言之有“理”：“童化”視域下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)
——人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)思考

單廣紅

（江蘇省淮安市白鷺湖小學(xué)）

言之有“理”，也就是用數(shù)學(xué)語言講清數(shù)學(xué)道理。“童化”指的是兒童立場(chǎng)，也就是教學(xué)活動(dòng)要圍繞學(xué)生主體需求來設(shè)計(jì)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出：“通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。”數(shù)學(xué)知識(shí)有其嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，教師和學(xué)生在課堂中要明白每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的前移后續(xù)，要清晰地知道所學(xué)內(nèi)容位于知識(shí)體系中的哪個(gè)具體位置。所以，教師要關(guān)注如何進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在新知探究中建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維。結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)縱向概念范圍一般可分為三類：大單元主題結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)、單元整體設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)、課時(shí)知識(shí)學(xué)習(xí)的結(jié)化設(shè)計(jì)。課時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)一般分為四個(gè)環(huán)節(jié)：常規(guī)積累、整體進(jìn)入、核心推進(jìn)、拓展延伸。筆者以人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”學(xué)習(xí)為例，著重談?wù)務(wù)n時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)與思考。

一、常規(guī)積累：課前熱身，扎穩(wěn)新知“錨樁”

學(xué)習(xí)是一個(gè)循環(huán)重復(fù)的過程，每一個(gè)新知的建構(gòu)都固著在舊知的“錨樁”上。所以，學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)，教師必須要協(xié)助學(xué)生找到“錨樁”。教師可以通過備學(xué)完成，也可以在課前3 分鐘暖場(chǎng)，進(jìn)行常規(guī)積累，如師生談話、觀看視頻、完成練習(xí)等，意在引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)，即激活腦中的已有“圖式”。

例如，“圓的面積”一課學(xué)習(xí)所需要的“錨樁”基于兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)：一是學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即平行四邊形、三角形、梯形等面積推導(dǎo)方法與應(yīng)用，以及圓的周長推導(dǎo)與應(yīng)用；二是方法結(jié)構(gòu)，即通過“轉(zhuǎn)化”，將“未知”變“已知”，然后尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，歸納出需要的結(jié)論。基于以上分析，本課“常規(guī)積累”內(nèi)容可以這樣設(shè)計(jì)：

1.方法梳理。已學(xué)過哪些圖形面積，在學(xué)習(xí)時(shí)是怎樣推導(dǎo)出它們的面積的？用你喜歡的方法把過程記錄下來，并與同桌分享。

2.學(xué)習(xí)回顧。圓周長是怎樣推導(dǎo)的，圓周長與直徑和半徑是什么關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生了解C=πd或C=2πr）

3.發(fā)現(xiàn)與困惑：你有什么新發(fā)現(xiàn)，還有什么學(xué)習(xí)困惑？分別寫出3條到班級(jí)中進(jìn)行交流。

學(xué)生在課堂中親身經(jīng)歷了探究過程，就會(huì)用自己的方式表達(dá)出來，在課堂上就會(huì)有話可說。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)新學(xué)的圖形都是轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形進(jìn)行面積推導(dǎo)的，于是很快聯(lián)想到：圓可以轉(zhuǎn)化成什么樣的圖形進(jìn)行面積推導(dǎo)？長方形、正方形等平面圖形的面積都與它們的邊有關(guān)，圓看得見的邊只有“周長”，“一條邊”應(yīng)怎樣計(jì)算它的面積呢？圓的周長是直徑的π 倍，圓的面積會(huì)不會(huì)也有誰與誰存在π 倍關(guān)系呢？學(xué)生帶著這樣疑問與思考進(jìn)入新課學(xué)習(xí)，就會(huì)使課堂教學(xué)更有針對(duì)性。

二、整體進(jìn)入：連續(xù)導(dǎo)入，鳥瞰內(nèi)容全貌

在以往的傳統(tǒng)課堂上，教師一般都按照教材上編排呈現(xiàn)的方式按部就班地進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)呈現(xiàn)“點(diǎn)狀化”特點(diǎn)，長此以往，學(xué)生雖然一節(jié)課一節(jié)課地學(xué)習(xí)了，但內(nèi)容零散，缺少聯(lián)系與聚焦。結(jié)構(gòu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，要求整體進(jìn)入，讓學(xué)生鳥瞰內(nèi)容全貌，既見“樹木”，又見“森林”，即調(diào)動(dòng)學(xué)生腦中的已有經(jīng)驗(yàn)，用多元的“圖式”進(jìn)行信息化表達(dá)。

