磁場中軸向運動鐵磁梁固有振動與內(nèi)共振的理論及數(shù)值模擬研究

崔 雪, 孔祥清, 胡宇達

(1.遼寧工業(yè)大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,遼寧 錦州 121000; 2.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

軸向運動體系在工程實際中普遍存在,例如高速軸向運動的磁懸浮列車、空中纜車索道和電梯的牽引繩和動力傳輸帶等等。軸向運動梁作為一種常見的結(jié)構(gòu),其橫向振動和穩(wěn)定性的研究在工程中有著重要的研究價值。Mote等[1-2]是最早研究軸向運動體系振動穩(wěn)定性問題的國外學(xué)者。對于軸向運動梁,彭麗等[3-4]對軸向運動梁的非線性強迫振動、非線性動力學(xué)及穩(wěn)定性等做了大量研究工作。丁虎等[5]總結(jié)了軸向運動梁做自由振動、受迫振動和參激振動時兩組橫向模型的解析解研究進展。文獻[6]研究了軸向運動梁的橫向耦合振動的非線性問題。在磁彈性問題上,鄭曉靜等[7-8]對鐵磁材料在電磁場作用下的彎曲、失穩(wěn)等問題進行了深入的研究,給出了基本的理論框架和計算方法。周紀(jì)卿[9]給出了無軸向運動的梁在磁場中的振動方程,并進一步研究了梁的穩(wěn)定性問題。胡宇達等[10-12]研究了磁場中導(dǎo)電梁和導(dǎo)電薄板的非線性共振、參數(shù)振動及動力穩(wěn)定性等問題。文獻[13]通過復(fù)模態(tài)方法求解了3種模型的控制方程,給出了其相應(yīng)的固有頻率及模態(tài)函數(shù)。Li等[14]研究了內(nèi)共振條件下四邊簡支邊界條件下的矩形板全局分岔和多脈沖動力學(xué)問題。胡海良等[15]利用改進的攝動法研究了含有立方項和平方項的非線性系統(tǒng)的1 ∶3內(nèi)共振問題。黃玲璐等[16]用直接多尺度法研究了軸向運動梁的內(nèi)共振問題。

目前,針對磁場環(huán)境下軸向運動體系的研究還較少,本文針對電磁力激發(fā)下鐵磁梁的雙向耦合振動問題進行研究,并考慮其軸向運動條件,解出梁雙向固有振動的固有頻率表達式。并進一步研究系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振時梁的振動特性。最后通過有限元方法得到了和理論解比較吻合的數(shù)值解。本文研究結(jié)果可以為后續(xù)研究梁的受迫振動提供理論基礎(chǔ)。

1 磁場中軸向運動鐵磁梁的非線性振動方程

研究圖1所示在恒定橫向磁場B0(0,By,0)中做軸向運動的鐵磁梁,設(shè)梁的彈性模量、密度和電導(dǎo)率分別為E,ρ和σ,軸向拉力為T0x,梁橫截面為矩形,高為h,寬度為b,沿著x方向的軸向運動速度為c。

圖1 軸向運動鐵磁梁模型Fig.1 The model of ferromagnetic beam model with axially moving

1.1 洛倫茲力

當(dāng)鐵磁梁在磁場中軸向運動時,由電磁場理論可知,由于振動時切割磁感線使梁內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電流,其電流密度為

(1)

由式(1)可得洛倫茲力矢量表達式為

(2)

從而可以得到磁場中鐵磁梁所受單位長度橫向電磁力為

(3)

1.2 磁體力偶

因為梁的變形將導(dǎo)致梁內(nèi)磁場發(fā)生變化,設(shè)梁內(nèi)總磁感應(yīng)強度為

B=B0+θ(t)B1

(4)

式中:B為梁變形引起的攝動磁場;θ(t)為與時間有關(guān)的小的攝動參數(shù)。在梁的正弦變形形式下[17]有

B=χmByΔ-1[coshkycoskx·i+sinhkysinkx·j]

(5)

鐵磁材料梁的磁化強度為

(6)

式中:μ0=4π×10-7為真空磁導(dǎo)率,H/m。

單位長度梁上作用的磁體力偶為

(7)

又在小變形下,設(shè)單位長度梁上受到的體積力偶與梁的撓曲線斜率成正比,則有

(8)

式中,k0為磁扭轉(zhuǎn)剛度。由式(7)和式(8)可得

(9)

忽略x方向軸向振動,當(dāng)軸向運動梁發(fā)生橫向振動時,其動能為

(10)

根據(jù)彈性變形理論,可以得到梁的總勢能表達式

U=U1+U2+U3

(11)

其中

式中:U1為梁的拉力引起的應(yīng)變勢能;U2為梁的中面應(yīng)變勢能;U3彎曲應(yīng)變勢能。

1.3 磁彈性雙向振動方程

根據(jù)哈密頓變分原理得到在橫向磁場中軸向運動鐵磁梁的雙向磁彈性自由振動方程為

(12)

(13)

