培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的評題命題誤區(qū)與應(yīng)對策略

廣東省清遠市陽山縣南陽中學(xué)(513100) 余偉彬

筆者在聽取相關(guān)的報告，研究相關(guān)問題及教學(xué)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一些教師在培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力時的評題命題誤區(qū),并思考出了一些應(yīng)對策略.

1 誤區(qū)一: 評題盲目追求一題多解、一題巧解

為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,有些老師在選題時會選取一些一題多解的題目去訓(xùn)練學(xué)生.但是并不是所有一題多解的題目都適合.這是一道關(guān)于解三角形問題的第一小問: 在?ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=,求角A的大小.

老師在評講時,講了三種解法.解法一: 用正余弦定理和三角函數(shù)的值域求解;解法二: 用均值不等式和琴生不等式夾逼求解;解法三: 用外森比克不等式巧解.老師在評講時神采飛揚,學(xué)生卻一臉迷茫.為什么會出現(xiàn)這種狀況呢? 究其原因是本題只有解法一是符合學(xué)生能力認(rèn)知的,解法二雖有學(xué)生學(xué)過的均值不等式,但還要結(jié)合琴生不等式求解,如果為解答本題,當(dāng)堂學(xué)習(xí)琴生不等式,也不知何時才能再次使用.解法三是巧解,但需要學(xué)生記住外森比克不等式并分析使用.所以此題在評講過程中,無需一題多解、巧解,專注講透解法一即可.

常用的、合理的、符合學(xué)生認(rèn)知的一題多解有利于提高學(xué)生的運算能力,但冷門的、刁鉆的、過多運用大學(xué)或非課標(biāo)知識進行的一題多解大可不必.老師在講評題目時,過多引入不常用的二級結(jié)論,不但不能使學(xué)生的解題能力得到提升,反而會讓學(xué)生無所適從,陷入誤區(qū).導(dǎo)致學(xué)生每次解題時不愿意從常規(guī)方法入手,錯誤認(rèn)為常規(guī)方法步驟多、運算量大,不及“秒殺”方法一步到位.實際上很多二級結(jié)論的推導(dǎo)及記憶會增加學(xué)生的學(xué)業(yè)負擔(dān),不符合國家“雙減”政策,而且因為其不常用而逐漸遺忘,只在評題時靈光乍現(xiàn),給學(xué)生錯誤的教學(xué)導(dǎo)向,得不償失.

應(yīng)對策略: 注重通性通法、變式訓(xùn)練教學(xué),發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

注重通性通法是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力的重要途徑.例如人教A 版(2019)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第92 頁的例2: 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1 的切線l,求切線l的方程.

教材中提供了兩種解法,解法一: 幾何法——利用“相切即圓心到切線的距離等于半徑”求解;解法二: 代數(shù)法——利用“相切即直線與圓所成的方程組只有一組解”求解.此題引導(dǎo)學(xué)生分別從幾何角度、代數(shù)角度去分析問題,解決問題,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.一題多解從來不是生搬硬套,而應(yīng)該是自然而然的,哪怕是突發(fā)奇想有個巧解,也應(yīng)是使用通性通法基礎(chǔ)上的錦上添花,而不是死記硬背的結(jié)果.

除了一題多解的訓(xùn)練,我們還可以通過變式訓(xùn)練對學(xué)生進行數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).可以是“改變問法”,也可以是“改變條件”,還可以是“結(jié)構(gòu)不良”.若題型比較有代表性,可考慮采取“一題一課”的教學(xué)設(shè)計.章建躍主編也曾在其講座中多次呼吁高中教師要用好新教材,吃透新教材,挖掘新教材的內(nèi)涵.因此我們在備課時也應(yīng)該依標(biāo)靠本,創(chuàng)造有自己想法的、有較強目的性的變式訓(xùn)練.

老師評講題目時如何引導(dǎo)學(xué)生,對學(xué)生解題的思想方法是很大影響的.因此老師在備習(xí)題講評課時同樣要準(zhǔn)備充足,借此縷清學(xué)生的運算思維,加強學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力.

2 誤區(qū)二: 命題選取無意義的繁雜數(shù)據(jù),增加不必要的計算

一些教師在命題改編時故意選取繁雜、無意義的數(shù)據(jù),致使學(xué)生把大量精力放在了計算上,反而忽略了題目的內(nèi)涵.例如: 給定一個直角三角形的兩條直角邊長度能夠使用3 和4 的,為了增加難度偏要使用這兩組數(shù)據(jù)在計算機編程中只是賦值不同,并沒有太大區(qū)別.這樣簡單粗暴的改編題只會苦了學(xué)生,毫無必要.在命題培訓(xùn)時,彭海燕教研員也建議命題時數(shù)據(jù)形式盡量美觀和諧一點.

