一道三角函數與導數結合的試題解法初探

許順龍

(福建省漳州市臺商投資區角美中學,福建 漳州 363107)

1 試題分析

本題是一道導數與三角函數、指數函數結合的綜合性問題,第(1)問是利用導數方法證明不等式恒成立,考查在三角函數背景下運用導數判斷函數的單調性、求函數的最值、零點存在定理等知識;第(2)問是以三角函數和指數函數交匯作為研究的主體,打破了常規,考慮直接用數形結合方法很難解答出來,進而嘗試求導,由于求導會出現含三角函數的表達式,使用常規方法處理后續問題變得困難.本題主要考查學生對函數的隱零點的掌握以及根據切線放縮、端點效應等方式來解決問題的能力;對學生的抽象概括、推理論證、運算求解等核心素養能力要求較高;考查函數與方程、化歸與轉化、分類與整合、數形結合等數學思想;體現綜合性、應用性與創新性.

2 試題解析

所以f′(x)>0,此時f(x)單調遞增.

又由(1)知,對于唯一零點x0[2],g′(x0)=0,且當x00,g(x)單調遞增,當0

孟導聽說這些值錢，心情好了不少。老賈則在一旁補充說新疆紅錢之所以叫紅錢，是因為鑄錢的材料是新疆自產的紅銅。如果紅錢背書滿文，則價值一般不低。除此之外，‘乾隆通寶’也有背書漢文的，因為數量相對較少，所以價格也會相對高些。

即f′(x0)≤2.

(ⅱ)當x>0時,

解法3 (1)同解法1、或解法2.

(ⅱ)當x>0時,

令f1(x)=ex-x-1,則f1′(x)=ex-1.

當x<0時,f1′(x)<0,f1(x)單調遞減;

所以f1(x)≥f1(0)=0.

故ex≥x+1.

解法4 (1)同解法1、或解法2.

3 教學思考

3.1 導數與三角函數結合試題的解題策略

近幾年的高考數學試題與質檢考試題中,導數與三角函數相結合的試題逐漸成為趨勢,由于三角函數的特殊性質(周期性、有界性、放縮法等),解題時不宜盲目求導,而是采取構造函數、分類討論等方法,最終找出解題有用的特征,再聯系三角恒等變換,并結合其他基本初等函數的性質分析討論,這對培養學生的數學綜合能力起到不可估量的作用[4].

3.2 新高考背景下的課堂教學思考

通過這樣的好題,我們可以看出新高考對于學生的考查不僅僅局限于知識與技能,而是全面考查學生的數學核心素養和關鍵能力.試卷題目類型靈活,導數融入三角函數,拓展了高考命題的范圍.這就需要教師突破各種局限,大膽迎接各種挑戰,突破傳統的導數題的框架,勇于創新,教會學生以“不變的”知識與技能去應對“萬變的”數學試題,培養學生未來發展所必備的數學核心素養,適應國家新高考選拔新型人才的要求.