例如，“圓的面積”一課的引入部分，教師可以先讓學(xué)生說說圓的面積大小會(huì)與什么有關(guān)。學(xué)生可能會(huì)說與直徑有關(guān)，也有可能會(huì)說與半徑或周長有關(guān)，這些都是學(xué)生的“直覺”與“數(shù)感”，教師要給予肯定。那圓的面積大小到底是由什么決定的呢？教師可以提出引導(dǎo)性問題，但不能讓學(xué)生如海底撈針?biāo)频牟孪耄切枰o學(xué)生一個(gè)方向和范圍。教師可以先出示方中圓、圓中方的圖例（見圖1）。

然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生猜想：如果以圓的半徑為邊長畫一個(gè)小正方形，如圖1，連接對(duì)角線，以其為邊長畫一個(gè)圓內(nèi)接正方形，并畫出圓的外切正方形。那么，圓的面積與小正方形的面積有什么樣的倍數(shù)關(guān)系？

學(xué)生結(jié)合個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)自己的“形感”，猜想到圓的面積大小應(yīng)該介于圓外切正方形的面積與圓內(nèi)接正方形的面積之間。若用r2來表示小正方形的面積學(xué)生據(jù)此可得出：圓的面積比邊長是r的小正方形面積的4 倍少一些，比其2 倍多一些；也會(huì)有一部分學(xué)生會(huì)聯(lián)想到剛學(xué)過的“圓周長是直徑的π 倍”，產(chǎn)生猜想：圓的面積會(huì)不會(huì)就是小正方形的π倍呢？

接著，教師可以繼續(xù)追問：根據(jù)以前的方法經(jīng)驗(yàn)，你打算怎樣研究圓的面積？學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的方法結(jié)構(gòu)，想到用“將未知變已知”來解決問題。這里，教師要大膽放手讓學(xué)生自己研究，牢記：失敗與成功是次要的，重要的是要讓學(xué)生經(jīng)歷操作、感知，歸納、推理的過程。學(xué)生會(huì)把圓沿半徑等分成若干個(gè)近似的小三角形，教師要快速捕捉這個(gè)生成的學(xué)習(xí)資源，進(jìn)行分享呈現(xiàn)，要盡可能全面地展示學(xué)生得出的各種情況（見圖2、下頁圖3、圖4）。

圖2 四等分

圖3 八等分

圖4 十六等分

三、核心推進(jìn)：關(guān)聯(lián)探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

在核心推進(jìn)環(huán)節(jié)，教師要舍得安排時(shí)間，針對(duì)學(xué)生的生成資源，開展深入的探究，調(diào)用學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行解構(gòu)重組；引導(dǎo)學(xué)生搜索腦中的思維模塊，找到新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)因素，有機(jī)地建立起聯(lián)系，進(jìn)行推理歸納，重新建構(gòu)新知。一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，了解課程內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容的安排意圖；另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即在諸多的信息中，有選擇性地進(jìn)行加工，產(chǎn)生“同化”。

例如，在“圓的面積”一課中，教師可以從兩個(gè)層面進(jìn)行分類有序地呈現(xiàn)與分享。首先，是等分的單位面積的累加；其次，是轉(zhuǎn)化后平面圖形與圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

【情況一：四等分面積研究】

4個(gè)單位面積累加：等分成4個(gè)扇形，看成是4個(gè)近似的三角形（見圖5），每個(gè)近似小三角形的底看成是小弧線，其長是高是半徑，則圓的面積拼成的近似平行四邊形面積可以這樣計(jì)算：平行四邊形的底是2條小弧線的長，即，高是半徑r

