含彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的不連續(xù)分岔

金 花, 張錦濤, 呂小紅, 王 昕

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070)

機(jī)械力學(xué)領(lǐng)域廣泛存在的含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)是一類很有代表性的分段光滑系統(tǒng),具有豐富而復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,并對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的使用效率和性能等因素具有重要的影響。因此,碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的充分重視。

對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí),根據(jù)碰撞體的剛硬程度將碰撞模型分為剛性碰撞和彈性碰撞。彈性碰撞模型考慮了碰撞時(shí)間和碰撞過程中的接觸力變化。針對(duì)單自由度彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng),Peterka等[1-2]應(yīng)用數(shù)值仿真方法研究了周期運(yùn)動(dòng)的擦邊、周期倍化和鞍結(jié)分岔;Ing等[3]利用半解析法和試驗(yàn)研究了擦邊軌道鄰域內(nèi)的動(dòng)力學(xué);Kundu等[4]考慮4種彈性約束配置,研究了擦邊軌道鄰域內(nèi)范式映射的特性。擦邊分岔有連續(xù)的和不連續(xù)的擦邊分岔兩種形式。Jiang等[5-6]研究了倍化型和鞍結(jié)型擦邊分岔在彈性和剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的不同特征,并將不連續(xù)幾何分析方法應(yīng)用于彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng),解釋了非碰撞運(yùn)動(dòng)與周期一碰撞運(yùn)動(dòng)之間的擦邊分岔是否連續(xù)的原因。

近幾十年來,研究者試圖將光滑動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的方法應(yīng)用到非光滑動(dòng)力系統(tǒng),并取得了一定的成功。金俐等[7]等利用局部映射方法推導(dǎo)了剛性約束和彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射的Jacobi矩陣。徐慧東等[8]針對(duì)彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng),利用轉(zhuǎn)換矩陣方法得到全局的單值矩陣,通過Floquet理論分析了周期運(yùn)動(dòng)的分岔。張華彪等[9]利用參數(shù)延續(xù)打靶法研究了Jeffcott 轉(zhuǎn)子碰摩系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的全局行為。張惠等[10]利用胞映射法研究了含間隙和彈性約束振動(dòng)系統(tǒng)共存吸引子的吸引域變化機(jī)理。Tan等[11]結(jié)合胞映射和打靶法討論了單自由度含對(duì)稱彈性約束振動(dòng)系統(tǒng)擦邊軌道鄰域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)行為與混沌演化。

隨著計(jì)算科學(xué)的發(fā)展,Luo等[12]提出了多參數(shù)協(xié)同仿真分析方法,研究了兩自由度含間隙剛性約束[13-14]、彈性約束[15]和對(duì)稱剛性約束碰撞系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運(yùn)動(dòng)模式及其分布規(guī)律,發(fā)現(xiàn)在相鄰基本周期碰撞運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)轉(zhuǎn)遷過程中可能存在遲滯域和亞諧包含域兩種特殊轉(zhuǎn)遷域。由于多參數(shù)協(xié)同仿真分析是數(shù)值分析方法,只能求解系統(tǒng)的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)和混沌,因此,Luo等只是討論了兩種特殊轉(zhuǎn)遷域內(nèi)的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)模式及其分布規(guī)律,沒有考慮包括不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的多吸引子共存現(xiàn)象。兩種特殊轉(zhuǎn)遷域的形成機(jī)理以及轉(zhuǎn)遷域內(nèi)部共存吸引子的分岔特征至今沒有被完全揭示。打靶法是一種計(jì)算動(dòng)力系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的常用方法。結(jié)合延拓打靶法和Floquet 理論可計(jì)算并追蹤共存周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與分岔。因此,本文考慮單自由度彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng),應(yīng)用多參數(shù)協(xié)同仿真分析方法辨識(shí)系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運(yùn)動(dòng)模式及其參數(shù)域,結(jié)合延拓打靶法和Floquet理論研究相鄰周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程中的共存吸引子及其分岔,揭示遲滯域和亞諧包含域的形成機(jī)理以及轉(zhuǎn)遷域內(nèi)的全局動(dòng)力學(xué)。

