探尋圓之“源” 感悟一中同長
——《圓的認識》教學

文 |韓遠嫦

【教學內容】

人教版六年級上冊第55、56頁。

【教學過程】

一、問題引發，感知表象

師：（出示圖片，略）你看到了什么？

生：圓形的拱門、圓形的摩天輪、圓形的波紋、圓形的空地……

師：你們為什么認為這些圖形都是圓？

生：它們沒有角。

生：它們是封閉圖形。

生：它是軸對稱圖形。

生：它有無數條對稱軸。

師：圓與我們之前學過的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形同為平面圖形，它能否用直尺畫出來？

二、問題探究，溯圓之源

師：直尺是否能畫出一個圓？實踐出真理。我們一起來研究以下兩個問題：其一，如何用直尺畫一個圓？畫一畫，你有什么發現？其二，對比用直尺畫圓的方法中，所畫的圓有什么共同的特點？

1.直尺畫圓，溯源“一中同圓”。

師：我們先研究第一個問題。請大家試著在《學習單》上用直尺畫一個圓，并說說你的發現。

●層次一：模仿圓規畫圓的原理，利用尺子和鉛筆做成一個圓規“畫”出圓。

生1：沒有圓規，我就用尺子和筆做成一個圓規，尺子就是圓規帶針的腳，鉛筆就是圓規帶筆的腳，這樣轉一圈畫的。

生2：我是把尺子一端固定住，用鉛筆固定在3cm的地方，推動尺子帶動鉛筆畫一圈。

生3：我也是用生1的方法畫的，但畫出來后，發現不怎么圓。

師：什么原因畫得不圓？

生3：尺子和鉛筆的距離不能固定住，總是跑來跑去的。

●層次二：畫一個正方形，從正方形中“描”一個圓。

師：（出示圖2）看看另一種畫法。

生4：我先畫一個正方形，再沿著正方形的邊慢慢畫出一個圓來。

師：對于他的畫法，有疑問嗎？

生：你為什么要畫正方形的對角線呢？

生4：原本我要定出正方形的中間位置的，后來我發現量出正方形四條邊的中點，然后連線也能找到中心點，這個就是圓的中心。

●層次三：通過一個點，畫出無數條線段，“連”成一個圓。

生5：（出示圖3）我通過一個點，畫了兩條4cm的線段，這個點剛好把兩條線段平分，再連接它們的端點，只是我畫得不夠圓。

生6：（出示圖4）我比生5畫的線段多一些，因為圓是軸對稱圖形，不管怎么對折，它都是對稱的，這些線就是它的折痕，折痕多了，連接它們的端點，這樣畫出來的圓就更圓了。

生7：這和自行車的車輪相似。從車輪的中心點引出很多條長度相等的線段，把這些線段的端點連起來就形成圓形的自行車車輪。

師：這些折痕畫完了沒？

生6：沒有，還有很多。

師：是這樣嗎？（課件演示）

2.觀察對比，理解“一中同長”。

師：對比這幾位同學所畫的圓。它們有什么共同特點嗎？

生：它們都有一個中心點，這就是圓心。圓心用字母O表示。

生：我發現這些圓中，有無數條相等的線段。

師：我沒看見圖1圓中的線段。

圖1

圖2

圖3

生：他沒畫出來，那條線段就是圓心到圓上這一條，它叫半徑。

師：就只有這一條嗎？

生：還有這里、這里（用手比劃了很多條），像圖4一樣，有無數條，它們的長度都相等。

圖4

圖5

師：我明白了，從圓心到圓上這條線段叫半徑，半徑有無數條。

生：半徑用字母r表示。

生：我還發現，通過圓心，兩端都在圓上的線段叫直徑，用字母d表示，直徑也有無數條，所有的直徑都相等。

師：大家從這些圖中發現這么多有價值的知識。老師有個疑問，你們剛才說所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。有證據證明嗎？

