重視內(nèi)涵 把握聯(lián)系 促進理解
——《除法的初步認識》教學(xué)思考與實踐

○葛 磊

《除法的初步認識》是學(xué)習(xí)除法的開始，相對于加法、減法和乘法，除法的意義抽象程度較高。因此，理解除法的意義既是教學(xué)的重點，也是教學(xué)的難點。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》在“數(shù)與運算”中指出：感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性。基于運算一致性的除法意義的教學(xué)通常有以下兩條路徑：一是聯(lián)系乘法運算，通過觀察、比較、類推，感悟除法是乘法的逆運算；二是結(jié)合“分物”問題，通過逐次減去分掉的數(shù)，體會除法是“同數(shù)連減”的簡便運算。

根據(jù)二年級學(xué)生的知識基礎(chǔ)和思維特點，我傾向于聯(lián)系減法引出除法。首先，減法是把一個大數(shù)分成較小的幾個數(shù)，除法是把一個數(shù)分成同樣多的幾部分，這兩種運算都可以從“分物”的實踐活動中找到原型。其次，學(xué)生從圈一圈、分一分的操作活動中，經(jīng)歷連續(xù)減去相同的數(shù)的思維過程，容易體會到除法是“同數(shù)連減”的簡便運算。再次，以“12÷3=4”為例，由乘除法運算的互逆關(guān)系，可以推算出4×3=12。根據(jù)乘法是加法的簡便運算，可以寫成4 個3 連加的算式。那么，根據(jù)減法是加法的逆運算，可以逆推得出12-3-3-3-3。這樣就把四種運算聯(lián)系起來，更能體現(xiàn)運算本質(zhì)上的一致性。

結(jié)合以上思考，我從“平均分物”的實際問題切入，把“分”和“減”作為除法運算意義的認知生長點，基于減法和除法意義的一致性展開教學(xué)。

一、任務(wù)驅(qū)動，在多元表征中感受

在除法意義的運用中，學(xué)生感到最困難的是不知道什么情況下該用除法計算。究其原因，在除法認識的起始課上，教師通常簡單化地讓學(xué)生對照“□÷□=□”進行按圖索驥地填寫，沒有讓學(xué)生充分經(jīng)歷“直觀感知→意義表征→獲得概念”的思維過程。對此，我采用任務(wù)驅(qū)動策略，引導(dǎo)學(xué)生基于已有經(jīng)驗解決問題，獲得對除法概念的認知能力。

出示問題：有12 個蘋果，每4 個放一盤，能放幾盤？

師：你準備怎樣解決這個問題？可以用圓片擺一擺、分一分；也可以畫一畫，或用算式寫一寫。

在交流過程中，結(jié)合實物操作，引導(dǎo)學(xué)生對加法算式4+4+4 與減法算式12-4-4-4 進行對比與聯(lián)系。

師：在加法和減法算式中，你們能看出放了幾盤嗎？

生：3 盤。

師：誰上來圈一圈3 個4 在哪里？

小結(jié)：數(shù)一數(shù)，一共減了3 個4，可以放3 盤。

師：同學(xué)們想一想，求能放幾盤就是求什么？

生：求能放幾盤就是求12 里面有幾個4。

數(shù)學(xué)概念的獲得離不開對具體事物的抽象，不同表征方式的交流有助于概念的形成。教學(xué)中，從操作到畫圖再到算式，激活了學(xué)生同數(shù)連加、同數(shù)連減的經(jīng)驗，以直觀的圖示來支撐數(shù)學(xué)思考，通過圈出相同數(shù)據(jù)這一行為，著眼于后續(xù)除法概念的學(xué)習(xí)，為不同運算方式之間的類比、遷移作了鋪墊。

二、聚焦內(nèi)涵，在對比溝通中同化

“求總數(shù)里面有幾個幾”的問題，適合用圈一圈的方式表征。與之相關(guān)聯(lián)的“把總數(shù)平均分成幾份”的問題，每份數(shù)量是未知的，能不能也用圈一圈的方法解決呢？

出示問題：把12 個蘋果平均分給4 個小朋友，每個小朋友分幾個？

生：一個一個地分，如果還有，再一個一個地分，直到分完為止。

師：先拿幾個蘋果出來分？

生：4 個。

師：為什么每次拿4 個呢？

生：有4 個小朋友，每人分到1 個，需要拿4 個。

師：誰知道一共能分幾次？

生：3 次。

師：你們怎么怎么想出來的？

生：12-4-4-4。

生：分3 次正好分完，每個小朋友每次分得1個，一共分到3 個蘋果。

師生共同小結(jié)：“把12 個蘋果平均分給4 個小朋友，每個小朋友分幾個”，也可以看成“求12里面有幾個4”。

先解決“求總數(shù)里面有幾個幾”的問題，建立“從總數(shù)里面連續(xù)減去相同的數(shù)”的模型，再將問題進行變化，引導(dǎo)學(xué)生通過操作與畫圖，明白“把總數(shù)平均分成幾份”的問題可以列連減算式解決，充分感受知識形成和發(fā)展的過程，體驗兩類分物問題的一致性。

三、設(shè)置障礙，在激發(fā)需求中創(chuàng)造

課上，我沒有直接告訴學(xué)生可以用除法解決“平均分物”問題，而是通過獨立操作活動與集體交流，讓學(xué)生體會用“幾個幾”思考更方便快捷，連減的過程還可以用除法表示。

出示問題：有36 個蘋果，每4 個放一盤，能放幾盤？

他將撕下來的紙攤開，鋪平，然后他的鉛筆在這張紙上慢慢地蠕動，再蠕動。過了一會兒，常愛蘭發(fā)現(xiàn)紙上出現(xiàn)了一輛歪歪扭扭的獨輪車，還有一個胡子拉碴的老男人。常愛蘭的眼睛里就放出光來，但這種光卻是兇光。常愛蘭說，你在畫什么，亂七八糟的東西，小心麻糍回來揍你。

師：能放幾盤就是求36 里面有幾個4。你準備怎樣解決這個問題？

生：36-4-4-4-4-4-4……

師：你們有什么想法？

生：數(shù)太大了，用減法比較麻煩。

師：能不能創(chuàng)造一種新的運算，更快、更簡便地解決問題？

生：想（ ）×4＝36，能放9 盤。

師：我們知道，同數(shù)連加可以寫成乘法算式，那么，同數(shù)連減可以寫成——

生：除法算式。

這樣教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了除法算式的創(chuàng)造過程，與“同數(shù)連減”建立聯(lián)系，為除法的生成找到了知識的源頭。在揭示除法的意義的同時，讓學(xué)生感受了除法的簡便性。

實際上，在一年級教材里就孕伏了除法意義的相關(guān)內(nèi)容。例如，解決連減相同數(shù)的問題：42 連續(xù)減去7，寫出每次減得的差。這樣的編排，不僅是對減法運算的鞏固，更是搭建了由減法到除法過渡的橋梁，為更好地理解除法的含義作鋪墊。在后續(xù)除法豎式的教學(xué)中，我們也可以發(fā)現(xiàn)，從被除數(shù)中逐次減去除數(shù)的倍數(shù)，最后將減去的次數(shù)寫出來就是商。

綜上所述，除法意義的教學(xué)，應(yīng)立足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，基于運算意義的整體性，引導(dǎo)學(xué)生以聯(lián)系的視角，在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上生長出新知，自然生成對除法意義的理解。