1 力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

考慮彈性碰撞的線性振子和非線性振子都屬于非光滑動(dòng)力系統(tǒng),不僅可以發(fā)生光滑動(dòng)力系統(tǒng)中的各種常規(guī)分岔,還具有一些光滑動(dòng)力系統(tǒng)不具備的特有分岔。因此,本文考慮圖1所示單自由度含彈性約束線性振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型,受簡(jiǎn)諧激勵(lì)力Psin(ΩT)作用的振子由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的黏性阻尼器連接于支承。振子的質(zhì)量為M,位移用X表示。B為振子與約束之間的間隙。約束用剛度為K2的線性彈簧描述。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

圖1 彈性碰撞系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of elastic impact system

(1)

(2)

將式(1)寫成規(guī)范形式

(3)

(4)

(5)

a1=x0-A1cos(ωt0)-B1sin(ωt0)

,

(6)

a2=x1-A2cos(ωt1)-B2sin(ωt1)-kb

,

(7)

2 局部復(fù)合映射

為了研究系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運(yùn)動(dòng)模式及分岔,選擇Poincaré截面Π0={(z,t):mod(t,2π/ω)=0}構(gòu)建Poincaré映射P:Π0→Π0。系統(tǒng)的一條由z0點(diǎn)出發(fā)再返回z0點(diǎn)的1/1周期運(yùn)動(dòng)軌線(周期運(yùn)動(dòng)用p/n表示,n為激勵(lì)力周期數(shù),p為軌線穿越非光滑界面Σ1的次數(shù)),如圖2所示。圖2中:z0∈Π0;z1∈Σ1;z2∈Σ2;t1+t2+t3=T=2π/ω。軌線在0時(shí)刻從z0點(diǎn)出發(fā)在區(qū)域G1中經(jīng)過時(shí)間t1抵達(dá)z1點(diǎn),定義相位面Π1={(z,t):t=t1},建立局部映射P1

圖2 1/1周期運(yùn)動(dòng)軌線Fig.2 Trajectoryof 1/1 periodic motion

P1:Π0→Π1, (z0,0)(z1,t1)

(8)

映射P1是通過解流形φ1(t)的光滑映射。因此,其Jacobi矩陣DP1為可通過多元函數(shù)求導(dǎo)法則得到

(9)

在t1時(shí)刻,軌線離開G1區(qū)域穿越非光滑界面Σ1進(jìn)入G2區(qū)域,用局部映射P2表示。映射P2所花的時(shí)間為0。非光滑界面Σ的法向量為hz=[1,0]T,計(jì)算映射P2的Jacobi矩陣DP2為

(10)

軌線在t1時(shí)刻從z1點(diǎn)出發(fā)在區(qū)域G2中經(jīng)過時(shí)間t2抵達(dá)z2點(diǎn),定義相位面Π2={(z,t):t=t1+t2},建立局部映射P3

P3:Π1→Π2, (z1,t1)(z2,t1+t2)

(11)

映射P3是通過解流形φ2(t)的光滑映射,Jacobi矩陣DP3為

(12)

在t1+t2時(shí)刻,軌線離開G2區(qū)域穿越非光滑界面Σ2進(jìn)入G1區(qū)域,用局部映射P4表示。與t1時(shí)刻相同,DP4=I。

Poincaré映射P可以表示為以上局部映射的復(fù)合。由于DP2=I和DP4=I,因此

PΠ0→Π0=P′1°P3°P1

(13)

式中:P′>1:Π2→Π0; (z2,t1+t2)(z0,T)。根據(jù)復(fù)合映射的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,映射P的Jacobi矩陣為

DP=DP′1×DP3×DP1

(14)

若周期軌線在由z0點(diǎn)返回z0點(diǎn)的過程中沒有穿越界面Σ1,此時(shí)系統(tǒng)為光滑動(dòng)力系統(tǒng),表現(xiàn)為0/1周期運(yùn)動(dòng),Poincaré映射P為

PΠ0→Π0=P1, (z0,0)(z0,T)

(15)

當(dāng)周期軌線從z0點(diǎn)出發(fā)經(jīng)歷n個(gè)力周期返回z0點(diǎn),穿越界面Σ1一次時(shí),系統(tǒng)做1/n周期運(yùn)動(dòng)。此時(shí)Poincaré映射P為

PΠ0→Π0=P1′°P3°P1, (z0,0)(z0,nT)

(16)

