經歷建模過程培養代數思維發展模型意識
——“方程”教學重構與思考

2023-10-07 06:04:16董文彬

遼寧教育 2023年17期

董文彬

（北京師范大學教育學部）

【課前慎思】

教材內容及學情分析：“方程”是北師大版數學教材四年級下冊第五單元第3 課時的學習內容，也是小學數學中的一節單元核心課。“方程”的教學重構是從學生在兩次前后測調研中暴露出的問題開始的。筆者對學習方程后的五年級學生進行了后測，同時對學習方程前的四年級學生進行了前測，結果顯示：五年級學生在四年級下學期學習完方程之后，在面臨實際問題（即便是稍復雜的問題）時，依然不愿意或不喜歡主動運用方程解決，學生對方程沒有親近感。學生解決問題的策略更多地停留或依托于算術思維，即根據條件和信息倒著想問題的逆向思考。學生只關注方程形式化的“外衣”，不認識方程的本質，沒有體會到方程本身的獨特價值。學習方程前的四年級學生僅有兩成左右能夠主動列方程刻畫和描述問題，而八成左右的學生選擇列算式，依然喜歡算術思維“倒”著想問題，絕大多數學生不愿意主動親近方程，沒有體會到方程在解決問題中的獨特價值。

困惑：學生在學習方程前對方程已經有所了解，辨認哪些式子是方程也沒有太大的困難，那么分類概括、區分等式、不等式，認識方程與等式的關系是這節課的重點嗎？北師大版數學教材在學習“方程”之前有獨立的“等量關系”一課，對等量關系的刻畫與描述還是這節課的難點嗎？這節課的教學目標究竟該如何重新定位才能回應和解決學生出現的上述問題？

思考：“含有未知數的等式叫方程”這句話有那么重要嗎？它究竟是不是一個嚴謹的邏輯定義？方程概念的核心意義究竟是什么？算術法也可以解決實際問題，為什么還要認識方程？“算術”與“代數”的本質區別是什么？學生認識了方程就會用方程了嗎？方程不可替代的獨特價值和意義體現在哪兒？說到底，究竟什么是方程？方程的本質是什么？方程模型又是什么？如何在教學中著眼于發展，讓學生經歷方程的建模以發展模型意識的全過程？思辨至此，新的教學重構路徑已躍然紙上。

基于上述分析，筆者確定了如下教學目標：在認識方程的過程中感受算術法與方程法之間的區別；感受同一個等量關系可以解決同一個情境、不同的問題；感受同一個等量關系可以解決不同情境、不同的問題；初步經歷方程的建模過程，體會方程不可替代的獨特價值。

【課堂實踐】

一、順應思維，感受區別，建構概念

（教師出示情境圖）

師：我們去水果店買水果，看到這些水果的單價，你關心什么問題？

生：一共需要花多少元錢？

生：這個西瓜有多重，4個橙子有多重？

（教師結合學生提出的問題，分步演示課件）

【分析與思考】在學生日常熟悉的“買水果”主題情境中，教師啟發學生根據信息，自主發現和提出問題，營造有價值的“問題場”。學生自己提出的問題，更能激發群體性問題解決的興趣和數學思考的欲望，同時為后面在問題解決中感悟算術思維和方程思維的區別做鋪墊。

