畫圖中理解和發(fā)現(xiàn) 反思中感悟和提升
——“畫思路”教學(xué)實(shí)踐與思考

文 |陳昱（特級教師） 徐芝英

“畫思路”是最早成型也是最常見的“數(shù)學(xué)畫”課型，是指在問題解決教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式表征題意、思路，借助畫圖厘清數(shù)量關(guān)系，輔助分析和解決問題的教學(xué)。這種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和幾何直觀來輔助解決問題的編排設(shè)計(jì)貫穿現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)各版教材。下面以五年級一個(gè)具體的問題解決教學(xué)為例來談一談“畫思路”教學(xué)的實(shí)踐策略和方法。

一、從“畫題意”到“畫思路”

“畫思路”教學(xué)中，問題的呈現(xiàn)方式多種多樣：情境圖展現(xiàn)、文字?jǐn)⑹觥D文并茂、視頻展示、語音播報(bào)等；問題的提出方式也是多樣的：直接給出條件和問題、只給條件需要學(xué)生提出問題、給較復(fù)雜的情境或背景以及問題需要學(xué)生找條件、給較復(fù)雜的情境或背景需要學(xué)生提出問題尋找條件等。以上議題都很重要，但不在本文討論范圍，本文只探討在已知條件和問題的情況下如何借助畫圖表征、分析和解決問題。

“畫思路”教學(xué)流程（如圖1）是：讀題→畫題意→畫思路→解題→反思，從“畫圖”的視角可分為前后承接的兩個(gè)部分：畫題意和畫思路。在整個(gè)畫圖解決問題的過程中，貫穿始終的是兩個(gè)主題：理解與發(fā)現(xiàn)。畫題意更多指向理解，畫思路主要是不斷地發(fā)現(xiàn)。

圖1

（一）理解：畫題意的前提和旨?xì)w

“畫題意”指畫圖表征條件和問題，其前提和旨?xì)w是對整個(gè)問題的理解，與讀題、審題相聯(lián)系。比如面對“春節(jié)到了，爸爸買了2只鴨、1只雞，共33元。如果買2只鴨、3只雞要付51元，問一只雞和一只鴨各多少錢？”這個(gè)問題，先給予學(xué)生充分的讀題、審題時(shí)間，必要時(shí)還可以讓學(xué)生互相說一說題意，再把題意畫出來（如圖2）。

圖2

1.理解題意：條件和問題清晰化

文字或話語陳述的問題，需要用畫圖來梳理，使之清晰呈現(xiàn)，明白已知條件和問題。這一步很重要，只要學(xué)生能夠表征清楚，問題就解決了一大半。

上題中的條件比較簡單，有些問題條件相對復(fù)雜，需要畫圖輔助理解。比如“一座大橋2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需3分鐘，這列火車長多少米？”，通過畫圖表征“從車頭開上橋到車尾離開橋”能夠更好地理解“通過大橋”的意思，否則容易誤以為這列火車“通過大橋”的路程就是橋長2400米。所以，“理解題意”與“畫圖表征”之間的關(guān)系是相互的，前者是后者的基礎(chǔ)，沒有對題意的理解就無從畫圖表征；后者是前者的輔助，畫圖表征能夠促進(jìn)理解，兩者相輔相成。

對題意的理解，還包括對問題的整體把握與思辨。上題在課堂上就受到學(xué)生的質(zhì)疑：雞、鴨的價(jià)格也太便宜了吧？不符合市場實(shí)際。時(shí)值中秋前夕，學(xué)生們商議修改問題為（注：因此學(xué)生作品中既有“雞、鴨”也有“石榴、月餅”）：中秋節(jié)到了，爸爸買了3個(gè)石榴、1封月餅，共33元。如果買3個(gè)石榴、3封月餅要51元。問1個(gè)石榴和1封月餅各多少錢？學(xué)生的質(zhì)疑表現(xiàn)十分珍貴，我們希望數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)賦予學(xué)生這樣的審辯性思維和理性精神，并主動運(yùn)用它們反過來審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和周圍世界。