當(dāng)周期軌線在由z0點(diǎn)出發(fā)經(jīng)歷n個(gè)力周期返回z0點(diǎn)的過程中p(p>1)次穿越非光滑界面Σ1時(shí),系統(tǒng)做p/n周期運(yùn)動(dòng),此時(shí)的Poincaré映射P由2p+1個(gè)局部映射復(fù)合而成,即

P=P′1°(P3°P1)(p)

(17)

其Jacobi矩陣DP為

DP=DP′1×(DP3×DP1)(p)

(18)

3 延拓打靶法

為了研究系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為,本文應(yīng)用基于Poincaré映射的打靶法及Floquet理論求解系統(tǒng)的共存周期解與穩(wěn)定性。由于周期運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)Poincaré映射P的不動(dòng)點(diǎn),則式(3)的周期解可以看作常微分方程的兩點(diǎn)邊值問題

(19)

式中,T=2π/ω,n= 1, 2, 3,…。z0∈Π0需迭代改進(jìn),直到滿足邊界條件為止。采用Newton-Raphson迭代法

(20)

(21)

式中: Δv為分岔參數(shù)步長(zhǎng);Q(vk,zk)=P(vk,zk)-zk, ?Q(vk,zk)/?z=DP(vk,zk)-I。 ?Q(vk,zk)/?v可由式(22)以[zk,0]為初始值積分n個(gè)激勵(lì)力周期T得到。

(22)

其中

(23)

上述計(jì)算過程中,在求得不動(dòng)點(diǎn)的同時(shí)得到了Poincaré映射的Jacobi矩陣DP(zk)的特征值,根據(jù)Floquet理論可判斷周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與分岔。

4 兩參數(shù)平面周期1運(yùn)動(dòng)的分岔特征

仿真結(jié)果表明,當(dāng)k=9和ξ=0.06時(shí),(ω,b)參數(shù)平面的區(qū)域H={0.1≤ω≤0.8, 0.1≤b≤1.3}內(nèi)包含系統(tǒng)全部的周期1運(yùn)動(dòng)模式。因此,為了研究相鄰p/1周期運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)轉(zhuǎn)遷規(guī)律,取H為考察區(qū)域,根據(jù)式(4)～式(7)計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)模式及其參數(shù)域如圖3所示。可見,在H內(nèi),除占據(jù)主導(dǎo)地位的p/1(p=0, 1,…, 5)類周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域外,還存在很多主要囊括p/2類亞諧周期運(yùn)動(dòng)的小區(qū)域。為了方便分析,把這類小區(qū)域統(tǒng)稱為亞諧包含域。用Lp/1∩(p+1)/1表示p/1和(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域分界線,用SIRp表示位于或鄰近分界線Lp/1∩(p+1)/1的亞諧包含域。在p/1與(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷中出現(xiàn)的遲滯域用HRp表示。由圖3可知,系統(tǒng)在SIRp內(nèi)表現(xiàn)的周期運(yùn)動(dòng)模式主要有(2p+1)/2和2(p+1)/2等。當(dāng)p=0和1時(shí),亞諧包含域SIRp出現(xiàn)在(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域內(nèi)鄰近分界線Lp/1∩(p+1)/1的位置,而當(dāng)p> 1時(shí),亞諧包含域SIRp呈現(xiàn)于波浪狀邊界線Lp/1∩(p+1)/1的波峰處。由于亞諧包含域所處的位置有兩種情況,因此,相鄰p/1類運(yùn)動(dòng)經(jīng)亞諧包含域的轉(zhuǎn)遷呈現(xiàn)兩種不同的特征。