式中,Iz和Iy分別為梁對軸z和y軸的慣性矩。

2 雙向耦合固有振動問題理論求解

2.1 伽遼金法分離時間和空間變量

梁的邊界條件為

(14)

(15)

設(shè)滿足邊界條件的位移解為

(16)

(17)

將式(16)、式(17)代入式(12)、式(13),可得到分離時間和空間變量的梁的磁彈性雙向耦合振動方程

(18)

(19)

式中:

2.2 求解耦合方程固有頻率

利用多尺度法近似求解弱非線性方程式(18)、式(19)時,在方程組等號右端引入小參數(shù)ε,并改成如下形式

(20)

(21)

設(shè)系統(tǒng)的運動按不同時間尺度T0=t和T1=εt變化。將式(20)、式(21)的解寫為

q1=q11(T0,T1)+εq12(T0,T1)

(22)

q2=q21(T0,T1)+εq22(T0,T1)

(23)

將式(22)、式(23)代入(20)、式(21),令ε的同次冪系數(shù)相等,得到一次近似方程

(24)

(25)

二次近似方程

(26)

(27)

設(shè)式(26)、式(27)的復(fù)數(shù)形式的解為

(28)

(29)

將式(28)、式(29)代入式(26)、式(27)得到

(30)

(31)

式中,cc為等式右側(cè)各項的共軛。

消除式(30)、式(31)長期項的條件是

(32)

(33)

將復(fù)函數(shù)A1,A2對t的導(dǎo)數(shù)寫為

(34)

(35)

式中:D0A1=0;D0A2=0;D1A1和D1A2由式(32)、式(33)確定。

聯(lián)立式(32)～式(35),得到

(36)

(37)

設(shè)復(fù)函數(shù)Ar寫成如下指數(shù)形式

(38)

式中,ar(T1),βr(T1)均為T1的實函數(shù)。

將式(38)代入式(36)、式(37),分離實部和虛部得到

(39)

(40)

(41)

(42)

積分式(39)和(40)得到

a1=a01

(43)

(44)

式中,積分常數(shù)a01和a02取決于初始條件。

所以得到系統(tǒng)固有振動頻率為

y方向

(45)

z方向

(46)

2.3 內(nèi)共振情況

觀察式(32)、式(33)可知,當(dāng)派生系統(tǒng)的兩個固有頻率滿足1∶1時,系統(tǒng)將發(fā)生內(nèi)共振。

設(shè)派生系統(tǒng)的兩個固有頻率滿足

ω10=ω20+ελ

(47)

式中,λ為引入的頻率調(diào)諧參數(shù)。

考察式(30)、式(31)發(fā)現(xiàn),除了正比于eiω10T0和eiω20T0的項外,式中正比于ei(ω10-2ω20)T0和ei(2ω10-ω20)T0項也會產(chǎn)生長期項。

這時消除式(30)、式(31)長期項的條件是

(48)

(49)

將式(38)代入式(48)、式(49),將實部和虛部分離得到關(guān)于a1,a2,β1和β2的常微分方程組

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

3 算例分析

3.1 非內(nèi)共振

對橫向磁場中軸向運動鐵磁材料梁的固有振動特性進行分析。梁的物理參數(shù)如表1所示。梁材料選擇純鐵,梁橫截面面積為A=b×h=0.02 m×0.03 m,長度為l=1 m。

表1 純鐵的物理參數(shù)

圖2和圖3分別給出了梁在y方向和z方向振動的固有頻率ω1和ω2隨時間的變化曲線。在振動的初始階段,固有頻率ω1和ω2隨時間減小,最終趨于一個常值。對比圖2(a)和圖3(a),圖2(a)中3條曲線沒有重合,是由于式(45)中存在磁扭轉(zhuǎn)剛度k0。由此可知當(dāng)時間足夠大時,固有頻率ω1與磁場強度有關(guān),而ω2與磁場強度無關(guān)。由圖2(b)、圖2(c)和圖3(b)、圖3(c)相比較可以看出:當(dāng)時間足夠大時,初始振幅a01不同,對應(yīng)的固有頻率ω1和ω2也不同;初始振幅a02不會影響固有頻率ω1和ω2。

圖2 ω1隨時間變化規(guī)律Fig.2 Variation of ω1 with time

圖3 ω2隨時間變化規(guī)律Fig.3 Variation of ω2 with time

圖4和圖5分別給出了磁感應(yīng)強度和軸向速度對固有頻率ω1的影響曲線圖。圖6和圖7分別給出了磁感應(yīng)強度和軸向速度對固有頻率ω2的影響曲線圖。從圖中可以看出固有頻率ω1和ω2都隨著磁感應(yīng)強度和軸向速度的增大而減小。圖4(c)中當(dāng)磁感應(yīng)強度達到某一值后3條曲線重合,是因為當(dāng)磁感應(yīng)強度較小時,初始振幅a02對ω1有較大影響,而當(dāng)磁感應(yīng)強度大于某一個數(shù)值時,初始振幅a02對ω1基本沒有影響。圖5(a)和圖7(a)中曲線較密集,說明磁感應(yīng)強度對ω1和ω2的影響較小。圖6中3條曲線隨磁感應(yīng)強度增大而逐漸平行y軸,表明當(dāng)磁感應(yīng)強度足夠大時,其對ω2的影響會顯著降低。圖6(c)中當(dāng)磁感應(yīng)強度達到某一值后3條曲線相交,表明當(dāng)磁感應(yīng)強度足夠大時,ω2的大小與a02無關(guān)。