2.畫圖表征：多樣化基礎(chǔ)上的簡潔化

“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)歷來都是放手讓學(xué)生個(gè)性化表達(dá)，“畫思路”也不例外。個(gè)性化表達(dá)必然會呈現(xiàn)多樣化的畫圖，學(xué)生解決上述問題中出現(xiàn)了幾何圖形圖（如圖2）、實(shí)物圖（如圖3）、文字圖（如圖4）、線段圖（如圖5）等不同作品。

圖3

圖4

圖5

在展評環(huán)節(jié)，不同畫法的作品同時(shí)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在對比中發(fā)現(xiàn)不同，達(dá)成共識：畫實(shí)物圖比較麻煩，幾何圖形圖和線段圖比較簡潔，從而逐漸簡化畫法。整體上，低年級學(xué)生偏愛色彩鮮艷的實(shí)物圖，喜歡創(chuàng)設(shè)豐富的故事情境，隨著年齡的增長、學(xué)習(xí)的推進(jìn)，我們會有意識、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生逐漸用簡潔的幾何圖形、符號等表征思維。一般年級越高，學(xué)生畫思路的作品會越簡潔、抽象。

（二）發(fā)現(xiàn)：畫思路的本質(zhì)和關(guān)鍵

畫清題意為厘清數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)解決方法做好了鋪墊，這兩個(gè)過程是一氣呵成、融為一體的。在課堂教學(xué)中，“畫題意”“畫思路”“解題”往往也都在“畫圖解決問題”的大任務(wù)中，避免破壞學(xué)生思維的連貫、深入。

1.圖示發(fā)現(xiàn)：關(guān)系和方法明朗化

上例中，有了畫題意后學(xué)生能夠很容易“看出”51元里比33元里多出2只雞，不難推算1只雞的價(jià)錢，知道了雞的單價(jià)，根據(jù)兩個(gè)已知條件中的任意一個(gè)，都能算出鴨的單價(jià)（如圖6）。以上關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系和解題方法的發(fā)現(xiàn)得益于圖示的直觀。當(dāng)然，本問題條件比較簡單，部分學(xué)生可以在腦海中“想見”數(shù)量關(guān)系，直接列式解決。這種情況并不是“畫思路”重要教學(xué)價(jià)值的反例，恰恰說明了：一切問題解決的前提都是理解題意和洞見數(shù)量關(guān)系；簡單和復(fù)雜是相對的，理解了的內(nèi)容自然簡單，所謂復(fù)雜只是暫時(shí)未被理解和掌握，其中存在個(gè)體差異；畫圖可以輔助數(shù)學(xué)理解、促進(jìn)問題發(fā)現(xiàn)；“看見”的圖與“想見”的圖都是思維的痕跡，只是在熟練程度和心理認(rèn)知水平上有差異。

在畫題意基礎(chǔ)上，圖6是比較常見的思路和方法，還有其他方法，比如圖7、圖8。這些多樣方法的出現(xiàn)又使后面“反思”環(huán)節(jié)的小結(jié)提升有了基礎(chǔ)和可能。

圖7

圖8

2.算式表達(dá)：由圖到式的數(shù)學(xué)化

畫圖表征題意之后，理清數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)解決問題的方法是很內(nèi)隱的思維活動，其表現(xiàn)就是能夠列出算式、解答問題，即學(xué)生完成了由圖示到算式的過渡，這是一種數(shù)學(xué)化的過程。有的學(xué)生需要在圖示的直觀幫助下列式，有的學(xué)生在借助畫圖理解題意、厘清思路后可以脫離圖示獨(dú)立列式解答，還有的學(xué)生思維水平達(dá)到一定高度后則可以不畫圖直接列式解答。不論哪一種學(xué)生，當(dāng)他們列式解答出現(xiàn)困難時(shí)，隨時(shí)可以重新畫圖或看圖來輔助思考。在這個(gè)意義上，“畫思路”是很明顯的一種從“數(shù)學(xué)畫”到“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

二、從“反思過程”到“提升素養(yǎng)”

問題解決教學(xué)中“反思過程”是很重要的環(huán)節(jié)。“反思過程”是教學(xué)行為和手段，“提升素養(yǎng)”才是教學(xué)方向和目標(biāo)。因?yàn)椤爱嬎悸贰背尸F(xiàn)了每位學(xué)生的思維痕跡，這讓“反思過程”更加有跡可循。

（一）讓“經(jīng)歷”成為“經(jīng)驗(yàn)”

