圖論中“弧、圈、鍵”空間結合物理背景的教學設計

侯勝哲

（吉林化工學院，吉林吉林 132022）

一、基爾霍夫電路相關教學背景及基本定義

基爾霍夫電路定律[1]包括電流定律KCL和電壓定律KVL。電路中支路、頂點、回路可以抽象成數學圖論中的弧，頂點，有向圈（旋轉方向不一定一致）。D=(V(D),A(D))是一個有向圖，V(D)是頂點集，A(D)是弧集。若H是G的邊導出子圖，GH表示G刪除H中的邊，樹枝是指生成樹T的弧，連枝為余樹Tˉ=GT上的弧。

如果X,Y?A(D)，[X,Y]表示D的一個子集，且里面弧的端點一個在X中，另一個在Y中。當Xˉ=VX，則稱S=[X,Y]為D的邊割集。如果一個割集的任意真子集都不是割集，則該割集是極小的，稱為鍵。

某一條支路aj的由專業人員實際測得的電流數值記為l°(aj)，如果該支路正電荷定向流動的方向與此支路aj上規定的參考方向相同，則令l(aj) =l°(aj);反之，則令l(aj) = -l°(aj)。l(aj)即為支路aj上的支路電 流 。記 支 路 電 流 向 量 為I=I(D) =。

記一條支路aj的電流相對一個點的電流，即節點電 流l(aj→vi) = sgn1(aj→vi) ?l(aj)，其 中，j∈{1,…,|A(D)|},i∈{1,…,|V(D)|}。

如此便準確地定義了“實際電流”“圖中參考方向的支路電流”“節點電流”。于是可以得到用數學符號語言表示的基爾霍夫電流定理：。

利用由專業人員實際測得出所有頂點的實際電勢值φ°(vi)，任意選定一個頂點v1規定其電勢為φ(v1) = 0，計 算 其 他 點 相 對 電 勢φ(vi) =φ°(vi) -φ°(v1)。定義vi到vk的電壓為u°(aj) =φ°(vi) -φ°(vk)，記，人為規定有向無環圖D中電壓的參考方向，一般電路圖中用+極到-極表示（電源則相反），本文圖1 恰也表示該電路電壓的參考方向。如果a′j的方向與此支路aj上規定的參考方向相同，則令u(aj) =u°(aj)；如果a′j的方向與此支路aj上規定的參考方向相反，則令u(aj) = -u°(aj)。u(aj)即為支路aj上的支路電壓。記支路電壓向量為U=U(D) =。

圖1 D1表示電流（壓）方向

?aj∈W，?ay∈W，sgn2(aj→ay) =，j,y∈{1,…,|Arc(D)|}，定義弧上aj相對于ay的電壓為u(aj→ay) = sgn2(aj→ay) ?u(aj)。

如此便較為準確地定義了 “相對電勢”“兩點之間的電壓”“支路電壓”，于是可以得到用數學符號語言表示的基爾霍夫電壓定理：。

vi的結點電壓為

二、有向圖的關聯矩陣、基本圈矩陣、基本鍵矩陣定義

有向簡單圖D的關聯矩陣M=M(D) =(mij)是一個|V(D)|×|A(D)|矩陣，其中mij= 1，當弧aj離開點vi；mij= -1，當弧aj進入點vi；mij= 0，當弧aj與點vi不關聯。如圖1的鄰接為

三、基爾霍夫定理與關聯、基本圈、割集的關系

定理1：KCL方程用關聯矩陣表示為。

證明：由KCL方程∑l( )aj→vi= 0，其 中l(aj→vi) = sgn1(aj→vi) ?l(aj)，再由關聯矩陣的定義知，關聯矩陣M的每行乘以I就是該行對應的結點滿足KCL方程，其中符號的對應關系為“mij= 1，當弧aj離開點vi”對應“符號函數sgn1(aj→vi) = 1，當aj上的電流離開vi結點”；“mij= -1，當弧aj進入點vi”對應“符號函數sgn1(aj→vi) = -1，當aj上的電流進入vi結點”。

例1：若支路電流為I(D1)=(2 7 9 4 3 6)?，可以驗證M(D1)·I(D1)=(0 0 0 0)?。

定理2：KVL方程用圈矩陣表示為。

證 明：由KVL方 程，其 中u(aj→ay) = sgn2(aj→ay) ?u(aj)，再由基本圈矩陣C=C(D) =(cyj)的定義知，由基本圈矩陣C的每行乘以U就是該行對應的圈上的支路電壓KVL方程。其中符號的對應關系為“其中cyj= 1，當弧aj在圈Wy中且弧aj與連枝ay在Wy中旋轉方向一致”對應“符號函數sgn2(aj→ay) = 1，當aj與ay同向；“當弧aj在圈Wy中且弧aj與連枝ay在圈Wy中旋轉方向相反”對應“符號函數sgn2(aj→ay) = -1，當aj與ay反向”。

例3：由例1數據知，

定理5：KCL方程的用鍵矩陣表示為。

證明：實際上每一個鍵是把該樹枝的一個端點與其他點分開（當兩個端點都具備時選定一個），相當于在該點滿足KCL方程。

例4：由例1數據可以驗證

例6：由例2數據知

四、“弧、圈、鍵”空間

上面幾節我們實際上定義了基本圈向量，基本鍵向量，由此可以得到基本圈和基本鍵，利用對稱差就可以生成圈空間和鍵空間。