例析2023 屆佛山一模探討模擬題命制規律

廣東省佛山市教育局教學研究室(528000) 錢耀周

在歷年的高三備考過程中,除了常規的復習策略外,利用高考模擬試卷進行考試也是重要的復習手段.一套好的模擬試題,不僅要能夠反映出學生的復習狀態,還要能夠為后續的復習備考指明方向.那么如何命制一套高質量的模擬試題呢? 筆者長期參與佛山市模擬試題的命制與審核工作,所命制的試題在周邊地區具有一定的影響力.本文以2023 年佛山市普通高中教學質量檢測(一)(以下簡稱佛山一模)中的部分試題為例,談談試題的命制過程與思路.

1 充分利用試題情境,體現數學應用

在本套試卷中,命題團隊以佛山的一處地標建筑為背景,命制了一道數列相關試題,具體題目如下:

17.佛山新城文化中心是佛山地標性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素,與佛山世紀蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應.坊塔是文化中心的標志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊,總高度153.6 米.坊塔塔樓由底部4 個高度相同的方體組成塔基,支托上部5 個方體,交錯疊合成一個外形時尚的塔身結構.底部4 個方體高度均為33.6 米,中間第5 個方體也為33.6 米高,再往上2 個方體均為24 米高,最上面的兩個方體均為19.2 米高.

(1)請根據坊塔方體的高度數據,結合所學數列知識,寫出一個等差數列的通項公式,該數列以33.6 為首項,并使得24 和19.2 也是該數列的項;

(2) 佛山世紀蓮體育中心上層屋蓋外徑為310 米.根據你得到的等差數列,連續取用該數列前m(m∈N?)項的值作為方體的高度,在保持最小方體高度為19.2 米的情況下,采用新的堆疊規則,自下而上依次為2a1、3a2、4a3、…、(m+1)am((m+1)am表示高度為am的方體連續堆疊m+1層的總高度),請問新堆疊坊塔的高度是否超過310 米? 并說明理由.

本題的背景新穎,所選地標建筑具有很好的觀賞價值,能夠很好地提升佛山本土學生的文化自信.

其次,則是試題情境在解題中的應用.在多數情境類試題中,情境與試題較為割裂,去除情境都不影響解題.而本題的情境在解題過程中至關重要,其中部分信息還是通過圖形提供的.學生需要識別“坊塔塔樓”的結構來研究每一層的數量,為了降低難度,筆者提供了“示意圖”供同學們參考.

最后,則是設問的角度,本題放棄了求通項、求和等常規考查方式.以開放性的問法讓學生構建出一個“等差數列”.而該數列并不是完全開放,-2.4、-1.2,-4.8 都可以作為數列的公差,但不同的選擇則決定了后續解題的運算量.第(2)問是從設計的視角搭建一個新的“堆疊坊塔”,限于試題的難度,本題僅選擇塔高作為判斷的依據.若將該題進行拓展,還可從“美觀”的角度進行研究.

在試題的命制過程中,命題團隊也探討過數據的運算量問題.是否需要對數據進行“美化”,僅保留整數部分進行設問.例如,在原題干背景下,由某學生社團仿照該建筑制作了一個“坊塔”模型,該模型的數據就可以完全設計為整數.筆者認為,在平時的教學中,為了體現相關的解題思想,我們常常簡化數據的運算.但數據運算是現階段所倡導的數學六大學科核心素養之一,所以命題團隊認為有必要提升學生的運算能力.為此,團隊特意查詢了該建筑的真實數據,本題所采用的數據也均為真實數據.

本題充分地體現了數學的應用價值,考查了學生的直觀想象、數據運算、邏輯推理等核心素養.筆者認為,本題為情境類試題的設置提供了很好的范例.

除該試題外,本套試題還有兩道情境類試題,現展示如下:

9.中國共產黨第二十次全國代表大會的報告中,一組組數據折射出新時代十年的非凡成就,數字的背后是無數的付出,更是開啟新征程的希望.二十大首場新聞發布會指出近十年我國居民生活水平進一步提高,其中2017 年全國居民恩格爾系數為29.39%,這是歷史上中國恩格爾系數首次跌破30%.恩格爾系數是由德國統計學家恩斯特·恩格爾提出的,計算公式是“恩格爾系數=×100%”.恩格爾系數是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標,一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降.恩格爾系數達60%以上為貧困,50%～60%為溫飽,40%～50%為小康,30%～40%為富裕,低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農村與城鎮居民的恩格爾系數折線圖,由圖可知( ).