“反思過程”環(huán)節(jié)的教學(xué)首先指向?qū)φ麄€(gè)問題解決過程的回顧：我們是怎么一步步解決這個(gè)問題的？我們運(yùn)用了哪些方法？引導(dǎo)學(xué)生在反思中有意識地將“讀題→畫題意→畫思路→解題→反思”的“經(jīng)歷”變成“經(jīng)驗(yàn)”儲存起來，便于以后遇到問題加以運(yùn)用。這種重新審視整個(gè)解題過程的“元認(rèn)知”也有助于培養(yǎng)學(xué)生自覺回顧、主動反思的習(xí)慣。

不同作品的交流展評是“畫思路”教學(xué)中學(xué)生很重要的一種學(xué)習(xí)經(jīng)歷，通過反思和比較，學(xué)生可以獲得的經(jīng)驗(yàn)主要有兩個(gè)方面：畫法從實(shí)物圖到線段圖不斷優(yōu)化，思維由單一向多元越來越靈活，更重要的是學(xué)生思維的水平層次也在不斷進(jìn)階。

不同圖示在抽象水平、不同解法在思維水平上往往存在差異，在充分尊重每位學(xué)生的個(gè)性化表達(dá)基礎(chǔ)上，“畫思路”教學(xué)著力通過作品展評來提升學(xué)生的畫圖和思維能力，自然引導(dǎo)學(xué)生讀懂同伴的圖示和方法，并多方對比、自我反思，給予他們改進(jìn)的機(jī)會，最終實(shí)現(xiàn)“基于個(gè)性的表達(dá)”和“基于交流的發(fā)展”。

（二）由“解法”升級“策略”

如上所述，問題解決中出現(xiàn)不同解法，如果沒有反思，這些寶貴的多元方法只會停留在特殊的、個(gè)別的解法層面。經(jīng)過扎實(shí)的“畫題意→畫思路”過程后回顧這些方法，學(xué)生才有機(jī)會跳出具體解法的窠臼，從更高的視角俯視它們，發(fā)現(xiàn)“通法”，有可能到達(dá)策略和思想的高度。

1.解法背后的策略意識

怎么才能實(shí)現(xiàn)從個(gè)別解法到一般策略的跨越呢？下面將以上述問題在不同班級的教學(xué)為例來具體談一談。

（1）學(xué)生未出現(xiàn)多樣解法：以策略化引出多樣化

在A班級的教學(xué)中，學(xué)生畫法雖然多樣，但解法比較趨同，只出現(xiàn)圖6這一類。以下是教學(xué)片斷：

師：讓我們回頭看看，一開始覺得這個(gè)問題怎么樣？困難在什么地方？

學(xué)生說一說，引出：此問題有兩個(gè)未知量，比較復(fù)雜。

師：通過分析我們還是順利解決了這個(gè)有兩個(gè)未知量的復(fù)雜問題，想一想解決問題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生議一議，引出：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是想辦法抵消掉一個(gè)未知量，使復(fù)雜問題變簡單。

追問：我們是怎么消掉一個(gè)未知量的？為什么這樣可以抵消？

學(xué)生結(jié)合解決過程說一說，得出：因?yàn)?3元和51元里正好都包含2只鴨的價(jià)錢，我們通過兩數(shù)相減，剛好可以抵消掉鴨的價(jià)錢，只剩下雞的價(jià)錢。

師：我們已經(jīng)會用直接相減的方法抵消一個(gè)未知量，那么能不能用其他方法呢？

先獨(dú)立思考，再小組討論，教師巡視輔導(dǎo)，點(diǎn)撥：只要想辦法抵消掉一個(gè)未知量即可，注意觀察已知數(shù)的特點(diǎn)，怎樣能抵消呢？

（展評不同方法與思路）

以上教學(xué)立足學(xué)生比較單一的解法，引導(dǎo)學(xué)生通過反思發(fā)現(xiàn)具體解法背后的“消元”本質(zhì)，讓學(xué)生意識到：不論用什么方法，只要抵消掉一個(gè)未知量，問題就簡單了，從而順利引出多樣解法。