圖3 兩參數(shù)分岔圖Fig.3 Two-parameter bifurcation diagram

4.1 兩類擦邊分岔

本節(jié)分析1/1與2/1運(yùn)動(dòng)之間的分岔,揭示p/1與(p+1)/1(p=0, 1)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律。取b=0.1,應(yīng)用延拓打靶法計(jì)算1/1與2/1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷的單參數(shù)分岔圖如圖4(a)所示。b=0.91,ω穿越亞諧包含域SIR1時(shí)的分岔圖,如圖4(b)所示。在圖4(a)和圖4(b)中,實(shí)線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。由圖4(a)可知,減小ω,1/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)型擦邊分岔(GR-SN1)產(chǎn)生2/1運(yùn)動(dòng)。分岔點(diǎn)GR和SN1之間的距離Δω=0.000 734 71。當(dāng)ω=0.738 611 06(GR)時(shí),1/1運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔產(chǎn)生2/1運(yùn)動(dòng)。緊接著當(dāng)ω=0.737 876 35(SN1)時(shí),Floquet特征乘子為λ1=0.360 00,λ2=0.999 99,2/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔消失,系統(tǒng)響應(yīng)跳躍為另一個(gè)穩(wěn)定的2/1運(yùn)動(dòng)。相反,當(dāng)ω增大時(shí),開始于ω=0.73的2/1運(yùn)動(dòng)在ω=0.743 858 75(SN2)處經(jīng)鞍結(jié)分岔消失,系統(tǒng)響應(yīng)跳躍為1/1運(yùn)動(dòng)。不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)U2/1分支連接2個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)SN1和SN2,從而在1/1與2/1運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷過程中形成遲滯區(qū)。遲滯區(qū)內(nèi),2個(gè)2/1運(yùn)動(dòng)和U2/1運(yùn)動(dòng)在點(diǎn)SN1和GR之間共存,而在點(diǎn)GR和SN2之間,1/1,2/1和U2/1運(yùn)動(dòng)共存。共存周期運(yùn)動(dòng)的相圖和Poincaré映射圖如圖5(a)～圖5(c)所示。圖中的小面板描述了非光滑界面Σ0鄰域內(nèi)紅色相軌線的細(xì)節(jié)。其中圖5(b)的紅色相軌線與∑相切,切點(diǎn)z*>∈Σ0,1/1與2/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)擦邊分岔互相轉(zhuǎn)遷。GR點(diǎn)的擦邊分岔是連續(xù)的,但是,擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔SN1使系統(tǒng)響應(yīng)不連續(xù)。共存周期運(yùn)動(dòng)的吸引域演化如圖5(d)～圖5(f)所示。鞍結(jié)分岔使吸引域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突變,導(dǎo)致共存吸引子出現(xiàn)或消失,而擦邊分岔不會(huì)引起吸引域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突變。

圖4 1/1與2/1運(yùn)動(dòng)的分岔Fig.4 Bifurcations between 1/1 and 2/1 motions

圖5 相圖、Poincaré映射圖和吸引域,b=0.1Fig.5 Trajectories, Poincaré maps and basins of attraction, b=0.1

由圖4(b)可知,增大ω,1/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)周期倍化型擦邊分岔(GR1-PD1)產(chǎn)生U2/1運(yùn)動(dòng)。分岔點(diǎn)GR1和PD1之間的距離Δω=0.004 743 26。當(dāng)ω=0.508 742 45(GR1)時(shí),系統(tǒng)發(fā)生1/1運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔。隨后在ω=0.513 485 71(PD1)處,Floquet特征乘子為λ1=-0.230 36,λ2=-1.000 01,周期倍化分岔使2/1運(yùn)動(dòng)失去穩(wěn)定性。繼續(xù)增大ω當(dāng)ω=0.536 450 39(PD2)時(shí),系統(tǒng)再次發(fā)生周期倍化分岔使U2/1運(yùn)動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定。產(chǎn)生于PD1點(diǎn)的4/2運(yùn)動(dòng)在ω=0.517 770 45(GR2)處經(jīng)擦邊分岔產(chǎn)生3/2運(yùn)動(dòng),然后在ω=0.529 939 29(GR3)處返回4/2運(yùn)動(dòng)。PD1和PD2為亞諧包含域SIR1邊界上的點(diǎn)。結(jié)合圖3和圖4(b),ω穿越亞諧包含域SIR1的分岔可歸納為

(24)

