對一道等差數(shù)列一題多解問題的思考

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)會(huì)基本的知識(shí)、思想和方法，更重要的是要學(xué)會(huì)地思考問題，以一道課本例題為例，不僅對知識(shí)、思想和方法進(jìn)行了梳理，還展示了學(xué)習(xí)過程中對這個(gè)問題不同解法的完整思考過程。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列? 課本例題? 數(shù)學(xué)思考

1 問題提出

在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，選擇性必修第二冊4.2.2《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》第21頁例7提供了以下解法。

題目1已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220。由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？

這個(gè)題求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，條件給了兩條關(guān)于該數(shù)列前n項(xiàng)和的條件，由本課所學(xué)知識(shí)，我們可以用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程組，求解便可得出首項(xiàng)和公差。

下面是解答過程。

解法1 由題意，知

S10=310， S20=1220。

把它們代入公式

Sn=na1+d，

得[10a1+45d=31020a1+190d=1220]

解方程組，得[a1=4d=6]

所以，該等差數(shù)列的首項(xiàng)為4，公差為6。

這是課本上給出的比較常規(guī)的解答，建立方程組求出兩個(gè)基本量。結(jié)合等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，我對這道例題進(jìn)行深入的思考和研究，并想出了以下解法。

2 方法拓展

2.1利用Sn的特征

思考1? 已知Sn=na1+[n（n-1）2d]，那么把它展開整理一下可得關(guān)于n的一元二次方程，即Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)），其中A=[d2]，B=a1-[d2]，由此，可以找出解該題的另一種思路，利用A，B代替a1，d，間接求解。

解2? 由上述公式，得

[S10=100A+10B=310S20=400A+20B=1220]

解方程組，得[A=3B=1]

由A，B含義得[a1=4d=6]

2.2利用[Snn]的特征

思考2? 已知Sn=na1+[n（n-1）2d]，那么整理可得[Sn]= [d2]n+（a1-[d2]），此時(shí)公式為關(guān)于n的一次函數(shù)，因?yàn)榈炔顢?shù)列可與一次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化，所以此公式可以轉(zhuǎn)換為公差d=[d2] 的等差數(shù)列，可由等差數(shù)列的性質(zhì)解出此題。

解3 由上述公式，得[S1010=31S2020=61]

解得d′=[S2020-S101010]=3

所以[d=2d′=4a1=4]

2.3利用等差數(shù)列性質(zhì)

思考3? 已知{an}為等差數(shù)列，那么Sn，S2n-Sn，S3n- S2n，……為等差數(shù)列，公差為n2d，由此可解此題。

解4 由上述性質(zhì)，得

S10，S20-S10，S30-S20……

已知[S10=310S20=1220]

所以

S20-S10=910

所以

d′=n2d=100d=600

解得

d=6

再代入公式，得

S10=10a1+270=310

解得

a1=4

綜上[d=6a1=4]

3 一題多解

思考4 這里給出了本題四種不同的解法，相對于課本上提供的解法1，這些解法比較簡單，但是需要建立在對基礎(chǔ)知識(shí)充分掌握的基礎(chǔ)上。下面結(jié)合歷年一道高考題，我們研究一下這些方法的應(yīng)用。

題目2 （2010遼寧高考文科 14題）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3=3，S6=24，則a9=

解1 由Sn=na1+[n（n-1）2d]，得

[3a1+3d=36a1+15d=24]

解方程組，得[a1=-1d=2]

所以

a9=15

解2 由Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)），得[9A+3B=336A+6B=24]

解方程組，得[A=1B=-2]

由A，B含義得[a1=-1d=2]

解3 由[Snn]= [d2]n+（a1-[d2]），得

[S33=1S66=4]

解得

d′=1

所以[d=2d′=2a1=-1]

解4 由上述性質(zhì)，得

S3，S6-S3，S9-S6……

已知[S3=3S6=24]

所以

S6-S3=21

所以

d′=9d=18

解得

d=2

再代入公式，得

S3=3a1+6=3

解得

a1=-1

綜上[d=2a1=-1]

由題目2證明，此四種方法適用于大部分等差數(shù)列求解問題，今后面對此類求首項(xiàng)與公差的題目，便可以由題目已知，靈活運(yùn)用四種方法求解。

4 結(jié)束語

通過這次對課本例題的研究，我發(fā)現(xiàn)自己對等差數(shù)列的公式、性質(zhì)的認(rèn)識(shí)更上一層樓，并且發(fā)現(xiàn)了對于等差數(shù)列來說，可以從多種角度去看待一道等差數(shù)列的題目，從等差數(shù)列中感受熟悉的函數(shù)知識(shí)、代數(shù)法則，以及數(shù)列本身的性質(zhì)，這使我以后再面對不會(huì)的數(shù)列題目時(shí)可以發(fā)散思維，去聯(lián)系更多的知識(shí)。并且，通過此次研究，我發(fā)現(xiàn)了每道題背后都蘊(yùn)含命題人的思想與心血，因此，在后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中，我會(huì)用更加認(rèn)真的態(tài)度來對待數(shù)學(xué)，并懷著敬佩的心理求解數(shù)學(xué)題。

教師評語：等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成等差數(shù)列的重要性質(zhì)，在高考中具有舉足輕重的地位。孫晨淇同學(xué)運(yùn)用了基本量、待定系數(shù)、性質(zhì)應(yīng)用等一系列方法對課本一道例題做了多種方法的推廣，并結(jié)合一道歷年高考題對方法做了進(jìn)一步的研究和論證。“雙減”背景下，一題多解的學(xué)習(xí)方式有利于加強(qiáng)學(xué)生思考的深度、廣度和高度，學(xué)生在對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解的基礎(chǔ)上，提升靈活運(yùn)用公式解決問題的能力。

指導(dǎo)老師： 潘文超