指數(shù)加權引出的幾類[1/1]階Padé逼近迭代算法

楊 兵,郭 巧,王偉昌,江本赤

(1.安徽職業(yè)技術學院智能制造學院,安徽 合肥 230011;2.安徽職業(yè)技術學院計算機科學與工程學院,安徽 合肥 230011;3.安徽工布智造工業(yè)科技有限公司,安徽 合肥 238000;4.安徽工程大學,安徽 蕪湖 241000)

0 引言

Newton迭代法作為求解非線性方程根的經(jīng)典算法,具有方法簡單、計算量小的特點,一直被科研工作者所認可,但是Newton迭代法收斂速度一般,迭代效果對于復雜非線性方程無法滿足精度要求.本文利用函數(shù)值Padé逼近的[1/1]階迭代算法,通過對非線性方程f(x)=0進行指數(shù)加權同等變形為eg(x)f(x)=0,并對加權因子g(x)進行不同類型函數(shù)賦值,得到帶參數(shù)a的四類三階收斂的迭代算法[1].通過收斂性分析和數(shù)值實例發(fā)現(xiàn),參數(shù)a的取值并不影響收斂階數(shù)和效率指數(shù),但是當參數(shù)a取特定值時所得到的迭代算法的收斂速度會大大優(yōu)于基礎迭代.這一發(fā)現(xiàn)更加證實了該迭代算法的實用性和有效性.

令函數(shù)f(x)表示為

f(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+…,

設定

其中,當i<0時,ci=0.

1 預備知識

定義1.1 為求解非線性方程f(x)=0的近似根,可以通過指數(shù)加權等價變形為eg(x)f(x)=0的形式,g(x)為任意函數(shù).

定義1.2[2]記rm,n(x)=p0(x)/q0(x)=p(x)/q(x)(等價為(m,n)f)為函數(shù)f(x)的[m/n]階Padé逼近,并且

?p≤m, ?q≤n,ω(fq-p)≥m+n+1.

令方程r1,1=0,化簡得到

故公式

(1.1)

即為[1/1]階Padé逼近迭代[2].

2 四類指數(shù)加權迭代算法

令函數(shù)h(x)=eg(x)f(x)代替公式(1.1)中的f(x),于是有

因為

h′(x)=f′(x)eg(x)+eg(x)g′(x)f(x),

于是

(2.1)

(i)當g(x)=-ax時,將g′(x)=-a,g″(x)=0代入式(2.1),于是有迭代公式:

(2.2)

(2.3)

代入式(2.1),于是有迭代公式:

xn+1-xn=

(2.4)

代入式(2.1),于是有迭代公式:

(2.5)

3 收斂性分析

定理3.1 設非線性方程f(x)=0(f∶I?R→R,x∈I,I為開區(qū)間)的定義域區(qū)間內(nèi)的一個單根記為x*,若序列xn→x*,則由公式(2.2)定義的迭代序列三階收斂[3],且誤差公式表示為

證明 非線性函數(shù)f(xn)在x*點Taylor展開:

故

迭代公式(2.2)整理化簡為

故

定理3.2 設非線性方程f(x)=0(f∶I?R→R,x∈I,I為開區(qū)間)的定義域區(qū)間內(nèi)的一個單根,記為x*,若序列xn→x*,則由公式(2.3)定義的迭代序列三階收斂[4],且誤差公式表示為

證明 非線性函數(shù)f(xn)在x*點Taylor展開:

故

迭代公式(2.2)整理化簡為

故

定理3.3 設非線性方程f(x)=0(f∶I?R→R,x∈I,I為開區(qū)間)的定義域區(qū)間內(nèi)的一個單根記為x*,若序列xn→x*,則由公式(2.4)定義的迭代序列三階收斂,且誤差公式表示為

證明 非線性函數(shù)f(xn)在x*點Taylor展開:

結合定理3.1、定理3.2、定理3.3的證明,則有

迭代公式(2.5)整理化簡為

故

定理3.4 設非線性方程f(x)=0(f:I?R→R,x∈I,I為開區(qū)間)的定義域區(qū)間內(nèi)的一個單根記為x*,若序列xn→x*,則由公式(2.5)定義的迭代序列三階收斂[5-6],且誤差公式表示為

證明 非線性函數(shù)f(xn)在x*點Taylor展開:

結合定理3.1、定理3.2、定理3.3的證明,故有

迭代公式(2.5)整理化簡為

故

4 數(shù)值實例

例4.1 已知函數(shù)f(x)=x5-3x2+2,利用迭代公式(2.1)至(2.5)取參數(shù)a為特定值時的非線性方程f(x)=x5-3x2+2=0的近似根.初始值為-1,誤差公式為|xn-xn+1|≤10-5,通過Python計算機編程處理,迭代結果見表1.

表1 例4.1迭代結果

例4.2 已知函數(shù)f(x)=x3-x2-1,利用迭代公式(2.1)至(2.5)取參數(shù)a為特定值時的非線性方程f(x)=x3-x2-1=0的近似根.初始值為-1,誤差公式為|xn-xn+1|≤10-5,通過Python計算機編程處理,計算結果見表2.

表2 例4.2迭代結果

由例4.1和例4.2的迭代結果可以發(fā)現(xiàn),通過指數(shù)加權后確定的四類基于函數(shù)值Padé逼近的[1/1]階改進迭代算法在保持三階收斂的同時,通過調試改變參數(shù)a值,所得到的迭代公式的收斂效果均優(yōu)于基礎迭代,而參數(shù)a取不同值所得到的迭代公式的收斂速度亦不相同.這一發(fā)現(xiàn)與第三部分收斂性分析中四類迭代公式的誤差系數(shù)不同的結論相一致.通過調試參數(shù)的變化來改變收斂速度,對于非線性方程求精確解具有重要的參考意義,亦可以推廣到非線性方程組的應用[7-8].該算法在機器學習中構建分類器和機器人算法領域有潛在的應用價值[9].