應(yīng)用延拓打靶法計(jì)算1/1和2/1運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)遷的(ω,b)參數(shù)分岔線,結(jié)果見圖4(c)。圖4(c)中,不同類型的分岔線用不同的顏色區(qū)分。紅色和綠色鞍結(jié)分岔線包圍的區(qū)域?yàn)檫t滯域。其中,紅色分岔線緊貼藍(lán)色擦邊分岔線,因此,1/1運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)型擦邊分岔(GR-SN1)在1/1與2/1運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷過程中產(chǎn)生遲滯域HR1。遲滯域分布在波浪狀分界線L1/1∩2/1的波峰爬升區(qū),隨著波峰的減小而減小。其余參數(shù)區(qū)域內(nèi),1/1與2/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)擦邊分岔連續(xù)轉(zhuǎn)遷。亞諧包含域SIR1被黑色周期倍化分岔線包圍,左側(cè)緊靠擦邊分岔線。因此,1/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化型擦邊分岔(GR-PD)產(chǎn)生亞諧包含域SIR1。

由圖4(c)可知,在P1點(diǎn),擦邊分岔線和綠色鞍結(jié)分岔線橫截相交,鞍結(jié)分岔SN2與擦邊分岔GR重合,1/1與2/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)GR連續(xù)轉(zhuǎn)遷,同時(shí),鞍結(jié)分岔SN2產(chǎn)生1個(gè)新的2/1運(yùn)動(dòng)和1個(gè)U2/1運(yùn)動(dòng)。因此,P1點(diǎn)是二重擦邊-鞍結(jié)分岔點(diǎn)。兩條鞍結(jié)分岔線的匯交點(diǎn)P2為二重鞍結(jié)分岔點(diǎn)。圖4(d)為間隙b在點(diǎn)P1和P2附近取值,非光滑界面Σ1的速度隨ω變化的單參數(shù)分岔圖。圖中,0.96

由前面的分析可知,1/1運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔GR是連續(xù)的,但是鞍結(jié)分岔SN1的出現(xiàn)使系統(tǒng)響應(yīng)在擦邊鄰域內(nèi)不連續(xù),引起遲滯現(xiàn)象。U2/1運(yùn)動(dòng)存在于整個(gè)遲滯域HR1和亞諧包含域SIR1內(nèi)。不同的是,遲滯域內(nèi)的U2/1運(yùn)動(dòng)由鞍結(jié)型擦邊分岔產(chǎn)生,而亞諧包含域內(nèi)的U2/1運(yùn)動(dòng)由周期倍化型擦邊分岔產(chǎn)生。分岔參數(shù)繼續(xù)變化,U2/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)或周期倍化分岔恢復(fù)2/1運(yùn)動(dòng)從而使系統(tǒng)響應(yīng)退出遲滯域或亞諧包含域。

4.2 2/1與3/1運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷

當(dāng)p>1時(shí),亞諧包含域SIRp出現(xiàn)在波浪狀邊界線Lp/1∩(p+1)/1的波峰處。p/1與(p+1)/1運(yùn)動(dòng)之間出現(xiàn)3種轉(zhuǎn)遷方式:連續(xù)擦邊分岔、遲滯域和亞諧包含域。2/1與3/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)遲滯域轉(zhuǎn)遷的分岔圖,如圖6(a)所示。分岔點(diǎn)GR和SN1之間的距離Δω=0.000 014 63。減小ω,2/1運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)型擦邊分岔GR-SN1產(chǎn)生向ω增大方向彎曲的U3/1運(yùn)動(dòng)分支,引起遲滯現(xiàn)象。然后增大ω,系統(tǒng)再次發(fā)生鞍結(jié)分岔(SN2)使U3/1運(yùn)動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定。遲滯區(qū)內(nèi)共存周期運(yùn)動(dòng)的吸引域如圖6(b)所示。

圖6 2/1與3/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)遲滯域的轉(zhuǎn)遷,b=0.7Fig.6 Transition between 2/1 and 3/1 motions crossing a hysteresis region, b=0.7