師：我們先來解決1個西瓜和4個橙子各自有多重的問題。（出示天平、5千克和2千克砝碼各1個）用它們行嗎？

生：行。

師：先稱誰？

生：西瓜。

（教師課件演示：西瓜放入左盤，5千克砝碼放入右盤）

師：你知道西瓜重多少嗎？

生：不知道。因為天平的狀態不平衡，說明左右兩盤的質量不相等。

生：雖然不知道西瓜具體重多少千克，但能知道它一定比5千克輕。

（教師課件演示：將2 千克砝碼放入左盤，調整天平狀態）

師：這回行了嗎？能知道西瓜的質量嗎？

生：能，3千克。

師：怎么得到的？

生：5-2=3。

（教師板書：5-2=3）

師：為什么用5-2=3來解決？

生：現在天平平衡了，西瓜的質量加上2 千克等于5千克。

師：你關注到了天平左右兩盤物體的質量關系。這是一個等量關系，你能表示出來嗎？

生：西瓜的質量+2千克=5千克。

生：如果把西瓜的質量看成x，那么x+2=5。

（教師板書：西瓜的質量+2千克=5千克，x+2=5）

師：西瓜的質量問題解決了，接下來我們稱橙子。

（教師課件演示：4 個橙子同時放入天平左盤，2千克砝碼放入右盤）

師：你知道每個橙子的質量嗎？

生：0.5千克，2÷4=0.5。

師：為什么這么解決？

生：因為4個橙子的質量正好等于2千克。

師：這里也有一個等量關系，你能表示出來嗎？

生：4個橙子的質量=2千克。

生：假設每個橙子重y千克，4y=2。

（教師板書：1個橙子的質量×4=2千克，4y=2）

師：剛才的問題解決了嗎？

生：解決了，知道西瓜和橙子有多重了。

【分析與思考】學生在天平由不平衡逐漸逼近平衡的狀態中，思考解決“1 個西瓜有多重”和“1 個橙子有多重”的問題。教師在問題解決中不回避學生使用算術法，而是順著學生的算術思維拾級而上，啟發學生關注天平左右兩盤中物體的質量之間存在的等量關系，并嘗試把它表示出來。在此過程中，學生自然而然地設定未知數，建構出方程，初步體會到方程其實是更簡潔地表達出等量關系的過程。

（教師結合學生的回答，出示情境圖）

師：就差“一共需要花多少錢”了，現在能解決這個問題了嗎？

生：能，4×3+10×2=32（元）。

（教師順著學生的回答，板書算式）

師：能讀懂他的想法嗎？這個綜合算式是什么意思，你是怎么想的？

生：4×3求的是西瓜的價錢，10×2求的是橙子的價錢，把它們加起來就是買這些水果一共要花的總價錢。

師：原來這里有一個等量關系，你們發現了嗎？

生：西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價。

（教師板書：西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價）

師：在現實生活中，問題情境有時是各種各樣的。就這個情境來說，其他條件不變，如果把所求問題變為已知，你能把其中一個條件變成要解決的問題嗎？比如（課件出示情境圖）把西瓜的質量變為未知的問題，還能解決嗎？

生：（32-10×2）÷4。

師：能讀懂他的想法嗎？

生：10×2求的是橙子的錢數，32-10×2就是用水果的總價錢減去橙子的錢數，得到的就是西瓜的錢數，（32-10×2）÷4 的意思是再用西瓜的錢數除以西瓜的單價，最后就等于西瓜的質量。

（學生解釋得十分費力）

師：看來想要說清楚這個算式的想法還真是不容易。能不能嘗試著用今天學習的方式（指黑板x+2=5、4y=2），把這里面的關系表示出來呢？

生：4x+10×2=32。

師：根據是什么呢？

生：西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價。

師：（指黑板）還是這個等量關系。

【分析與思考】在解決“一共需要花多少錢”的問題時，學生根據以往經驗自然使用算術法解決，在學生讀懂“4×3+10×2=32”這個綜合算式后，教師啟發學生發現其中蘊藏的等量關系。接下來，在同一個情境中，教師將所求問題變為已知，將其中一個條件變成要解決的問題后再讓學生嘗試解決，學生根據條件和信息逆向思考，即用算術思維“費力”解釋想法。在這個過程中，教師啟發學生用設有字母的等量關系式來簡明地表達和解釋上述問題解決的思路，使學生進一步感悟代數思維與算術思維順向與逆向思考的本質區別，體會代數思維的意義，經歷方程建模的初步過程。

師：現在看看（指黑板x+2=5、4y=2、4x+10×2=32），這樣的式子叫什么？

生：方程。

師：那請你說說什么是方程呢？

生：方程里要有未知數，還要是等式。

生：方程就是含有未知數的等式。

生：我覺得方程表達的是一種等量關系。你看，“x+2=5”表達的是“西瓜的質量+2 千克=5 千克”這個關系，“4y=2”表達的是“1 個橙子的質量×4=2 千克”這個關系，而“4x+10×2=32”表達的是“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”這個關系。

生：我同意他的觀點，等量關系用方程的形式表達起來顯得更簡潔。

【分析與思考】無論學前還是學后，學生在解決問題時更多地習慣于停留在或依托于算術思維上，對方程無認同感或親近感，這是教師必須直面的現實困境。既然現實中學生的思維習慣是這樣的，那么我們不妨順應學生的想法，不回避算術法，引導學生在問題解決的背景下體會方程思想的本質和價值，經歷數學建模的過程，建立方程的概念，初步認識方程的意義——方程表達的是具體問題情境中量與量之間的一種等量關系，找到這種等量關系能夠幫助學生以順向思考的方式清晰簡潔地解釋問題解決的思路。

