一題多解“細(xì)”探究 巧構(gòu)函數(shù)“覓”思路
——一道以函數(shù)為背景的不等式恒成立問題的多解法探究

李春林

(甘肅省天水市第九中學(xué),甘肅 天水 741020)

以函數(shù)為背景的不等式證明或不等式恒成立問題,是高考的常考題型,尤其是近幾年來,此類題目常常作為壓軸題目出現(xiàn)在高考試卷中,這類問題具有極強(qiáng)的綜合性和技巧性, 充分考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),突出理性思維,彰顯選拔功能,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].在解決這類問題的過程中,欲證不等式f(x)>g(x),常需要構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、判斷單調(diào)性、求最值等.學(xué)生解題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù).本文以一道湖北名校聯(lián)盟2023屆高三5月適應(yīng)性大聯(lián)考第21題為例,歸納整理幾種構(gòu)造函數(shù)解證不等式的策略,以期拋磚引玉,與大家共同探討.

1 試題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)f(x)=2ex-2,g(x)=x·lnx,證明:x>1時(shí),f(x)>g(x).

2 試題分析

3 多解探究

視角1直接作差構(gòu)造函數(shù).

分析令h(x)=f(x)-g(x)(x>1),將問題轉(zhuǎn)化為證明:x>1時(shí),h(x)>0恒成立.

解法1令h(x)=f(x)-g(x) (x>1),

即h(x)=2ex-2-xlnx.

則h′(x)=2ex-2-1-xlnx.

令u(x)=h′(x)=2ex-2-1-lnx,

所以u(píng)′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

又u′(1)<0,u′(2)>0,

所以?x0∈(1,2),u′(x0)=0.

所以x∈(1,x0)時(shí),u′(x)<0,u(x)單調(diào)遞減,x∈(x0,+∞)時(shí),u′(x)>0,u(x)單調(diào)遞增.

所以u(píng)(x0)=h′(x0)<0.

而u(2)=h′(2)>0,

所以?x1∈(x0,2),u(x1)=h′(x1)=0.

即2ex1-2-1-lnx1=0.

故當(dāng)x∈(x0,x1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

所以h(x)≥h(x1)=2ex1-2-x1lnx1=1+lnx1-x1lnx1.

因?yàn)閤1∈(x0,2),x0∈(1,2),

所以x1∈(1,2).

令V(x)=1+lnx-xlnx,x∈(1,2),

則h(x)≥V(x).

故V′(x)

所以V(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減.

所以V(x)>V(2)=1+ln2-2ln2=1-ln2>0.

所以h(x)≥V(x)>0.

所以h(x)>0 .

即x>1時(shí),f(x)>g(x) 得證.

點(diǎn)評(píng)通過直接作差構(gòu)造函數(shù)h(x),將不等式問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題,通過研究h(x)的單調(diào)性、極值、最值等將問題加以解決.

視角2適當(dāng)變形,再作差構(gòu)造函數(shù).

分析解法1雖然思路簡單,但過程繁雜,繼續(xù)探究后發(fā)現(xiàn):

令u(x)=2ex-2·(x-1)-x,

所以u(píng)′(x)=2x·ex-2-1.

所以u(píng)′(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.

所以?x0∈(1,2),u′(x0)=0.

故當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),u′(x)<0,u(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),u′(x)>0,u(x)單調(diào)遞增.

又u(1)=-1<0,u(2)=0,

所以當(dāng)x∈(1,2)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

所以h(x)≥h(2)=1-ln2>0.

所以h(x)>0 .

即x>1時(shí),f(x)>g(x)得證.

視角3直接作商構(gòu)造函數(shù).

令u(x)=xlnx-lnx-1(x>1),則

所以u(píng)(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.

因?yàn)閡(2)=ln2-1<0,u(e)=e-2>0,

所以?x0∈(2,e),使得u(x0)=0.

即x0lnx0-lnx0-1=0.

所以x0lnx0=1+lnx0.

當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),u(x)<0,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),u(x)>0,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

所以V(x)在(2,e)內(nèi)單調(diào)遞增.

即 2ex-2>xlnx.

所以x>1時(shí),f(x)>g(x) 得證.

視角4拆分不等式,構(gòu)造雙函數(shù).

因?yàn)閔(x)min>u(x)max,

所以h(x)>u(x)恒成立.

所以x>1時(shí),f(x)>g(x)得證.

視角5 先放縮不等式,再構(gòu)造函數(shù).

解法5 先證明ex≥x+1.

令h(x)=ex-x-1,則h′(x)=ex-1.

所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(x)≥h(0)=0.

所以ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),取等號(hào)).

令h′(x)=0,得x=2.

顯然h(x)min=h(2)=1-ln2>0.

所以x>1時(shí),f(x)>g(x)得證.

所以xlnx≤x·ex-2>x·lnx.

所以x>1時(shí)f(x)>g(x)恒成立,得證.

4 解后反思

問題是數(shù)學(xué)的心臟,一道好的試題,能夠激發(fā)解題人的靈感,促使解題人展開想象,多角度審視,全方位思考,細(xì)致分析判斷,從中挖掘問題的本質(zhì),從而探究出不同的解題思路與方法[2].縱觀上述解法,雖然角度不同,方法各異,但解決問題的基本思路是相同的.即:①構(gòu)造函數(shù);②研究函數(shù)的性質(zhì);③運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決不等式問題.而構(gòu)造什么樣的函數(shù)顯然是解題的關(guān)鍵一環(huán),這就要求我們?cè)诮忸}過程中,善于抓住題目特征,深入分析問題,找到已知與待求間的紐帶.多視角、多方式變化思維形式,進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化,將問題用另一種更為清晰的命題形式呈現(xiàn)出來.同時(shí)還要注意立足教材,夯實(shí)基礎(chǔ),學(xué)會(huì)總結(jié)歸納,分析解題思路,積累解題經(jīng)驗(yàn),抓住通性通法,讓一題多解成為數(shù)學(xué)解題的常態(tài)[3].