導數極值點偏移問題的解題表設計
——基于波利亞解題思想

孫雅琪

(華南師范大學數學科學學院,廣東 廣州 510631)

解題在中學數學教育中占據重要地位,對學生數學思維的完善起到很大作用.美籍匈牙利數學家喬治·波利亞(George Polya)認為中學數學教育的根本目的是“教會學生思考”,并通過《怎樣解題》一書中所提出的“怎樣解題表”給出了具體的實施方案.“怎樣解題表”包括四個步驟:理解問題、擬定計劃、實行計劃、回顧,充分展現了學生應如何在一個“念頭”的引導下進行層層遞進地聯想,這也為學生提供了一套解決數學問題的一般方法與模式[1].

1 解題表的設計

1.1 原題呈現

題目已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

第(1)問根據導數和單調性的關系,可以快速得出f(x)在(0,1)上單調遞增,在[1,+∞)上單調遞減;第(2)問則是一個經典的極值點偏移問題,以此為例,基于波利亞解題思想,下文對極值點偏移問題的解題表設計進行探究.

1.2 理解問題

根據波利亞解題思想,當面對一道陌生題目時,學生首先要對題目所蘊含的信息進行提取,進而全面理解題目,結合“怎樣解題表”,學生可從以下四個問題入手進行思考分析:已知是什么?未知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?

進一步,結合f(x)圖象,發現存在m,n>0,使得f(m)=f(n),且m,n分別在區間(0,1)和(1,e)內,又當x∈(0,1)時f(x)增長的速率比x∈(1,e)時f(x)下降的速率快,因此初步判斷2

圖1 f(x)的圖象

結合以上分析,針對導數極值點偏移問題,可將問題具體表述為:該函數的解析式是什么?你能寫出該函數的基本性質嗎?能否畫出函數的對應草圖?你能判斷兩個未知數所在的區間嗎?根據草圖能否判斷滿足條件是否可能?

1.3 擬定計劃

學生提取出本題所蘊含的信息后,接下來要建立已知與未知之間的關系,進而擬定出一個解決該題的計劃,這一步驟很考驗學生的邏輯思維,結合“怎樣解題表”,可從以下三個問題入手進行思考分析:你以前曾經見過它嗎?這里有一個與你有關且以前解過的問題,你能應用它嗎?你能改述這個問題嗎?

通過上文可知m,n分別在區間(0,1)和(1,e)內,不妨設m∈(0,1),n∈(1,e),顯然本題無法通過作差、作商等方法直接對不等式進行證明,因此需借助其他方法:利用分析法,若22-m和nf(e-m).由于m是(0,1)區間中可變化的值,因此可以構造函數:

g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1).

此時不等式證明問題就轉化為求解函數的最值問題,通過求導判斷g(x),h(x)的單調性,進而得到其最值,如果能得到g(x)<0,h(x)>0在(0,1)上恒成立,則可證得不等式成立.

結合以上分析,針對導數極值點偏移問題,可將問題具體表述為:能否直接判斷m+n與2和e之間的大小關系?如果不能,你可以借助什么方法進行判斷?如何判斷兩個可以變化的函數值的大小?你能構造出新函數嗎?你可以在上述處理的基礎上對題目進行改述嗎?你能將新函數的值與0進行比較嗎[2]?

1.4 實行計劃

這一步驟中,學生需依據前面所擬定的計劃,對題目展開計算、證明,并對每一個步驟進行校核.

就極值點偏移問題而言,學生在實行上述計劃時所面臨的最大障礙往往存在于對新函數g(x),h(x)求導來判斷其最值,進而證明其與0之間關系的過程中,但其中運算量卻常參差不齊,本題恰巧可對其進行說明,具體如下:

令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

所以g(x)在(0,1)上單調遞增.

所以g(x)

即f(x)-f(2-x)<0,x∈(0,1).

將x=m代入可得f(n)=f(m)

因為n,2-m∈(1,e),f(x)在(1,e)上單調遞減,所以n>2-m,即n+m>2.

令h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1),

則h′(x)=f′(x)+f′(e-x)=-lnx-ln(e-x),

所以h′(x)在(0,1)上單調遞減.

因為當x→0+時,h′(x)→+∞,h′(1)=-ln(e-1)<0,所以存在唯一x0∈(0,1)使得h′(x0)=0.

當x∈(0,x0)時,h′(x)>0,h(x)在(0,x0)上單調遞增,當x∈(x0,1)時,h′(x)<0,h(x)在(x0,1)上單調遞減,因為當x→0+時,由洛必達法則知,

又f(x)在(1,e)上單調遞減,所以f(1)>f(e-1).即h(x)=f(1)-f(e-1)>0.所以h(x)=f(x)-f(e-x)>0對于所有x∈(0,1)恒成立.

同理可得f(n)=f(m)>f(e-m).

進而有n+m

結合以上分析,針對導數極值點偏移問題,可將問題具體表述為:按照你所擬定的計劃,你能否判斷新函數的值與0之間的關系?若不能,你要如何進行改進?在計算過程中,你的演算是否正確?

1.5 回顧

在這一步驟中,學生首先應校核所得的答案,其次要梳理、反思本題的解答思路與過程,最后嘗試在一種解法的基礎上延伸出多種不同解法并進行推廣,結合“怎樣解題表”,可從以下三個問題入手進行思考分析:你能校核論證嗎?你能用不同的方法得出結果嗎?你能應用這結果或方法到別的問題上嗎?

回顧本題的解答過程,當證明g(x)<0時,學生僅需對g(x)求一次導數且計算較易,而對于h(x)>0,學生不僅要求二次導數還需應用洛必達法則等超前知識,因此到這里大部分學生就會陷入迷茫,此時就需開辟新思路:前面所涉及的方法是在函數單調性的基礎上通過構造新函數實現的,那么學生可以思考,能否對已知條件進行進一步處理,進而構造更易于計算的新函數?作為雙變量不等式,可以想到將兩個變量與某一個相同變量之間建立聯系來減少變量個數,再關于該變量構建函數,而學生又至少有兩種不同的方法來減少變量,既可以嘗試通過換元處理得到新變量進而構造函數,也可以嘗試利用放縮法減少某一變量進而構造函數.事實上,上述兩種方法均可應用于此題,具體過程此處不再贅述.

結合上述分析,針對導數極值點偏移問題,可將問題具體表述為:你能核驗論證嗎?回顧這一解題過程,你能通過其它的方法論證這一結果嗎?如換元、放縮.你如何將該題的解題方法應用至其他題目?

2 解題表的應用

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

應用上述解題表,可得表1所示的解題思路[3].

表1 導數極值點問題的解題表設計在2022年高考數學全國甲卷第21題中的應用

3 結語

本文基于波利亞解題思想,以2021年新高考數學全國Ⅰ卷第22題為例,對導數極值點偏移問題的解題表設計進行了探究,旨在為學生梳理解答此類問題的思路,提高學生的解題能力.而探究式的解題表設計則可以鍛煉學生的逆向思維、發散思維以及創新思維,同時分析法的充分運用也可以鍛煉學生自主思考的能力,這充分貼合波利亞所強調的“中學數學教育的根本目的是‘教會學生思考’”這一觀點,也符合新課標中對中學生四基四能的要求.