亞諧包含域SIR2內(nèi)的亞諧周期運(yùn)動(dòng)模式及其參數(shù)域,如圖7(a)所示。與SIR0和SIR1內(nèi)的動(dòng)力學(xué)相比,SIR2內(nèi)的動(dòng)力學(xué)更加復(fù)雜。用圖7(b)和圖7(c)提供的單參數(shù)分岔圖解釋SIR2的形成機(jī)理及其內(nèi)部亞諧周期運(yùn)動(dòng)的分岔。延拓打靶法計(jì)算的結(jié)果,見圖7(b)。不同類型的分岔用不同顏色的圓點(diǎn)表示,實(shí)線表示穩(wěn)定周期解,虛線表示不穩(wěn)定周期解。數(shù)值計(jì)算結(jié)果見圖7(c)。由圖7(b)和圖7(c)可知,SIR2內(nèi)出現(xiàn)許多穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)及分岔點(diǎn)。圖7(b)左側(cè)和右側(cè)2/1運(yùn)動(dòng)的分岔分別對(duì)應(yīng)SIR2的左右邊界,中間3/1運(yùn)動(dòng)的分岔對(duì)應(yīng)SIR2的下邊界。圖7(b)的局部放大,如圖8所示。結(jié)合圖7和圖8可知,SIR2的左邊界線為2/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔線,右邊界為兩條鞍結(jié)分岔線形成的遲滯帶,左下和右下邊界線分別為3/1運(yùn)動(dòng)的亞臨界和超臨界周期倍化分岔線。

圖7 2/1與3/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)亞諧包含域的轉(zhuǎn)遷Fig.7 Transition between 2/1 and 3/1 motions crossing a subharmonic inclusion region

圖8 圖7(b)的局部放大Fig.8 Local amplifications of Fig.7(b)

由圖8(a)可知,減小ω當(dāng)ω=0.446 108 48(SN1)時(shí),Floquet特征乘子為λ1=-0.184 33,λ2=1.000 10,2/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔消失,系統(tǒng)響應(yīng)跳躍為6/2運(yùn)動(dòng)。相反,當(dāng)ω增大時(shí),周期倍化分岔PD1(ω=0.446 909 20)使U3/1運(yùn)動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定,然后當(dāng)ω=0.448 936 13·(SN2)時(shí),3/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔消失,系統(tǒng)響應(yīng)跳躍為2/1運(yùn)動(dòng)。鞍結(jié)分岔點(diǎn)SN1和SN2在2/1運(yùn)動(dòng)與亞諧包含域SIR2內(nèi)6/2運(yùn)動(dòng)的分岔過程中形成遲滯區(qū)。與4.1節(jié)描述的遲滯區(qū)的形成機(jī)理不同的是,該遲滯區(qū)內(nèi)沒有發(fā)生穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔,但發(fā)生了不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔GR1(ω=0.447 743 36),使產(chǎn)生于SN1點(diǎn)的U2/1運(yùn)動(dòng)與產(chǎn)生于SN2點(diǎn)的U3/1運(yùn)動(dòng)連續(xù)轉(zhuǎn)遷。

見圖8(a)遲滯區(qū)內(nèi),系統(tǒng)呈現(xiàn)多種類型的共存周期運(yùn)動(dòng)。在SN1和PD1之間,6/2和2/1運(yùn)動(dòng)及U3/1和U2/1運(yùn)動(dòng)共存。共存周期運(yùn)動(dòng)的相圖和Poincaré映射圖如圖9(a)和圖9(b)所示,穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的吸引域如圖9(c)所示。在PD1點(diǎn),6/2運(yùn)動(dòng)和U3/1運(yùn)動(dòng)的軌線重合產(chǎn)生3/1運(yùn)動(dòng)。因此,在PD1和GR1之間,3/1和2/1運(yùn)動(dòng)及U2/1運(yùn)動(dòng)共存。在GR1點(diǎn),U2/1運(yùn)動(dòng)分岔為U3/1運(yùn)動(dòng),因此,在GR1和SN2之間,3/1和2/1運(yùn)動(dòng)及U3/1運(yùn)動(dòng)共存。

圖9 相圖、Poincaré映射和吸引域,b=0.55Fig.9 Trajectories, Poincaré maps and basins of attraction, b=0.55

亞諧包含域SIR2的左邊界線為周期倍化分岔線。見圖7(b)和圖7(c),增大ω,2/1運(yùn)動(dòng)在ω=0.392 255 12(PD2)處發(fā)生周期倍化分岔。延拓追蹤產(chǎn)生于PD2點(diǎn)的4/2運(yùn)動(dòng),當(dāng)ω=0.392 747 70(GR2)時(shí),系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔產(chǎn)生5/2運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增大ω,5/2運(yùn)動(dòng)在ω=0.395 817 00(PD3)處經(jīng)周期倍化分岔失去穩(wěn)定性,隨后在ω=0.399 150 90(PD4)處經(jīng)周期倍化分岔又恢復(fù)穩(wěn)定。進(jìn)一步增大ω,系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)左下邊界退出亞諧包含域SIR2,5/2運(yùn)動(dòng)跳躍為3/1運(yùn)動(dòng),分岔細(xì)節(jié)見圖8(b)。

