淺談數學教學中學生逆向思維能力的培養

摘 要：當下教育改革如火如荼，課堂教學不再以灌輸知識為主，而是以學生為主體，培養學生的創新思維和創新學習方法成為現在課堂教學中教師的重要教學目標。思維素質的優劣直接決定學生的學習能力和學習水平，也關系到教師的課堂教學水平的順利進行，關系到教師教學目標的達成，思維素質對學生分析問題、解決問題的能力有著根本性的影響，那么，初中數學教學中對學生逆向思維能力的培養，對拓寬學生的解題的技巧、解題思路、提高解題速度、提高學生分析問題和解決問題的能力、提高學生學習數學的熱情是相當重要的。

關鍵詞：數學教學;逆向思維;思維能力

一、初中數學教學中學生思維能力培養的缺陷

習慣性思維我們可以稱之為順向思維，也就是常規思維，而逆向思維，就是常規思維的反向性思維，從逆向的角度去認識數學、思考數學問題，思考數學問題時從非常規角度入手，尋得解決問題的方法。在日常生活和學習中，逆向的思維方式很多時候會改變固有思維造成的瓶頸或困境，獲得良好創造效果，在生活、生產、學習中閃射出智慧之光。

但是，在初中數學教學中卻發現，教師往往注重給學生講解如何解題，而忽視為什么要這樣解題的思維方法，使得學生習慣于從正面應用數學公式與法則，解題過程中不善于舉一反三地逆向思考問題和逆向運算公式與法則，形成了固有的思維定式，久而久之，學生的解題思路狹窄、思維僵化，對數學學習產生畏懼，甚至對數學失去興趣，而這些也正成為教師激起學生思維、培養學生創新思維能力的障礙。那么，如何充分利用初中數學教材，對學生的思維進行刺激引發，培養他們在解題過程中逆向思維，逐步培養他們在數學運算和解題中的逆向思維能力，這正是我們數學教師要達成的一個很重要教學目標。

二、培養學生逆向思維能力的實踐

1.反問設問破除學生思維定式

數學日常課堂教學中，教師不能僅僅習慣于關注學生對習題的理解，作太多的、正面的講解，注重于學生對運算方法和技巧的掌握，在課堂上，教師更應該要有意識地誘導和訓練學生的反向思維。課前，教師要精心預設課堂上問題的反向設問，追著問題層層深入思考，正向、反向多樣設問，以刺激學生僵化的思維，激活學生沉睡的思維狀態，破除學生的思維定式，因此，課堂提問的反問、設問是打破學生思維定式的“敲門磚”，培養學生的逆向思維意識。

例如：在教授同底數冪的運算法則時，在其正向運算熟練后，可提這樣一個問題：2100的末位數字是幾？學生剛看到這問題時會無從下手，這時老師就可啟發學生逆用“冪的乘方法則”：指數100是否可寫成兩個數的積呢？聯想到個位是6的正整數次冪的末位數字是6，這樣學生自然能想到2100=24×25=（24）25=1625，顯然得2100的末位數字為6。再提出3200的末位數字是幾？由上題題學生就很容易得到3200=34×50=（34）50=8150，考慮到個位是1的正整數的任何次冪的末位數字為1，易得3200的末位數字為1。

像這樣可逆向思維進行思考的問題，在初中教材中無處不在，教師如果有意識地去抓住，及時加以處理，就可促進學生思維向多向發散，無疑對其逆向思維的培養將有積極的作用。

2.在概念教學中引導學生逆向思考

概念教學歷來是數學教學的一個重要環節，也是學生理解和運用起來感到困難的一個環節，學生對概念不理解或理解得不透徹，解題時就會沒有方向。因此，在教學概念時，教師首先要在課前精心預設概念中的問題，然后巧妙引導學生的思維反過來思考問題，這樣從正、反兩方面去理解概念，學生就容易領會概念的內涵，解題就會輕松自如。

例如：我在教學一次函數時，應強調一次函數y=kx+b中k≠0，x的最高次數為1。我在概念教學后又給出這樣的問題：a為何值時，y=（a-1）x|a|+2是一次函數？引導學生逆向思考，學生很容易得到|a|=1且a-1≠0，從而求得a=-1。

從這可以看出，通過對概念的逆向思維訓練幫助學生加深對概念的理解，揭示概念蘊含的本質。

3.逆向理解公式法則激發學生思考興趣

在數學教學中，有的數字問題按照常規的正面求解時會很困難，解題思路淤塞，猶如配錯了鑰匙，怎么也打不開鎖。這時，如果引導學生從反向思考問題，逆向理解數學公式法則的含義，從數學公式、法則含義的反面去思考，這時學生的思維會豁然開朗，很快就找到解決數學問題的方法，得以順利解題。

在對數學公式和法則的逆向理解時，我引導學生從原定理到逆定理，公式從左到右及從右到左的置換，這樣的方式正是由正向思維轉到逆向思維的表現。在初中數學教材中有很多內容都是加強對學生逆向思維的訓練，比如勾股定理與勾股定理逆定理、平行線的性質定理與判定定理等等。

