聚焦邊角特征，深化分類思想的內涵
——以《三角形分類》為例

文 |吳林燕

【課前思考】

“三角形分類”是北師大版四年級下冊的內容，本文通過對分類概念的理解，從大單元整體教學的視角分析分類活動走向分類思想的學習路徑，促進課堂的深度構建，發展學生的核心素養。

一、聚焦分類思想，探尋圖形本質特征

分類思想是一種基本的數學思想，它是根據一定的標準，對事物進行有序劃分和組織的過程。分類，不僅僅指將同類事物歸結到一起，還體現了“合理、有序、不重不漏”的思想。鄭毓信教授認為，分類能夠為相應的抽象提供必要的基礎和為如何逐步深入地去開展認識指明可能的途徑。它是聯系新舊知識的橋梁，是形成數學概念、建構系統的知識體系、進行大單元教學的重要手段。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出，要使學生獲得數學分類思想的基本知識。在經歷探索圖形特征的過程中，建立基本的幾何概念，發展空間觀念和幾何直觀。通過分類活動，確定分類標準，在活動經驗中優化分類方法，幫助學生學會“用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達世界”。

二、明確單元視角，理清主題任務層次

筆者通過對北師大版教材“認識三角形和四邊形”的單元分析，發現教材重在通過“分類”區分三角形和四邊形，分類后繼續研究三角形和四邊形的特征，從而搭建出圖形單元的整體框架。“三角形分類”是研究三角形特征的必要準備和基礎，從分類開始，研究三角形角的特征、邊的特征，再學習三角形的內角和、三邊關系，認知序列逐步推進、螺旋上升。在大單元教學中，要通過“分類”這個教學活動串起整個單元的學習，從而理解各類三角形、四邊形的特征，打通單元整體脈絡，形成結構化的深度聯結。

在明確單元目標的前提下，主題設計的關鍵在于淬煉大概念，轉化核心問題，使得學生獲得學習科學意義的有效建構，打破原有的教學定勢。基于學生本位的視角，筆者嘗試建立開放、融通的探索場域進行單元整體設計，從接觸概念到明晰分類，從理解特征到抓準性質，串聯成有條理、成體系的知識網絡，致力于學生數學核心素養能力的培養。

【教學過程】

一、猜謎導入，從興趣走向思考

師：進入魔法王國的金鑰匙就藏在這個圖形密碼里，想不想試一試？

師：聽好了，小小個子三條邊，瘦瘦高高三個尖，建筑設計用得廣，人人都夸穩定堅！猜猜它是什么圖形？

生：三角形！

二、任務驅動，從淺表走向深刻

師：恭喜你們，拿到了通往魔法王國的邀請函。要想得到去魔法王國的船票，就必須將三角形準確分類！想一想，三角形可以按照什么標準來分類呢？

●活動一：認一認，剪一剪

1.呈現認知沖突

生：可以按大小分。分為大三角形、中三角形、小三角形。大三角形有⑥⑦⑧⑨，中三角形有①，小三角形有②③④⑤。

師：你的想法很有意思。其他同學同意他的說法嗎？

生：我有不同的想法。（畫出一個更大的三角形）這個三角形比你的大三角形更大，所以它叫大大三角形。可以嗎？

生：不可以。

2.促進思維進階

師：為什么不行？

生：大和小都是相對的概念，因為總有更大的三角形。不然就沒有辦法分完所有的三角形了。

生：這樣分就沒有明確的標準了。

師：大家都總結得很好。看來按照大小來分類，不行。

●活動二：量一量，說一說

師：那還能怎么分？

生：可以按照形狀來分。

生：可以按照長短來分。

師：你們提出了很多有趣的分類方法。但從數學的概念和角度上來看，你覺得還可以怎么分？

生：可以按邊分。

師：按邊分，根據你的經驗，要怎么做？

生：要量一量。

師：行，那就在小組里量一量、說一說。把三角形的每條邊都量出來，并寫在你的《學習單》上。

學生作品1：

師：你發現了什么？

生：我發現最特殊的是③號和⑤號三角形，三條邊都相等。

生：我發現②號和④號三角形分別有兩條邊相等。

生：其他的三角形三條邊都不相等。

師：是啊，數學家也有這樣的發現，為了區分，給它們各自取了名字。三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，兩條邊相等的叫等腰三角形，三條邊都不相等的叫不等邊三角形，也叫普通三角形。所以按邊分，可以怎么分？