亞諧包含域SIR2的右下邊界為3/1運(yùn)動(dòng)的超臨界周期倍化分岔線。見圖7(b),增大ω,3/1運(yùn)動(dòng)在ω=0.426 167 30(PD6)處發(fā)生周期倍化分岔產(chǎn)生U3/1運(yùn)動(dòng)和6/2運(yùn)動(dòng)。U3/1運(yùn)動(dòng)分支連接前面介紹的PD1點(diǎn)。6/2運(yùn)動(dòng)在ω=0.434 119 5(GR5)處經(jīng)擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為5/2運(yùn)動(dòng),然后在ω=0.439 437 40(PD7)處經(jīng)周期倍化分岔失去穩(wěn)定性。繼續(xù)增大ω當(dāng)ω=444 047 18(GR6)時(shí),系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔由U5/2運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生U6/2運(yùn)動(dòng)。U6/2運(yùn)動(dòng)在ω=0.445 747 75(PD8)處獲得穩(wěn)定。由圖7(c)可知,在PD7點(diǎn)之后,5/2運(yùn)動(dòng)經(jīng)交替出現(xiàn)的周期倍化分岔和擦邊分岔產(chǎn)生混沌,然后經(jīng)3/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化序列退出混沌。

4.3 亞臨界周期倍化分岔

圖8(b)描述了3/1與5/2運(yùn)動(dòng)之間的分岔細(xì)節(jié)。減小ω當(dāng)ω=0.415 587 21(PD5)時(shí),Floquet特征乘子為λ1=-0.999 99,λ2=-0.163 07,3/1運(yùn)動(dòng)發(fā)生周期倍化分岔。應(yīng)用延拓打靶法發(fā)現(xiàn)U3/1運(yùn)動(dòng)在ω=0.415 417 25(GR3)處轉(zhuǎn)遷為U2/1運(yùn)動(dòng),然后一直持續(xù)到PD2點(diǎn)。在PD5點(diǎn),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由3/1運(yùn)動(dòng)跳躍為5/2運(yùn)動(dòng),而且存在遲滯現(xiàn)象。因此,PD5為亞臨界周期倍化分岔。經(jīng)過進(jìn)一步的詳細(xì)計(jì)算可知,3/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔PD5產(chǎn)生6/2運(yùn)動(dòng)。但是,6/2運(yùn)動(dòng)存在的區(qū)間Δω=0.000 000 39。當(dāng)ω=0.415 586 82(SN3)時(shí),Floquet特征乘子為λ1=1.000 01,λ2=0.026 40,鞍結(jié)分岔使6/2運(yùn)動(dòng)失去穩(wěn)定性,產(chǎn)生向ω增大方向彎曲的U6/2運(yùn)動(dòng)。此后,增大ω,在ω=0.415 608 14(GR4)處,系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔產(chǎn)生U5/2運(yùn)動(dòng)。U6/2擦邊運(yùn)動(dòng)的相圖和Poincaré映射圖如圖9(d)所示。U5/2運(yùn)動(dòng)在ω=0.415 640 34(SN4)處經(jīng)鞍結(jié)分岔獲得穩(wěn)定,同時(shí)恢復(fù)ω遞減的變化方向。由此可見,亞臨界周期倍化分岔PD5的本質(zhì)是發(fā)生在周期倍化分岔極小鄰域內(nèi)的鞍結(jié)分岔SN3使系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生跳躍和遲滯。把這種周期倍化分岔可稱為鞍結(jié)型周期倍化分岔(PD5-SN3)。此外,由于遲滯區(qū)內(nèi)出現(xiàn)不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔GR4,使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)經(jīng)3/1運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)型周期倍化分岔跳躍為5/2運(yùn)動(dòng),而不是6/2運(yùn)動(dòng),這點(diǎn)與常規(guī)亞臨界周期倍化分岔行為不同。最后,擦邊分岔GR3的發(fā)生導(dǎo)致U3/1運(yùn)動(dòng)沒有存在于整個(gè)亞諧包含域SIR2內(nèi),這點(diǎn)與SIR0和SIR1的動(dòng)力學(xué)不同。

