探究離心率問題的幾何解法

梁啟浩

(江蘇省鹽城中學(xué),江蘇 鹽城 224008)

1 利用平量向量隱含的幾何關(guān)系求離心率

圖1 例1解析圖

結(jié)合漸近線的對稱性得x軸平分∠NOP.

所以|ON|=|OP|.

所以ΔNOP是正三角形.

平方,得a2=3b2.

所以a2=3(a2-c2).

評注一般遇到平面向量我們都會考慮其大小和方向,而忽略其幾何意義.新教材非常重視用平面向量研究幾何問題,只有足夠重視平面向量的幾何功能,才能自覺形成數(shù)形結(jié)合思想,進(jìn)而形成解題技巧,學(xué)生的發(fā)散思維才能得到培養(yǎng).

2 利用三角形相似求離心率

分析已知“以線段AF為直徑的圓過點B”意味著∠ABF=90°,我們?nèi)菀着袛唳AB∽ΔOBF.利用此幾何關(guān)系,可以得到關(guān)于a,b,c的代數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而求出離心率e.

解析如圖2,設(shè)直線l與漸近線交于點E,因為以線段AF為直徑的圓過點B,所以AB⊥BF.

圖2 例2解析圖

于是AB∥OE.

因此tan∠BAO=tan∠EOF.

所以|OB|=b.

因為∠BAO=∠EOF,∠ABO=∠AFB,

所以ΔOAB∽ΔOBF.

所以O(shè)B2=OA·OF.

即b2=ac.

于是c2-a2=ac.

所以e2-e-1=0.

圖3 例3解析圖

那么∠ONF2=∠F1PF2=90°.

因為|OF2|=c,|NF2|=b,

所以|ON|=a.

由三角形相似知|PF1|=2a,|PF2|=2b.

由雙曲線的定義知|PF2|-|PF1|=2a.

所以|PF2|=4a.

所以2b=4a.

分析如圖4,本題中線條較多,讓人眼花繚亂.但是也有了較多的三角形,我們可以去尋找與a,c相關(guān)的相似三角形,以便找到離心率的橋梁.不難發(fā)現(xiàn)|AF|=a-c,|BF|=a+c,于是瞅準(zhǔn)△AFM和△AOE,△BFM和△BON,利用相似性三角形,可以順利推進(jìn)解答[2].

圖4 例4解析圖

解析由已知得△AFM∽△AOE.

同理,△BFM∽△BON.

整理,得a=3c.

解析如圖5,設(shè)點P關(guān)于y軸的對稱點為P′,結(jié)合前文得P′(-a,b).

圖5 例5解析圖

同時,PP′∥OF1.

所以ΔQPP′∽ΔQOF1.

于是|PQ|∶|QF1|=|PP′|∶|OF1|.

因為|PQ|∶|QF1|=3∶2,

所以|PP′|∶|OF1|=2a∶c=3∶2,

評注圓錐曲線中的相似關(guān)系往往比較隱蔽,需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn),去挖掘,去利用.由直線間的垂直、平行關(guān)系表現(xiàn)出來的直線斜率關(guān)系(代數(shù)式)已經(jīng)被學(xué)生熟知,甚至先入為主,遮蔽了強(qiáng)大的幾何功能.解析幾何的本質(zhì)是幾何,能夠?qū)⒔馕鰩缀螁栴}的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何位置關(guān)系,通常會大大降低運算量,使解題顯得簡潔明了.當(dāng)然,這種轉(zhuǎn)化還是很不容易的,以上幾例如果用純代數(shù)的方法計算,都比較繁雜,甚至可能找不到出口.因此,我們要主動往幾何方向去思考,利用解析幾何的幾何本質(zhì)屬性,簡化運算[3].

3 利用三角函數(shù)隱含的幾何關(guān)系求離心率

分析例2中∠BFO,∠BFx的正切值均與a,b,c有直接或間接關(guān)系.在圖2中,由于∠BFO+∠BFx=π,利用其互補(bǔ)關(guān)系,借助誘導(dǎo)公式,可以建立代數(shù)等式,我們也可以快速求解,此所謂“條條道路通羅馬”.

另解例2 由上面解法知|OB|=b.

因為∠BFO+∠BFx=π,

所以tan∠BFO=-tan∠BFx.

因此tan∠BFO=-kBF.

以下同例2.

評注一些題目中的幾何關(guān)系往往不止一種,我們只有在比較中才能發(fā)現(xiàn)最簡潔的辦法,思維不僅需從代數(shù)中跳出來,還要在幾何領(lǐng)域中多角度、多方位去思考,方可讓解析幾何的幾何屬性充分暴露,為我所用.

4 利用切線關(guān)系求離心率

分析本題的已知元素比較豐富,直線、圓、橢圓都有了.位置關(guān)系比較復(fù)雜,直線和圓相切,圓和橢圓相切.橢圓、圓、圓的切線等知識融合在一個比較復(fù)雜的圖形中,單純從代數(shù)角度運算,問題不易解決.恰當(dāng)利用切線性質(zhì)構(gòu)造一個正方形,再利用正方形中的數(shù)量關(guān)系以及橢圓和圓位置關(guān)系帶來的數(shù)量關(guān)系,使問題暴露無遺,解法也簡潔易行.

解析如圖6所示,設(shè)切點為E,F,連接OE,OF,由平面幾何知識可知|PE|=|PF|,OE⊥PE,OF⊥PF.

圖6 例6解析圖

所以四邊形OEPF是邊長為a的正方形.

評注本例充分顯示了幾何法求離心率的優(yōu)越性.只要能發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系,恰當(dāng)應(yīng)用幾何關(guān)系,問題就會迎刃而解.

通過以上幾例,我們都可以發(fā)現(xiàn)幾何法求解離心率要比代數(shù)法簡捷[4].我們應(yīng)扭轉(zhuǎn)思維,避免凡是解析幾何問題都要硬算到底.幾何法不僅可以簡化運算,還可以提高準(zhǔn)確率,同時可以開發(fā)學(xué)生的思維,鍛煉學(xué)生一題多解,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,自覺探尋問題的本質(zhì),達(dá)到提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.