圖4 By與ω1之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between By and ω1

圖5 c與ω1之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between c and ω1

圖6 By與ω2之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between By and ω2

圖7 c與ω2之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between c and ω2

3.2 內(nèi)共振

對橫向磁場中軸向運動純鐵材料梁的內(nèi)共振特性進行分析。梁物理參數(shù)見表1。

當(dāng)梁發(fā)生1 ∶1內(nèi)共振時,由固有頻率表達式可知,當(dāng)梁長和寬越接近相等,兩個方向振動固有頻率越接近1 ∶1,故選擇梁橫截面面積A=b×h=0.03 m×0.03 m。

圖8～圖12給出了系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振時振幅a1和a2隨時間變化的曲線圖。圖(b)是圖(a)在時間段0～0.001 s的截圖,圖(c)是圖(a)在時間段0.05～0.051 s的截圖。從圖中可以看到系統(tǒng)的能量在a1和a2之間不斷的交換,發(fā)生了明顯的內(nèi)共振現(xiàn)象。對比圖8～圖10可以看出,當(dāng)軸向速度為40 m/s,60 m/s和80 m/s時,局部放大圖變化微小,可知軸向速度對系統(tǒng)內(nèi)共振影響較小。對比圖8、圖11和圖12可以看出,當(dāng)磁感應(yīng)強度為0.2 T,0.3 T和0.4 T時,局部放大圖變化明顯,可知磁感應(yīng)強度對系統(tǒng)內(nèi)共振影響顯著,且磁感應(yīng)強度越大,系統(tǒng)內(nèi)共振現(xiàn)象越不明顯。

圖8 振幅能量交換時程圖(By=0.2 T, c=40 m/s)Fig.8 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=40 m/s)

圖9 振幅能量交換時程圖(By=0.2 T, c=60 m/s)Fig.9 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=60 m/s)

圖10 振幅能量交換時程圖(By=0.2 T, c=80 m/s)Fig.10 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=80 m/s)

圖11 振幅能量交換時程圖(By=0.3 T, c=40 m/s)Fig.11 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.3 T, c=40 m/s)

圖12 振幅能量交換時程圖(By=0.4 T, c=40 m/s)Fig.12 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.4 T, c=40 m/s)

圖13 梁振動的前12階模態(tài)Fig.13 First twelve modes of beam vibration

4 有限元分析

4.1 計算模態(tài)和固有頻率

利用ABAQUS有限元軟件軟件建立了梁的三維實體模型,將梁劃分為10 000個單元,單元類型為C3D8R。計算了梁振動的前12階模態(tài),并求解出各階模態(tài)對應(yīng)的振動頻率。

由圖(13)可知梁的前9階振動模態(tài)均為y方向和z方向的振動,第10階模態(tài)為沿著軸向的振動,第11階模態(tài)為沿著軸向的扭轉(zhuǎn),第12階模態(tài)又回到了y方向。圖14給出了各階模態(tài)對應(yīng)的固有頻率。

圖14 各階模態(tài)對應(yīng)的固有頻率Fig.14 Natural frequencies corresponding to each mode

4.2 理論解與數(shù)值模擬對比

表2給出了梁振動固有頻率的理論解和數(shù)值解,的理論解為342.21 rad/s,數(shù)值解為321.69 rad/s,誤差為6.00%;ω2的理論解為501.11 rad/s,數(shù)值解為486.94 rad/s,誤差為2.83%。

表2 固有頻率理論解與數(shù)值模擬結(jié)果

經(jīng)對比可知,理論求解和有限元分析結(jié)果吻合較好。

5 結(jié) 論

本文研究了橫向磁場中做軸向運動鐵磁梁的雙向耦合固有振動和內(nèi)共振,給出了洛倫茲力和磁體力偶表達式,利用哈密頓原理推導(dǎo)出了梁的振動方程,進一步研究梁1 ∶1內(nèi)共振問題,并將理論解與數(shù)值解進行對比。本文得到結(jié)論如下:

(1)推導(dǎo)出了磁場中做軸向運動鐵磁梁的非線性雙向耦合振動方程以及梁在y方向和z方向振動固有頻率的表達式。

(2)由固有頻率表達式(45)、式(46)可知,當(dāng)梁長和寬越接近相等時,系統(tǒng)將發(fā)生1 ∶1內(nèi)共振,求解了系統(tǒng)內(nèi)共振情況下的振幅和相位調(diào)制方程。

(3)梁固有頻率隨磁感應(yīng)強度和軸向速度的增大而減小,最終趨于一個常值。

(4)y方向和z方向振動的固有頻率數(shù)值解與理論解誤差分別為6.00%和2.83%,兩者吻合較好。