圖5 4個(gè)單位面積累加

【情況二：八等分面積研究】

8個(gè)單位面積累加：等分成8個(gè)近似的三角形（見圖6），每個(gè)近似小三角形的底（小弧線的長）是，高是半徑，則圓面積

圖6 8個(gè)單位面積累加

拼成的近似平行四邊形面積可以這樣計(jì)算：平行四邊形的底是4條小弧線的長，即，高是半徑r，

【情況三：十六等分面積研究】

16 個(gè)單位面積累加：等分成16 個(gè)近似的三角形（見圖7），每個(gè)近似小三角形的底（小弧線的長）是高是半徑r，，則圓的面積

圖7 16個(gè)單位面積累加

拼成的近似的平行四邊形面積可以這樣計(jì)算：平行四邊形的底是8條小弧線的長，即，高是半徑r

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考，最后發(fā)現(xiàn)規(guī)律：照這樣研究下去，你發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)規(guī)律？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：一是把圓等分成n個(gè)近似的三角形，每個(gè)近似小三角形的底（小弧線的長）是高是半徑r，，則圓的面積二是等分的份數(shù)越多，越接近平行四邊形，平行四邊形的底=圓周長的一半平行四邊形的高=半徑（r），平行四邊形的面積=底×高，那么圓的面積=圓周長的一半×半徑，用字母表示為如果等分的份數(shù)足夠多，最后就會(huì)變成長方形。在比較歸納中，教師有機(jī)滲透極限的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生成功地建立起新的數(shù)學(xué)模型，自然而然地達(dá)到了“順應(yīng)”的目的。

為了能夠使資源得到最大化的利用，實(shí)現(xiàn)思維的更好進(jìn)階，教師接著追問：還有的同學(xué)拼成了近似的三角形和梯形（見圖8），你能用同樣的方法來推導(dǎo)出圓的面積公式嗎？

圖8 近似的三角形和梯形

這樣，學(xué)生從未知追溯已知，通過關(guān)聯(lián)因素，再從已知推理未知，全程參與，經(jīng)歷了新知形成的全過程，在數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)中，明白了每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈。

四、拓展延伸：循環(huán)進(jìn)階，生長續(xù)學(xué)內(nèi)容

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一個(gè)新知學(xué)完后，又將啟動(dòng)學(xué)習(xí)下一個(gè)新知，就是這樣環(huán)環(huán)相扣，循環(huán)往復(fù)。因此，教師在課尾的最后環(huán)節(jié)，一定要留下3～5 分鐘的時(shí)間來設(shè)計(jì)拓展延伸的習(xí)題，承上啟下，自然生長出下節(jié)課學(xué)習(xí)的新內(nèi)容。這個(gè)習(xí)題應(yīng)介于本節(jié)課與下節(jié)課內(nèi)容的“中間地帶”。

例如，“圓的面積”一課的結(jié)尾可以設(shè)計(jì)這樣的拓展延伸題：你能用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)嘗試計(jì)算下面各個(gè)圖形的面積嗎（見圖9）？

圖9 求圖形的面積

以五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，他們不難從整圓的面積推理出半圓的面積，再推理出圓的面積及圓的面積。教師可追問：如果再分一分，你還會(huì)算嗎？自然生長出下節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容“扇形的面積”，下節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)也便不攻自破。

拓展延伸的問題設(shè)計(jì)很有講究，它不是讓學(xué)生簡單地思考加深，而是基于原有的數(shù)學(xué)模型，卻又無法滿足新問題的解決，為學(xué)生達(dá)成新的認(rèn)知“平衡”。拓展延伸的問題又是一個(gè)“錨樁”，引領(lǐng)學(xué)生投入到下一個(gè)新知的學(xué)習(xí)中，讓課堂上學(xué)生的認(rèn)知自然生長、使學(xué)生的思維螺旋上升。

總之，在課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生了解每個(gè)知識(shí)的前移后續(xù)，厘清新知形成與生長的細(xì)節(jié)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師要在結(jié)構(gòu)化的活動(dòng)中幫助學(xué)生形成表象，建立“圖式”，通過關(guān)聯(lián)因素實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“同化”與“順應(yīng)”，在思維進(jìn)階中達(dá)到新“平衡”，并自然推進(jìn)到下一個(gè)新知的學(xué)習(xí)，形成學(xué)習(xí)的循環(huán)。