由一道北京大學博雅計劃試題談慣性力的應用

劉玉娟 程志強

(山東省濟鋼高級中學,山東 濟南 250100)

在非慣性系統中牛頓第二定律不適用,觀察結果與牛頓第二定律相矛盾,為解決這一矛盾,引入一種假象力——慣性力,引入后牛頓第二定律形式不變,仍然成立,并且給解決問題帶來極大方便,本文討論幾種常見的非慣性系統中,如何引入慣性力,并給出解決問題實例分析.

1 慣性力的引入

如圖1,有一輛小車內有一光滑的水平桌面,桌面上靜止放一個小球,現讓小車以加速為a向左做勻加速直線運動,以地面為參考系,小球仍保持靜止,因為小球除受重力支持力外,水平方向不受外力,符合牛頓第二定律.但以小車為參考系,小球以加速度a向右做勻加速直線運動,但水平方向并不受外力,這樣就與牛頓第二定律產生了矛盾.如何化解這一矛盾呢?我們可以假設小球受到一個大小為ma,方向與小車加速度相反的力,這樣對有加速度的小車這樣的非慣性參考系牛頓二定律仍然成立.這個力我們稱為慣性力,用F*=-ma表示,因此,在勻加速直線運動非慣性參考系中,牛頓二定律可以寫成F外+F*=ma相對[1]

圖1 勻加速系統中的慣性力示意圖

如圖2,光滑小球在細線拉力作用下于桌面上作勻速圓周運動.在地面上看,小球在繩子拉力作用下做勻速圓周運動,拉力提供向心力.符合牛頓第二定律.但以圓盤為參考系,小球是靜止的,沒用加速度,但卻受到繩子的拉力,這不符合牛頓第二定律.為了解決這一矛盾,可以設想小球受到一個大小為mω2r,方向沿半徑向外的力作用,這樣就符合了牛頓第二定律,這個力稱為慣性力.因此在勻速轉動的圓周運動中,牛頓第二定律可以寫成:F外-mω2r=ma相對

圖2 勻速圓周運動系統中的慣性力示意圖

注意:慣性力只是一個假想的力,它沒有施力物體,也沒有反作用力,但是能做功.

2 北京大學2017年博雅計劃招生試題第4題

長度分別為L1和L2的兩根不可伸長的細繩懸掛著質量分別為m1和m2的兩個小球,處于靜止狀態,如圖3所示.現在突然給中間小球受到一水平方向的初速度v,求此時兩繩中的拉力各是多大?

圖3 小球位置示意圖

解設:上面繩子拉力為T1,下面繩子拉力為T2,以m1為參考系,m1是非慣性參考系,相對懸點有加速度

2.1 勻加速直線運動的非慣性參考系

(清華大學自主招生題)如圖4所示:在光滑的水平面上放置有一質量為M傾角為θ的光滑斜面,其上放一質量為m的物塊.現由靜止釋放物塊,在下滑的過程中對斜面壓力的大小為多大?物塊下滑的加速度多大?

圖4 斜面與滑塊位置

本問題如果在地面慣性系中列牛頓第二定律,方程會復雜得多,在斜面非慣性系中物體m的運動可以看做沿斜面勻加速直線運動,垂直斜面處于平衡狀態,問題變得很簡單.

2.2 瞬時慣性參考系

如圖5所示:兩根輕線懸掛質量m1的物體A.一根線是水平的,另一根線與豎直方向成角α.物體B質量m2用線系在物體A上,求當水平線剪斷瞬間物體B的加速度.

圖5 AB小球初始位置圖

解如圖6,設上面的繩子拉力為T1,下面的繩子拉力為T2,A球速度為0,故向心加速度為0,但A有切向加速度a1,A為為非慣性參考系,故引入慣性力m2a1

圖6 AB兩小球受力圖

對m1切向有:(T2+m1g)sinα=m1a1

對m2:m2a1sinα+T2=m2g

以上兩式解得:

B實際上只受兩個力:

T2-m2g=m2a2

2.3 轉動非慣性參考系

如圖7,光滑細桿繞豎直軸轉動,角速度為ω,細桿與豎直軸夾角θ保持不變,一個相對細桿靜止的小環自離地面高h處沿桿下滑,求小環滑到桿下端時的速度.

圖7 小環與桿的位置圖

2.4 非慣性參考系中運動問題

如圖8所示:雜技演員站在沿傾角為α的斜面下滑的車廂內,以速率v0垂直于斜面上拋紅球,經時間t0后又以垂直于斜面上拋一綠球,車廂與斜面無摩擦.問:兩個小球何時相遇?

圖8 人與小車在斜面上運動示意圖

解以車廂為參考系,車廂以加速度gsinα沿斜面運動,為一直線加速非慣性系.被拋出小球受重力W=mg和慣性力,其大小為mgsinα方向沿斜面向上,將以上兩力合成為mgcosα,方向與斜面垂直向下,如圖9.可見在車廂參考系中,小球沿垂直于斜面方向以加速度gcosα作上拋運動.以出手高度為坐標原點建立坐標系Oy,以拋出紅球時為計時起點.

圖9 小球受力圖

相遇條件:y1=y2

因t=t0時才拋出綠球,故:t遇≥t0,

由上面的例子我們可以看出,在非慣性參考系中,引入慣性力后,問題很可能變得簡單,主要原因是在非慣性參考系中,物體的運動形式變得簡單,所以在非慣性參考性中討論問題是一種很好的選擇.