二、經歷建模，認識本質，初悟價值

（教師出示情境圖）

師：還是這個情境，剛才我們變換了條件和問題，把西瓜的質量當問題，可以列算式解決，也可以列方程解決。你能否再轉換條件，把已知信息變成問題，然后嘗試著列方程來解決？

（學生在學習單上試做，教師巡視指導，了解情況。之后，展示一位學生的想法，全班交流）

生：我把西瓜的單價變為問題，于是就把“4 元/千克”假設成不知道，變成“？”。然后，設為x元/千克，這樣列出的方程就是3x+2×10=32。

生：你的這個方程是根據什么列出來的？

生：（指板書“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”）我是根據這個等量關系列的，后面是解法。

師：解這樣的方程，我們還沒學。這位同學能列出方程并正確解答，請大家把掌聲送給他。

生：我列出了2 個方程。我是把橙子的質量看成問題，然后設為a千克，這樣列出的第一個方程就是10a+4×3=32。第二個方程是把橙子的單價看成問題，設為y元/千克，根據等量關系就列出了2y+3×4=32。

生：我發現你列的方程里的未知數有“a”還有“y”，并沒有“x”。以前我以為方程里的未知數只能用“x”表示，看來任何一個字母都能表示。

生：不光字母，其他的符號也行，比如前面那個方程4x+10×2=32 還可以列成4c+10×2=32，4□+10×2=32。

師：你們的探討很有意義。（指著“3x+2×10=32，10a+4×3=32，2y+3×4=32、4x+10×2=32”）四個方程仔細觀察，你還有什么發現？

生：我發現這些方程雖然長得都不一樣，但是它們的根據都是一樣的，都是“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”這個等量關系。

生：的確是這樣，同一個等量關系解決了好幾個問題。

師：你對方程有什么感受？

生：一個等量關系就能解決很多問題。

生：同一個等量關系列出了不同的方程，解決了不同的問題。

生：方程實際上就是一種等量關系，列方程找準等量關系很重要。

【分析與思考】教師沿著上述主題情境拾級而上，啟發學生在自主變換條件和問題后嘗試列方程解決，感受同一個等量關系可以解決同一個情境中不同的問題。在對比中學生發現，同一個等量關系可以列出不同的方程來解決不同的問題。在方程建模的過程中，學生再次認識到“方程表達的是等量關系”的本質，在“同”與“不同”中感悟到了方程的獨特價值。

三、再次建模，體會本質，深化認識

師：看來等量關系真的很重要。這里的“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”好像就是“部分量+部分量=總量”，這個關系在下面這個情境里你還能找到嗎？（出示情境圖）

生：2個熱水瓶的水量+1個水杯的水量=一壺水的量。

生：2個熱水瓶的水量+200毫升=2000毫升。

生：1個熱水瓶的水量×2+200毫升=2000毫升。

師：你能據此也列出一個方程嗎？

生：2x+200=2000。

生：200+2m=2000。

生：2y=2000-200。

師：看看大家列出的這些方程，你有什么發現？

生：這些方程長得不一樣。

生：這些方程都是依據同一個等量關系列出來的。

師：的確是這樣。以2x+200=2000 為例，這個方程表達的還是“部分量+部分量=總量”的關系。那你還能據此給這個方程再編一個故事嗎？

（學生先獨立思考，再在小組內交流想法）

生：媽媽買了兩瓶同樣凈含量的洗潔精，每瓶外加100 克的小袋優惠裝，一共重2000 克。每瓶洗潔精重多少克？

生：爸爸堅持鍛煉，每天跑相同的距離，跑了2天后如果再跑200 米就正好到2000 米了。爸爸每天跑多少米？

生：我和爸爸去商場，買了2 個同樣的車載凈化器，付給收銀員2000 元，找回200 元。每個車載凈化器多少元？

生：我覺得最后這位同學講的故事有點兒問題。按照他所講，每個車載凈化器應該是900 元，2 個應該是1800 元，那直接付1800 元不就行了嗎，干嗎要付2000元再找回200？

師：這個質疑很有意思。看來用方程講故事還不能隨便講，還要符合生活實際，要符合常理才行。

師：你對方程又有了哪些新的認識？

生：同一個方程能編出好多不同的故事。

生：一個方程能解決許多不同的實際問題。

生：剛才大家編出的這些問題，都可以用同一個方程來表示。