隨著國家“雙減”政策的出臺,教育部文件明確要求減少機械刷題,能熟練掌握同種類型題的算理算法即可,沒必要大量重復(fù)刷不同數(shù)據(jù)的同類題型.想要避免學(xué)生被動的機械刷題,就要求老師在命題時、評講時要注重數(shù)學(xué)運算的算理算法引導(dǎo),不能只教學(xué)生解一道題,應(yīng)該教學(xué)生解一類題.我認(rèn)為“復(fù)雜的計算”應(yīng)該是各種公式和算理算法的組合技,而不是繁雜數(shù)據(jù)的堆砌.我們教學(xué)時應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生在未來的生活、學(xué)習(xí)和工作中所必須具備、不可或缺的知識、能力和素養(yǎng).這就要求我們教師要在選題命題時下苦功夫,減少學(xué)生的學(xué)業(yè)負擔(dān),提高學(xué)習(xí)效率,讓學(xué)生用更少的時間和精力提高數(shù)學(xué)運算能力.

應(yīng)對策略: 選取數(shù)據(jù)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)簡潔美,注重數(shù)學(xué)運算教學(xué)中算理算法的引導(dǎo)

此題給的數(shù)據(jù)都是非常簡潔的,綜合考查了等差數(shù)列的通項公式、和與項的關(guān)系與累乘法.我們可以看出高考在考查學(xué)生的運算能力時重點不是數(shù)據(jù)的計算,而是算理算法的運用.因此,我們今后可注重大概念和重要原理方法的教學(xué),提升學(xué)生獨立思考、邏輯推理、綜合運用等關(guān)鍵能力,進而提高數(shù)學(xué)運算能力.

3 誤區(qū)三: 命題生硬地堆砌知識點,創(chuàng)設(shè)無效情境

教育部考試中心命題專家認(rèn)為,新高考數(shù)學(xué)卷一個突出的特點是:“綜合運用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力”.因此,教師在命題時都有意識地把多個運算類知識點放進同一題中,或者在情境中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.但在命題時也難免會出現(xiàn)生硬堆砌知識點,創(chuàng)設(shè)無效情境的情況.下面是一道涉及若干個數(shù)學(xué)運算知識點的問題: (a,b)是直線3x+4y-2=0 與2x+y+2=0 的交點坐標(biāo),|a+b|與|ab|是等差數(shù)列{an}前兩項,則以a4、a5為實軸長、虛軸長的雙曲線的離心率為____.

乍看本題,的確綜合考查了學(xué)生所學(xué)的直線、圓錐曲線、數(shù)列的有關(guān)知識,但細品之后便會發(fā)現(xiàn)這幾個知識點結(jié)合得比較膚淺,黏合度不夠,關(guān)聯(lián)性不大.

下面是一道與數(shù)列有關(guān)的情境問題:

三月份小明到工廠勞動實踐,制作玩具汽車.剛開始第一天只能制作3 輛,隨著他的制作技術(shù)逐漸熟練,從第二天開始,每天都比前一天多制作2 輛,一個月的勞動實踐結(jié)束了,他共制作了____輛玩具汽車.

教師命題目的很明確,就是想創(chuàng)設(shè)情境,并加入勞動教育去考查學(xué)生的運算能力.但高考評價體系中所謂的“情境”指的是真實的問題背景,是以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動場域.此題的問題背景不深,且沒能有效地引起學(xué)生情感共鳴,創(chuàng)設(shè)的情境是無效的.

應(yīng)對策略: 注重知識點有機結(jié)合,創(chuàng)設(shè)有效的情境

考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),就是要看學(xué)生能否運用數(shù)學(xué)思想與方法處理各種與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題,這就要求教師在命題時注重知識點的有機結(jié)合,創(chuàng)設(shè)有效的情境去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.這是一道復(fù)數(shù)、曲線結(jié)合的問題: 復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z-|,則z在復(fù)平面對應(yīng)的圖形是( )

A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線

本題利用復(fù)平面與平面直角坐標(biāo)系的重疊效果,把知識點進行融合,過渡非常自然.高中各知識點是在一個整體知識網(wǎng)絡(luò)里面的.知識內(nèi)容與知識內(nèi)容之間,模塊內(nèi)容與學(xué)科內(nèi)容之間也應(yīng)相互聯(lián)系.命制試題時,教師既要從學(xué)科內(nèi)容上融會貫通,又要在試題呈現(xiàn)形式上豐富多樣,從研究對象或事物的整體性、完整性入手,做到綜合、全面地考查學(xué)生素質(zhì).

情境創(chuàng)設(shè)是高考的一個趨勢,且要求越來越高.所以要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,也需要在情境中去培養(yǎng),這就要求我們老師命題時,要加入適當(dāng)?shù)那榫硠?chuàng)設(shè).例如2019 年高考全國3 卷理科數(shù)學(xué)第16 題:

學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D 打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D 打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為____g.

本題主要在情境中考查了立體幾何中的數(shù)學(xué)運算.根據(jù)題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差,進而再求出模型的質(zhì)量.從本題可以看出,這些情景源于我國社會主義建設(shè)的不同領(lǐng)域,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理和方法在解題中的價值和作用.對提高學(xué)生對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),對中學(xué)素質(zhì)教育也有很好的導(dǎo)向和促進作用.

隨著新一輪課程改革的深入開展,國家對教師的專業(yè)化發(fā)展也有了新的要求,命制試題與評講試題體現(xiàn)了教師對新課標(biāo)的理解與對高考方向的把握,這在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)中起到重要的作用.因此我們需要更深刻地讀懂新教材,理解新課標(biāo),把握高考方向,從而提升課堂教學(xué)質(zhì)量.