（學生沉默）

師：剛才給到大家每人一張圓形紙片，你們能用這張紙片驗證一下你們的說法嗎？

3.實驗操作，驗證“一中同長”。

生：我先把圓形紙片對折兩次，找到圓心，拿尺子的0刻度線對準圓心，量了這幾條半徑，它們都是2cm。

生：我不用量，我這樣對折、對折、再對折，你們看這些半徑都是重合的，說明它們是相等的。

生：我還發現，兩條半徑加起來就是一條直徑，所以直徑也是相等的。

生：是的，一條直徑等于兩條半徑。

師：大家是否同意？

（學生都點頭表示同意）

師：（拿出一個大圓片和一個小圓片）這個小圓片的直徑等于大圓片的兩條半徑之和嗎？

生：不相等，必須相等的圓。

生：同一個圓也行。

師：早在2300多年前，我國古代思想家墨子在《墨經》中這樣描述圓：圓，一中同長也。你是怎么理解的？

生：“一中”就是一個中心，即圓心。

生：“同長”就是指同一個圓里所有的半徑都相等，所有直徑也相等。

4.圓規畫圓，運用“一中同長”。

師：剛才我們用直尺畫圓，方便嗎？有更好的畫圓工具嗎？

生：圓規。

師：無規不成圓。“規”就是圓規，為什么畫圓的時候常常會用圓規來畫呢？大家在練習本用圓規畫一個圓，看看有什么發現。

生1：圖6是我畫的，我把圓規尖尖的腳固定在紙上，另外帶筆的腳旋轉一周，就畫出來了。我發現圓規兩腳間的距離就是半徑。

圖6

師：你的圓多大？

生1：不知道，我是隨意張開圓規兩腳畫的。

生2：圖7是我畫的，我先用尺子畫出一條3cm的線段作為半徑，用針尖的腳固定在線段的一端，鉛筆的腳在線段的另一端，然后拿著鉛筆的那只腳旋轉一周，就得到一個半徑是3cm的圓。我也發現圓規兩腳張開的距離就是半徑的長度。

圖7

生3：圖8是我畫的圓。我是先用尺子畫一條4cm長的線段作為直徑，在直徑的中間點一個點，這是圓心。然后用圓規針尖定在圓心，鉛筆的腳張開半徑的長度，然后旋轉一周。正因為半徑的長度固定了，所以就可以畫出完美的圓。

圖8

圖9

圖10

師：看來，用圓規畫圓就是運用了“一中同長”的原理。

三、問題解決，遷移運用

師：同學們這節課很棒！能通過嘗試——對比——發現——驗證——結論的方法來探究圓的有關知識。我們就用這節課的收獲來解決新的問題吧。

1.填一填：看圖填空。

2.找一找：如何找出圓形木板的圓心及半徑？

生1：我在圓上畫兩條直徑，直徑相交于一點，這一點就是圓心，從圓心到圓上畫一條線段，這就是半徑。

師：大家怎么看？

生2：我不同意。你怎么確定這兩條是直徑呢？

生3：圓心沒找到，都不能確定這兩條直線是否有通過圓心。

師：他在提醒大家，找直徑要先找到圓心。

生2：我可以在圓形木板的外面畫一個與它貼緊的正方形，正方形的邊長就是圓的直徑，直徑的一半就是半徑。

生4：我同意他的想法。我給正方形添加兩條對稱軸，這兩條對稱軸的交點就是圓心了。

師：你們知道他這樣做的理由是什么嗎？

生5：我知道。因為正方形和圓都是軸對稱圖形，正方形的對稱軸也就是圓形木板的對稱軸，就相當于把圓形木板對折兩次，就會出現兩條直徑，直徑的交點就是圓心。

3.辯一辯：學校要建一個直徑是10米的圓形花壇，你能用什么方法畫這個圓？

生：可以先定一個點作為圓心，然后用10米長的軟尺繞一圈就可以了。

生：我不同意，用5米長的軟尺就可以了，因為直徑是10米，半徑就是5米。

生：其實不一定是軟尺，有一根5米長的繩子也行。

師：大家怎么看？

生：是的，可以。

4.無邊界：淘淘參加一次課外拓展活動，需要根據提示找到活動獎品。提示上這樣寫道：獎品距離小旗2米處。你能幫淘淘解決這個問題嗎？（用1厘米代表1米，在圖11中畫出獎品可能藏的地方）

圖11

生1：獎品就在半徑是2米的圓里面。

生2：我不同意。不是在圓里面，而是在圓的邊上。

生3：也就是在半徑是2米的圓的周長上。

生4：還有可能是距離旗子2米的地底下。

師：誰聽懂他的想法了？

生5：就是像球一樣，旗子是球心。

生6：準確地說，應該是一個半球。

師：大家的意見是，獎品可能在的地點不僅形成一個圓，還有可能形成一個球。圓和球有什么不同？

生5：圓是個平面圖形，而球是個立體圖形。

四、全課總結，拓展延伸

師：在課的開始，大家都談了對圓的認識，你們認為圓是曲線圖形、是軸對稱圖形，有無數條對稱軸。現在回過頭來看看，圓的確具有大家所說的特征，如果只用一句話來概括什么是圓，你們會用哪一句話？

生：一中同長。