新高考下的構(gòu)造函數(shù)解題方法

周思源 魏俊潮

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

高考題中常見(jiàn)的運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法的題型有比較大小、實(shí)根個(gè)數(shù)、取值范圍、極值最值與單調(diào)性問(wèn)題.本文結(jié)合近幾年的高考題和各地模擬題,對(duì)構(gòu)造函數(shù)這一解題方法的五類(lèi)常見(jiàn)題型和解題策略進(jìn)行研究.

1 構(gòu)造函數(shù)與大小關(guān)系

解析由題知f′(x)=ex-x+a,

設(shè)g(x)=ex-e-x-2x,x>0,

則g′(x)=ex+e-x-2≥0.

所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,則

g(x)>g(0)=0.

2 構(gòu)造函數(shù)與實(shí)根個(gè)數(shù)

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.

(2)證明:方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個(gè)實(shí)根.

解析(1)a=1,b=-1.

令函數(shù)g(x)=lnx+sinx,x∈(0,+∞),則

當(dāng)x∈[π,+∞)時(shí),lnx>1,sinx≥-1,

所以g(x)=lnx+sinx>0.

當(dāng)x∈[1,π)時(shí),lnx≥0,sinx>0,

所以g(x)=lnx+sinx>0.

則g(x)在(0,1)單調(diào)遞增.

綜上所述,函數(shù)g(x)在(0,+∞)有唯一的零點(diǎn)x0∈(0,1),且g(x)在(0,x0)上恒小于零,在(x0,+∞)上恒大于零[1].

令函數(shù)φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|,討論如下:

①當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),

φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|

則函數(shù)φ(x)在(0,x0)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)φ(x)在(0,x0)存在唯一的零點(diǎn).

則方程f(x)=|lnx+sinx|在(0,x0)上有唯一的零點(diǎn).

②當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),

φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),m′(x)<0,所以m(x)在(0,1)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),m′(x)>0,所以m(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.

則m(x)≥m(1)=1-ln1-1=0.

所以x-lnx-1≥0.

則h′(x)=ex+sinx+x-1.

因?yàn)閔″(x)=ex+(cosx+1)>0,

所以h′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,

則h′(x)>h′(0)=0.

即h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

所以h(x)>h(0)=0.

>x-lnx-sinx≥x-lnx-1≥0.

即φ(x)>0.

所以方程f(x)=|lnx+sinx|在(x0,+∞)上無(wú)零點(diǎn).

綜上所述,方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個(gè)實(shí)根.

3 構(gòu)造函數(shù)與取值范圍

例3 已知函數(shù)f(x)=x2-4x+alnx,a∈R,函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1

f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1

由題可得,f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1

因?yàn)閤1

因?yàn)?h(1)=-3,故m≤-3.

4 構(gòu)造函數(shù)與極值最值

例4已知a為正整數(shù),若對(duì)任意x∈(0,+∞),不等式alnx≤x+1成立,則a的最大值為_(kāi)___.

解析由題意可知,alnx-x-1≤0對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立.

由題意可知,a為正整數(shù),所以a>0.

令f′(x)=0,則x=a.

則f(x)在(0,a)單調(diào)遞增,(a,+∞)單調(diào)遞減.

所以需要滿(mǎn)足f(x)max=f(a)=alna-a-1≤0.

令a=2,f(2)=2ln2-3≤0,符合題意;

令a=3,f(3)=3ln3-4≤0,符合題意;

令a=4,f(4)=4ln4-5>0,不符合題意.

所以amax=3.

5 構(gòu)造函數(shù)與單調(diào)性

例5 設(shè)函數(shù)f(x)=ex+asinx-ax2-(1+a)x.當(dāng)a≤0時(shí),討論f(x)的單調(diào)性.

解析由題知f′(x)=ex+acosx-2ax-(1+a)=ex-1+a(cosx-2x-1),

令g(x)=cosx-2x-1,

則g′(x)=-sinx-2<0.

所以g(x)在R上單調(diào)遞減,注意到g(0)=0,

當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≤0,此時(shí)f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時(shí),g(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,+∞)單調(diào)遞增[2].

構(gòu)造函數(shù)是高考函數(shù)相關(guān)題型中的常用解題方法,本文列舉了五種利用構(gòu)造函數(shù)求解的函數(shù)題,針對(duì)比較大小、實(shí)根個(gè)數(shù)、取值范圍、極值最值、單調(diào)性問(wèn)題進(jìn)行了一些研究,總結(jié)了一些利用構(gòu)造函數(shù)解題的技巧,希望能為解決新高考函數(shù)問(wèn)題提供一些幫助.