學生作品2：按邊來分

師：要注意的是，等邊三角形是特殊的等腰三角形。你知道它特殊在哪兒嗎？

生：等腰三角形需要兩條邊相等，而等邊三角形需要三條邊都相等。

師：是的，等邊三角形更特殊。用一個圖來表示，就是這樣。

師：除了這種分類方法，還能怎么分？

生：還能按角來分。

師：聯系我們以前學過的知識，我們學過哪些角？

生：直角、銳角、鈍角、平角、周角。

師：那按角分，你有什么方法可以快速分類？

生：我們可以直接根據學過的角，把每個三角形都有哪些角寫出來，然后再分。

學生作品3：

師：你發現了什么？

生：我發現①號和②號三角形都是1個直角帶2個銳角。

生：我也發現了，⑥⑦⑧⑨號三角形都是1個鈍角帶2個銳角。

師：因為它們都帶了2個銳角，所以我們根據第三個角來區分，那你猜猜，第三個角如果是直角的三角形，它會叫什么三角形？

生：直角三角形！

生：那我知道了，像⑥⑦⑧⑨號三角形也有2個銳角，但第三個角是鈍角，所以它們是鈍角三角形。

師：那剩下的幾個三角形，你又能發現什么？

生：剩下③④⑤號三角形，除了那2個銳角，第三個角也是銳角，所以它們就叫銳角三角形。

師：銳角三角形總共會有幾個銳角？

生：3個。

師：是的，必須3個角都是銳角，這樣的三角形才是銳角三角形。那我們按角分，可以怎么分？

學生作品4：

（學生判斷三角形類型教學活動，活動過程略）

師：（追問）如果有2個角是銳角，是不是一定是銳角三角形？

生：不一定。因為如果第三個角是直角，那就是直角三角形;如果第三個角是鈍角，就是鈍角三角形。只有3個角都是銳角，才是銳角三角形。

師：抓住三角形角的特征就能迅速判斷出是哪種三角形。

師：你能用簡潔的方法表示三角形的分類結果嗎？

學生作品5：

三、關系探尋，從孤立走向聯結

●活動三：畫一畫，說一說

師：三角形悄悄地藏在了信封里，你知道它是哪種三角形嗎？

生：第一個三角形有個直角符號，一定是直角三角形。

生：第二個三角形只露出1個銳角，無法確定，如果它有直角，就是直角三角形；如果有鈍角，就是鈍角三角形，如果3個角都是銳角，就是銳角三角形。

生：第三個三角形有個鈍角，因此是鈍角三角形。

●活動四：辨一辨，分一分

（學生放完其他圖形，卻在⑧號和?號圖形面前犯了愁）

師：為什么臺上的同學遲疑了？

生：因為直角三角形和等腰三角形有重復的。

生：⑧號和?號圖形既是直角三角形，又是等腰三角形，不好放。

師：那該怎么辦呢？

生：可以把兩個框移近一點，形成交叉，⑧號和?號就放在兩個框交叉的地方。

學生作品6：

師：⑧號和?號為什么放在交叉的地方？

生：因為⑧號和?號既是直角三角形，又是等腰三角形，符合兩種圖形的特征。

師：解釋得非常清楚，這樣的三角形叫作“等腰直角三角形”。所以，有的三角形不僅角特殊，邊也特殊，我們在觀察的時候既要關注到角，又要關注到邊。

四、變式運用，從習得走向遷移

師：同學們，回顧所學，你都有哪些收獲？

生：我學會了三角形的分類。

生：三角形不能按照大小來分類，這種分類方法不科學。

生：三角形可以按照“角”和“邊”來分類，不同的分法分出來的結果是不同的。

生：不同的分類方法可以相互關聯，要同時關注到三角形的角和邊。比如，有的三角形既是直角三角形，又是等腰三角形。

師：是的，“感覺不一定可靠，方法才格外重要”。我們要打破原有的思維定勢，用科學的方法來驗證猜想。分類方法的提煉是我們需要具備的能力，接下來我們還將帶著所思、所想、所獲，繼續探尋數學的奧妙。四邊形的分類就在不遠處等著大家，讓我們一起期待下次的精彩！