取b=0.36,系統(tǒng)在ω∈[0.371,0.374]變化的分岔圖如圖10所示。減小ω,2/1運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔GR1(ω=0.372 263 82)產(chǎn)生3/1運(yùn)動(dòng),然后經(jīng)周期倍化分岔PD(ω=0.372 183 10,Floquet特征乘子為λ1=-0.131 88,λ2=-0.999 99)產(chǎn)生6/2運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)減小ω,在ω=0.372 173 58(GR2)處,6/2運(yùn)動(dòng)經(jīng)擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為5/2運(yùn)動(dòng)。隨后在ω=0.372 153 86(SN1)處,特征乘子為λ1=0.017 39,λ2=0.999 97,5/2運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔失去穩(wěn)定性,產(chǎn)生向ω增大方向彎曲的U5/2運(yùn)動(dòng)。此后,增大ω,在ω=0.372 911 30(SN2)處,不穩(wěn)定的U5/2運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔獲得穩(wěn)定,同時(shí)恢復(fù)ω遞減的變化方向。由此可見,亞臨界周期倍化分岔PD的本質(zhì)是發(fā)生在周期倍化分岔極小鄰域內(nèi)的鞍結(jié)型擦邊分岔GR2-SN1使系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生跳躍和遲滯。遲滯區(qū)內(nèi),共存的6/2運(yùn)動(dòng)和U5/2的相圖,如圖11所示。

圖10 亞臨界周期倍化分岔,b=0.36Fig.10 Subcritical period-doubling bifurcation, b=0.36

圖11 共存運(yùn)動(dòng)的相圖,b=0.372 18Fig.11 Trajectories of coexisting motions, b=0.372 18

5 結(jié) 論

本文考慮單自由度彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng),利用局部映射方法構(gòu)建系統(tǒng)各類周期運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射,推導(dǎo)了周期運(yùn)動(dòng)分岔分析的延拓打靶法,以及計(jì)算Floquet特征乘子的半解析法。應(yīng)用數(shù)值方法辨識(shí)系統(tǒng)在(ω,b)參數(shù)平面的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)模式及其參數(shù)域。基于延拓打靶法和Floquet理論分析了相鄰周期1運(yùn)動(dòng)的分岔特征,揭示了兩參數(shù)平面內(nèi)遲滯域和亞諧包含域的形成機(jī)理以及二重擦邊-鞍結(jié)分岔和二重鞍結(jié)分岔現(xiàn)象,討論了亞臨界周期倍化分岔引起系統(tǒng)響應(yīng)跳躍及遲滯的原因。

彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的擦邊分岔是連續(xù)的。但是鞍結(jié)分岔的出現(xiàn)使系統(tǒng)響應(yīng)在擦邊鄰域內(nèi)不連續(xù),引起遲滯現(xiàn)象。在p/1和(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷過程中,p/1運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)型擦邊分岔產(chǎn)生遲滯域HRp,U(p+1)/1運(yùn)動(dòng)存在于整個(gè)遲滯域HRp內(nèi)。

當(dāng)p=0和1時(shí),p/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化型擦邊分岔產(chǎn)生亞諧包含域SIRp。SIRp被(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔線包圍,因此,U(p+1)/1運(yùn)動(dòng)存在于整個(gè)亞諧包含域SIRp內(nèi)。而當(dāng)p>1時(shí),亞諧包含域SIRp主要被p/1和(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔線包圍,因此,SIRp內(nèi)存在Up/1或U(p+1)/1運(yùn)動(dòng)。當(dāng)不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)分支連接兩個(gè)不同模式穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)分支時(shí),必然要發(fā)生不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔。

亞臨界周期倍化分岔的本質(zhì)是發(fā)生在周期倍化分岔極小鄰域內(nèi)的鞍結(jié)分岔或鞍結(jié)型擦邊分岔使系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生跳躍和遲滯。與常規(guī)亞臨界周期倍化分岔行為不同的是,由于遲滯區(qū)發(fā)生了穩(wěn)定或不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔,使得p/n運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)型周期倍化分岔產(chǎn)生(2p+1)/2n或(2p-1)/2n運(yùn)動(dòng),而不是2p/2n運(yùn)動(dòng)。