例1.計算（■-2■）2（■+2■）2

此題用逆向思維，先用平方差公式計算，再用完全平方，解題就簡單多了：

解：原式=[（■-2■）（■+2■）]2

=[（■）2-（2■）2]2

=（13-12）2

=1

例2.計算（2x+3y-4z）2-（2x-3y+4z）2

此題很多同學都習慣先算平方再算減法，當然，我們逆用公式，解題就簡單多了。

解：原式=[（2x+3y-4z）+（2x-3y+4z）][（2x+3y-4z）-（2x-3y+4z）]

=4x（6y-8z）

=24y-32z

在日常教學中，我多次用逆向反思維訓練學生解題，久而久之，學生在逆用公式法則解題時嘗到了甜頭，激起了他們對數學逆向思維的興趣，減輕了學生對數學學習的畏難情緒。需要注意的是，教師在培養學生逆向思維的能力的時候，可經常引導學生這樣考慮：這個逆命題是否成立，如果成立的話逆定理如何應用，公式如何逆用等，以此啟發學生思維的靈活性，達到預期的教學目的。

4.加強基本教學方法促進學生逆向思維

教給學生基本的數學學習方法是數學教學的重要任務之一。數學學習方法中有幾個常用的重要方法：分析法、反證法、待定系數法，這些重要的基本學習方法是培養和訓練學生逆向思維的主要方法。

分析法，我們通常稱為“執果索因型逆向思維”。分析法在平面幾何證明中出現比較多，養成學生在分析問題中確立“要證什么，需證什么”的思維方向，先從命題的結論入手，看看能推演出什么結果，把問題轉化，這樣一步一步地逆向推演上去，達到推出原命題的條件，充分提示分析過程中的每一步驟的動機。

例3.已知，如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，AB=AC

求證：AE=AD

分析法：先用分析法來分析此題。

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用分析法解幾何證明時，分析法在幾何證明的初始階段特別重要。教師在教授時應注意要求學生從證明的問題出發，逆向思維，一步步去找需要證明的問題，從而將問題轉化。

（1）待定系數法

在教學中，對學生講清解題方法的同時，引導學生的思維朝逆反方向進行，使學生突破自己的固有思維，促進學生逆向思維的形成。例如，分解因式x3+2x2+5x-8，采用下逆向思維進行，我們明確知道x=1是方程x3+2x2+5x-8=0的一個根，方程就可寫成（x-1）（x2+ax+8）=0，因此就有x3+2x2+5x-8=（x-1）（x2+ax+8），考慮到（x-1）（x2-ax+8）=x3+（a-1）x2+（8-a）x+8，從而有a-1=2，解得a=3，故分解因式得x3+2x2+5x-8=（x-1）（x2+3x+8）。

（2）反證法

它是數學解題中的重要方法之一，顧名思義，反證法的思維特點就是從反面去證明你的解題觀點，因此在數學中有著廣泛的應用，比如，以下這個用反證法證明的習題。

例4.證明：在三角形中，至少有一個內角大于或等于60°。

這道題如果根據題意，常規地從正面去直接證明很難找到切入點，因為“至少有一個”比較模糊，要證明是比較困難的，但是如果我們用反證法入手，假設這個結論不成立，則三個內角都小于60°成立。從而易得三角形內角和小于180°而產生矛盾。

日常教學中，通過這些數學基本方法的訓練，學生解題時就能知道，當運用一種方法解不出題來時就要轉變思維方向，放棄正面思考，而是從反面來思考問題，從而提高學生的逆向思維能力。

5.加強訓練形成逆向思維能力

逆向思維的形成不是一蹴而就的，是在長期的訓練中逐步形成思維意識和思維慣性，沖破學生固有的思維定式，在不斷的訓練中養成逆向思維習慣，我通過課時訓練、堂堂練來加強學生的逆向思維形成，在教學中潤物細無聲地培養學生的逆向思維能力。

例5.（2009年甘肅定西）若a=■，b=■，試不用將分數化小數的方法比較a、b的大小.

分析：此題順著考慮比較繁瑣，而且題目要求不將分數化為小數。換一個角度考慮，就容易多。a=1-■，b=1-■，學生很快就能比較得出alt;b。

例6.已知（x：2-x+1）5=a12x12+a11x11+…+a2x2+a2x+a0，則

a12+a11+…+a1+a0=

若將等式左邊多項式乘法展開，計算量很大，學生不易得到答案。但通過觀察，逆向考慮等式右邊的特征，要求的值就是當x=1時代數式的值。學生很快能得到答案1。

由例5、例6可見，在數學解題中逆向思維的功力有多大的威力了。

以上這兩個例題，抓住“順難逆易”的鮮明對比，強化逆向思維的訓練，對提高學生思維的靈活性和解題技能，培養他們在數學學習中分析問題的能力，達到提高正確解題的良好效果。

綜上所述，我在初中數學教學中，充分發揮逆向思維的優點，注重培養學生的逆向思維意識，日常教學中充分重視加強初中學生的逆向思維能力的訓練，培養學生思維的靈活性、廣闊性和深刻性，有利于克服學生由定向思維形成的固有思維定式，培養學生善于在不同條件下發揮創造性思維，進一步培養學生的思維素質，為他們的終身學習打下良好的基礎。

參考文獻：

彭聲銘.數學教學中的思維訓練[J].江西教育，1980（3）.

編輯 溫雪蓮