行解析，采用定量計算的方式對一些復雜的圖形進行條件展示，將題型中隱藏的條件進行論述，實現對圖中相關內容的計算.該類方法應用在幾何圖形解析中應用比較常見，可以挖掘題型中無法直觀展示的隱藏條件，對具體的關系進行解析.例如，在幾何圖形的解析中，采用以數解形的方式開展教學活動（如圖2）.

條件：圖形中的四個長方形為全等長方形，由四個長方形組成上述圖形，中間空白區域根據已知條件列出等式.

教師在此類題型的教學活動中，充分利用數形結合思想，采用以數解形的方式對習題進行解析.考慮到四個長方形全等，因此中間區域為正方形，其邊長可以利用數量關系進行計算，即用（a-b）表示.根據正方形面積的計算公式，中間空白區域的面積為（a-b）2.根據已知條件列出恒等式（a+b）2-4ab，即可得出中間空白區域的面積.因此，（a+b）2-4ab=（a-b）2為最終的恒等式.

（三）數形互變

教師應用數形結合思想對數量與圖形之間的關系進行表達，將數量關系與圖形進行靈活轉化，根據已知條件計算最終結果，得出最終的結論.該方法應用數形結合思想將數量關系與圖形之間的關系進行轉化，在幾何圖形表達計算習題中的應用具有可行性（如圖3）.

在解題過程中，根據已知條件，將HM的長度設為x，AMHN的面積大小設為y.根據已知條件列出等式，并根據等式衡量圖形各邊長與面積之間的關系.通過數形互變的計算方式，最終得出結果，當HM的長度為30，可以計算長方形的面積值的最大值為1200.解題過程中同時利用數量關系和圖形對已知條件進行轉化，將所列出的數量關系繪制成二次函數圖像，并在圖像中根據取值范圍計算HM的最大值，從而取得面積的最大值.

二、數形結合思想的應用形式

（一）以多媒體技術為載體的數形結合思想應用

多媒體在初中數學課程教學中被廣泛應用，教師在深化教學改革的同時，積極探索數形結合思想與多媒體信息技術的融合應用方式，并不斷對其進行創新應用.根據數形結合中的兩大要素，教師可以利用多媒體設備挖掘資源，使得數形的轉化過程更加直觀、清晰，教學質量與教學效果可以滿足要求.多媒體的動態化展示功能也為數形結合思想的應用創造了良好條件.

例如，在“幾何圖形”的課程教學中，當涉及圓的課程時，教師可以將數形結合思想與多媒體技術充分融合，利用電腦的繪圖軟件在畫板上繪制出圓形，當涉及相交線或者平行線時，教師可以動態對其進行繪制，并在此過程中對知識內容進行解析.利用多媒體設備將知識內容進行分解，使得教學更加直觀.教師通過多媒體設備的動態演示功能應用，使學生更加深入地了解幾何圖形的平行關系與位置關系，可以點擊鼠標拉長或者對位置信息改變，兩條線始終處于平行的狀態下.教師利用“形”的多元動態變化對數量關系、性質等知識內容進行解析，有效地提高了學生的空間想象力.因此，多媒體與數形結合思想相結合的應用可以發揮良好的作用，既可以進一步將知識點直觀化，又可以進一步深化學生對知識內容的理解程度，空間幾何思維能力也得到一定程度的提高.

（二）以數學模型為載體的數形結合思想應用

數學模型建立是數形結合思想中“形”的部分，由于課程教學目標指出，初中數學教學不僅要傳遞學生數學知識，而且應該注重學生解題能力的提高，吸引學生主動參與學習，主動解決難題，掌握數學規律.教師將數形結合思想應用到課程教學，并通過建立簡單的數學模型的方式對數學邏輯關系進行表達，符合初中生心理發展目標，可以增加學生對知識的理解程度.例如，初中數學課程中涉及“數軸”的教學中，教師利用數軸點表達有理數的關系，并明確數與數軸之間的對應關系.部分學生由于基礎比較薄弱，數學邏輯關系較差，所以在對應關系的學習過程中存在一定的難度，難以保障教學質量.因此，教師應用數形結合思想建立數學模型，繪制若干個具有包含和被包含關系的圓圈，圓圈中包括有理數、分數、整數、非整數、正數等.當數學模型建立完成后，學生們對數字之間的邏輯關系理解會更深入.在數學模型繪制過程中，教師采用引導的方式引發學生思考，與學生進行有效互動，或通過講故事的方式建立數學模型，學生的趣味性、參與度也在一定程度上有所提高.因此，教師應嘗試應用數學模型的方式對學生滲透數形結合思想，實現對知識內容的滲透與解析.

三、數形結合思想應用理念

（一）課程導入設計

數形結合思想在初中課程教學中的應用體系已經趨于完善，在不同的教學階段應用方式也很好.教師在課程導入階段應用數形結合思想，可以為后續的課程教學奠定良好的基礎，提高學生基礎知識能力的應用.在課程導入階段，教師利用數形結合思想可以吸引學生的注意力，勾起學生的好奇心，整節課的教學氛圍將會變得十分良好.例如，在“三角形的內角和與外角和”的課程導入階段，教師可以應用數形結合思想對三角形的相關定理進行導入，包括直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形的角度關系.教師應用多媒體設備將三種三角形繪制在畫板上，要求學生根據繪制的圖形，講述自己的認知，使得學生了解不同類型三角形的內角關系大小不同，即直角三角形兩個銳角互余、外角互補等.在課程導入環節應用引導式、問題式或者趣味性比較濃厚的教學導入方式，通過列出圖形的方式明確各角度的數量關系，學生對知識的學習情緒、課堂投入程度將會有所增加.因此，教師應善于將數形結合思想應用到課程的導入環節中，挖掘數形結合思想在課程導入階段的應用理念，營造良好的教學氛圍.

