次擴散過程驅動下的歐式障礙期權定價

趙 蘋,郭志東

(安慶師范大學數理學院,安徽 安慶 246133)

0 引言

期權是重要的金融衍生產品之一.最為經典的期權定價模型是由BLACK和SCHOLES在1973年建立的Black-Scholes模型[1].在經典的Black-Scholes期權定價模型中,標的資產價格變化的隨機驅動源是布朗運動.布朗運動無法刻畫標的資產價格變化的常值周期性特征,標的資產價格變化的這一特征在無交易或交易量極小的新興市場中是很常見的.為了彌補這一缺陷,MAGDZIARZ[2]率先將次擴散布朗運動應用到期權定價問題,建立了次擴散機制下的Black-scholes模型,并給出了模型下歐式看漲期權的定價公式.不同于布朗運動和分數布朗運動,次擴散布朗運動可以很好地刻畫標的資產價格變化的常值周期性特征.自此以后,許多學者研究并建立了次擴散機制下的若干期權定價模型.例如,KRZYZANOWSKI等[3]在已建立的次擴散Black-scholes方程基礎上,運用有限差分法得出該模型下的數值計算結果.WANG等[4]建立了次擴散機制下帶交易成本的Black-scholes模型,得出歐式期權的定價公式及平價公式.GUO[5]建立了次擴散機制下Merton期權定價模型,得出該模型下歐式期權的顯示定價公式,并給出了相應的數值模擬結果.GUO等[6]建立了次擴散機制下幾何亞式期權定價模型,給出了亞式期權的定價公式.

障礙期權是一種新型奇異期權,它的最終收益與原生資產在到期日的價格有關,還與原生資產在規定時期內的價格能否達到某固定水平有關[7].障礙期權的定價問題也受到許多學者的廣泛關注.MERTON[8]在經典期權定價模型下,給出了歐式向下敲出看漲期權的解析公式.RUBINSTEIN等[9]通過變量換元和因式推導的方法,給出了標準障礙期權的定價公式顯示解.HEYNEN等[10]研究了彩虹障礙期權的定價問題,利用有限差分法給出了彩虹障礙期權的定價近似解.鄭祥等[11]基于幾何布朗運動下Merton模型的解析解和蒙特卡洛算法,建立了符合國內金融市場的交易策略,結合實證得到了障礙期權的有效對沖.張素梅[12]研究了隨機波動下的障礙期權定價,通過非均勻有限差分的方法,給出了求解障礙期權的穩健性模型.韋才敏等[13]構建了混合分數布朗運動下的歐式障礙期權定價模型,結合換元法和偏微分方程理論,給出了障礙期權的定價顯示解.溫鮮等[14]構建了分數布朗運動下的美式障礙期權定價模型,通過二次近似法給出了美式下降障礙期權的近似解和邊界價格.

在上述文獻中,都沒有考慮次擴散機制下的障礙期權定價問題.本文將標的資產常值周期性特征納入障礙期權定價模型中,建立次擴散驅動下的歐式障礙期權定價模型.

1 次擴散過程

次擴散幾何布朗運動為Sα(t)=S(Tα(t)),母過程S(t)為幾何布朗運動,有

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dB(t),

其中,r,σ為常數,dB(t)表示標準布朗運動.Tα(t)表示逆α-穩定從屬過程,且α∈(0,1),有

Tα(t)=inf{τ>0:Uα(τ)>t},

下面在次擴散布朗運動的基礎上,建立次擴散機制下歐式障礙期權的定價模型.

2 次擴散過程驅動下的障礙期權定價模型

考慮金融市場上存在兩種資產,無風險資產和風險資產St(標的資產).標的資產價格無須支付紅利,到期日為時間T,敲定價格為K,障礙值為B.并假設:

(i)標的資產價格St滿足次擴散布朗運動:

dSt=rStd(Tα(t))+σStdB(Tα(t)),

(1)

其中,r,σ分別表示標的資產的預期收益率和波動率.

(ii)市場不存在套利機會.

(iii)交易是連續的,允許賣空買空.

(iv)不支付交易費和稅收.

在上述假設條件下,可以得到歐式障礙期權的價格所滿足的偏微分方程.

定理1 記Vt=V(St,t)為歐式障礙期權的價格,則在上述假設條件下,可以得到歐式障礙期權的價格Vt=V(St,t)滿足偏微分方程:

證明 由Taylor展開式及假設條件(i),有

進而,

構造投資組合Π=V-ΔS(Δ是原生資產的份額),在[t,t+dt]時間段內有

(2)

由假設Π在(t,t+dt)是無風險的,dΠ=rΠdt,聯立式(2)可得

則定理1得證.

記P(S,t)為歐式下降敲出看跌障礙期權的價格,由定理1可知,P(S,t)滿足下面的偏微分方程定解問題:

(3)

求解上述偏微分方程定解問題,可得歐式下降敲出看跌障礙期權的價格.

定理2 當標的資產的價格滿足式(1)時,收益函數為(K-S)+I{B

(4)

其中,

且N(·)表示標準正態的累積分布函數.

證明 為求解偏微分方程定解問題(3),構造如下變換:

代入方程可得

取

整理可得

(5)

則定解問題(3)轉化為下面的定解問題:

由熱傳導方程理論可知,上面定解問題的解可表示為

(6)

令

要使邊界條件ω(a(t),τ)=0成立,f(ξ)應為奇函數,因此,

且

代入公式(6)得到

整理得到

進一步換元變換可得

其中,d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8如式(4)所示.

同理,記C(S,t)為歐式下降敲出看漲障礙期權價格,運用類似的方法可得.

定理3 當標的資產的價格滿足(1)時,歐式下降敲出看漲障礙期權價格為

其中,d1,d3,d5,d7如式(4)所示.

證明,類似于定理2.

3 數值模擬

本節將給出相關的數值計算結果.參數取值r=0.05,σ=0.3,S0=60,B=40,α=0.8,隨著敲定價格K和到期日T的取值變化,得到如圖1所示的圖形.

圖1 不同價格和到期日對期權價格的影響

從圖1可以看出,隨著敲定價格K的增加,期權價格不斷增加,當到期日T不斷增加時,期權價格在逐漸減小.次擴散參數的不同取值對價格的影響如圖2所示.從圖2可以看出,參數α取不同值時,隨著α值的增加,期權的價格逐漸減少.

圖2 次擴散參數的不同取值對價格的影響

經典歐式障礙期權價格與次擴散布朗運動下的期權價格差價如圖3所示.從圖3可以看出,當敲定價格固定,幾何布朗運動下的歐式下降敲出看漲障礙期權價格要高于次擴散布朗運動下的歐式下降敲出看漲障礙期權價格,隨著敲定價格的增加,兩種模型下的期權價格之差逐漸減少.

圖3 經典歐式障礙期權價格與次擴散布朗運動下的期權價格差價

4 結語

現有的期權定價模型通常選用布朗運動或分數布朗運動作為期權定價的隨機驅動源.然而,無論是幾何布朗運動還是分數布朗運動,都無法描述標的資產價格變化的常值周期性特點.本文將標的資產常值周期性特征納入期權定價中,建立了次擴散機制下的歐式障礙期權的定價模型,給出了模型下歐式障礙期權定價的顯示定價公式及相關數值計算結果.數值計算結果表明,相同參數下次擴散機制下歐式下降敲出看漲障礙期權的價格要低于其在幾何布朗機制下的價格.