（2）學(xué)生出現(xiàn)多樣解法：以多樣化引導(dǎo)策略化

B班級的教學(xué)中，學(xué)生不僅出現(xiàn)多樣畫法，還自主涌現(xiàn)了多元解法。教學(xué)片斷如下：

師：回顧一下，比較圖6、7、8的不同解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？先獨(dú)立思考，再小組內(nèi)交流。

生1：我們發(fā)現(xiàn)三種不同方法有一個(gè)相同的過程，那就是畫圖，通過畫圖明白了數(shù)量關(guān)系，找到了解決方法。

生2：我們發(fā)現(xiàn)圖6的方法是把兩個(gè)已知條件相減，剛好抵消掉2只鴨子、1只雞，剩下2只雞的價(jià)錢，就能求出雞的單價(jià)，再求出鴨的單價(jià)；圖7的方法是把兩個(gè)已知條件相加，得到4只鴨和4只雞的價(jià)錢，就能求出1只鴨和1只雞的價(jià)錢，而第一個(gè)已知條件是2只鴨、1只雞，相減就能得到鴨的單價(jià)；圖8的解法也差不多，先把第一個(gè)已知條件乘3，求出6只鴨和3只雞的價(jià)錢，再減去第二個(gè)已知條件，3只雞抵消了，剩下4只鴨，得到了鴨的單價(jià)……

師：他提到了一個(gè)很重要的詞“抵消”，是什么意思？

生3：不論是哪一種解法，最后都是為了抵消掉一個(gè)，要么抵消掉雞，要么抵消掉鴨。

師：為什么要抵消掉一個(gè)呢？

生4：我們既要求雞的單價(jià)，又要求鴨的單價(jià)，不抵消掉一個(gè)不好算，如果抵消掉一個(gè)，只剩另外一個(gè)，就好算了。

師：原來不同解法里有著同樣的思想。誰再來說一說？

得出：當(dāng)有兩個(gè)未知量時(shí)，可以用加減乘除的多種方法抵消掉一個(gè)未知量，把復(fù)雜問題變簡單。

以上教學(xué)是在解法多樣化基礎(chǔ)上進(jìn)行的，通過比較引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同解法中蘊(yùn)含著相同的策略，那就是用消元的方法將含有兩個(gè)未知量的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成只含一個(gè)未知量的簡單問題。如此，學(xué)生的學(xué)習(xí)就能夠超越一道題而打通一類題，獲得問題解決的通法，掌握更高層面的策略和數(shù)學(xué)思想方法。

2.解題背后的素養(yǎng)培育

和其他課型一樣，“畫思路”教學(xué)的最高目標(biāo)絕不是畫圖，也不是解題，而是通過以畫圖輔助解題的學(xué)習(xí)過程來育人，即培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。上例中蘊(yùn)含著多方面的提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的努力，下面從中截取“推理意識”略加分析。

（1）從現(xiàn)象到結(jié)論

推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，具有推理意識的學(xué)生能夠通過簡單的歸納或者類比，猜想或者發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。A班學(xué)生通過對畫法不同但思路相似的解法、B班學(xué)生通過對多種不同解法的歸納類比，都發(fā)現(xiàn)了“消元”方法和“轉(zhuǎn)化”思想。

（2）從一般到特殊

具有推理意識的學(xué)生能通過法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程。A班學(xué)生運(yùn)用消元策略，找到與已有解法不一樣的其他解法；交流展評環(huán)節(jié)，由同一種解法的相同數(shù)量關(guān)系，引出不同畫法的作品，如：同樣是“消元”，同樣的“51元里比33元里多出2只雞（2封月餅）”，圖9～11與圖6的畫法各不相同。課堂上，一般的操作是：先看圖6，讀懂其思路，明確其數(shù)量關(guān)系，學(xué)生再找出與之相同解法和數(shù)量關(guān)系的圖9～11等作品集中展示，簡單感悟從一般到特殊的推理。

圖9

圖10

圖11

（3）合理解釋自己和他人

具有推理意識的學(xué)生能對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。不同畫法、不同解法的學(xué)生會在小組內(nèi)或全班交流自己的想法，也會在交流中讀懂別人的想法。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，對數(shù)學(xué)問題的表征和探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，“畫思路”教學(xué)則是我們在這一領(lǐng)域的自覺實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在畫圖中理解和發(fā)現(xiàn)，在反思中感悟和提升。