（二）教學環節應用

在問題導入階段結束后，教師需要步入正題，對知識內容進行探究，使得學生在探究的過程中了解知識、應用知識，實現情感目標、能力目標同時滲透.數形結合思想在教學環節的應用可以深化學生對數學知識的理解.例如，在“幾何圖形”的課程教學中，教師可以應用數形結合思想解決相關問題，引導學生對知識進行探究.在講解“幾何圖形”的面積時，教師可以要求學生利用相關的工具在筆記本上繪制圖形，理解幾何圖形的邊長關系，并對面積進行計算.針對一些不規則的幾何圖形，學生們在繪制過程中通過增加邊線、分割等方式，將其分為若干個規則的圖形，再對其面積進行計算.教師在課堂教學中發揮著對學生探究引導的作用，引導學生如何應用數形結合思想解決相應的問題，更好地幫助學生厘清圖形與數量之間的邏輯關系，采用線條分割、增加線條等方法對圖形進行重構，解決相應的難題.因此，在課堂教學中，教師要認識到數形結合思想對于解題的重要意義，引導學生掌握用數形結合思想解題的方法.

（三）教學理念深化

數形結合思想在教學領域中的應用可以起到升華主題、拓展知識、升華教學理念的作用.考慮到初中數學有很多知識對于學生而言存在一定的學習難度，導致學生的學習效果較差.因此，教師可以利用數形結合思想開展教學活動，滲透新型的教學理念，對課程的核心內容進行深化，使得學生的知識結構更加全面，基礎能力更加夯實.例如，在“二元一次方程”的課程教學中，教師可以采用以數解形、以形促數等方式，將原本的圖形與數量關系進行靈活地轉化，不僅可以提高學生的圖形空間思維能力，而且對學生的計算能力也有一定程度的提高.在具體教學中，考慮到學生個體知識結構的差異性，教師可以應用分層教學理念、分級教學理念、個性化教學理念，并利用數形結合思想對學生進行滲透，將新型的教學理念與課程內容教學有效融合.針對學生空間思維能力比較弱的學生，教師可以應用數形結合思想重點提高學生的圖形思維能力，針對解題能力較弱，數量邏輯關系較弱的學生，教師可以應用數形結合思想重點提高學生的數學邏輯，實現教學理念的進一步升華，在開展教學的同時，使學生對知識內容進行深入拓展.

（四）教學目標制訂

初中數學課程教學重點目標在于能力目標、情感目標的設定，而知識目標的滲透是在以上兩個目標建立的基礎上開展的，這更加突出了學生在課程學習中的主體地位.以學生數學思維能力為目標的數形結合思想滲透和以學生學習趣味為目標的數形思想滲透所采用的教學方法不同，教師應不斷探索不同的教學目標與數形結合思想融合的可行性.例如，在“相交線與平行線”的課程教學中，教師可以應用數形結合思想滲透以培養邏輯思維能力為目標的課程教學活動.相交線與平行線之間的關系，相交線與平行線之間的不同，教師均可以應用數形結合思想進行滲透.通過繪制圖形的方式對二者進行對比.在“幾何圖形”的課程教學中，教師可以滲透以培養學生空間想象能力、數學感知能力為目標的教學活動，通過數形互變的方式明確幾何圖形中的數量關系與圖形關系，使得學生對知識的感知更加直觀和具體.初中數學課程教學在滲透數形結合思想的同時，應將教學目標與之結合，按照人才培養方案、教學綱要等文件要求，對數形結合思想進行應用，以更好地挖掘數形結合在人才培養中的應用潛力與應用價值.

（五）知識應用滲透

教師在傳遞知識的同時應重點提高學生的知識應用能力，可以將所學的知識應用到生活解題中，解決生活中的難題.基于此，教師可以挖掘多媒體技術在數形結合思想中的應用價值，重點培養學生的知識應用能力.例如，在“三角形的內角和與外角和”的課程教學中，教師可以挖掘生活資源，結合數形結合思想進行知識教學.教師可為學生設置生活化問題，如果一塊三角形玻璃被打碎，而他的底邊呈現出平直的狀態，側邊形成兩個向內延伸的邊，但并未交叉，如何將其恢復成為完整的三角形玻璃.學生們開始嘗試應用拼接法、組合法、鑲嵌法等解決教師提出的問題，在此過程中學生對三角形知識的應用能力也有所提高.因此，教師應注重對學生知識應用能力的提高，滲透數形結合思想，引導學生將知識應用到生活解題中.

結 語

綜上所述，數形結合思想的在初中數學教學中的應用具有靈活性，在方法、方式、理念滲透上的應用均具有可行性，且可以有效提高課程教學質量，滿足課程教學目標.初中數學教師在應用數形結合思想的同時，要進一步探索數形結合思想應用的可行性、適用性，創新應用手段，豐富應用方式，使其可以發揮培養學生能力的目的.

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