A.城鎮居民2015 年開始進入“最富裕”水平

B.農村居民恩格爾系數的平均數低于32%

C.城鎮居民恩格爾系數的第45 百分位數高于29%

D.全國居民恩格爾系數等于農村居民恩格爾系數和城鎮居民恩格爾系數的平均數

20.近幾年,隨著生活水平的提高,人們對水果的需求量也隨之增加,我市精品水果店大街小巷遍地開花,其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口,風味較好,廣受消費者的喜愛.在某水果店,某種獼猴桃整盒出售,每盒20 個.已知各盒含0,1個爛果的概率分別為0.8,0.2.

(1)顧客甲任取一盒,隨機檢查其中4 個獼猴桃,若當中沒有爛果,則買下這盒獼猴桃,否則不會購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率;

(2)顧客乙第1 周網購了一盒這種獼猴桃,若當中沒有爛果,則下一周繼續網購一盒;若當中有爛果,則隔一周再網購一盒;以此類推,求乙第5 周網購一盒獼猴桃的概率.

第9 題中的“恩格爾系數”是衡量居民生活水平高低的一項重要指標,在人教版教材必修一函數這一章節中,首次提出過該概念.但本題對概念還是進行了說明,降低了試題的難度,將問題轉化為閱讀信息,理解圖表統計量的相關信息.其次,本題還考查了處理數據的能力,例如百分位數的求解還需對圖中的數據進行重排,最后通過估算獲得.很好地考查了數據運算的核心素養.

第20 題的情境通俗易懂,考查的核心知識在于全概率公式、條件概率等.體現了新教材中新增知識在考試中的考查方式.而且設問方式符合客觀規律,體現了數學應用價值.其次,本題也可從商家的視角出發,根據爛果率決策備貨的數量,由此改編成一道決策類試題.

2 重視新、舊教材變化,突出新增內容

與舊教材相比,新教材有很大的變化.包括知識的順序,增減的知識點等等.除在上文中提到的全概率公式外,“投影向量”也是一個新的概念.

18.在銳角三角形?ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,為在方向上的投影向量,且滿足

(1)求cosC的值;

(2)若b=a=3ccosB,求?ABC的周長.

在舊教材中,我們只學習了“投影”的概念,“投影”是一個數量,其本質是為了構建向量的數量積.而投影向量是一個新的向量,體現了向量的運算過程.本題對“投影向量”的考查方式較為直接,需要考生明確概念,并將其與圖形相結合發現?ABC邊、角間的關系.

19.如圖,?ACD和?BCD都是邊長為2 的等邊三角形,平面ACD⊥平面BCD,EB⊥平面BCD.

(1)證明:EB//平面ACD;

(2)若點E到平面ABC的距離為求平面ECD與平面BCD夾角的正切值.

本題的第2 問考查點到平面的距離,常規方法是利用等體積法將其轉化為易求解的幾何量進行運算.若從空間向量的視角研究,可通過向量在法向量上的投影來進行運算.所以本題也可理解為“投影向量”在空間圖形中的考查與應用.

3 挖掘經典模型,構建新穎試題

作為一套完整的試題,還需要考慮試題的難易搭配,以及亮點題目的設計.其中圓錐曲線試題因為背景豐富,且解題視角多樣,常常作為亮點試題精心設計.如何命制此類試題呢? 筆者認為首先要了解此類試題的一般化結論,再根據結論的特點進行改編再創造.現以21 題為例,簡介如下:

(1)求橢圓Γ 的方程;

(2)設過F的直線PQ交橢圓Γ 于P,Q兩點,若直線PA,QA與直線l:x+4=0 分別交于M,N兩點,l與x軸的交點為k,則|MK|·|KN|是否為定值? 若為定值,請求出該定值;若不為定值,請說明理由.

對于圓錐曲線試題,一般都具有普遍的結論.本題的設問方式是考查兩個線段間的關系,但本質上是探究直線PA與QA的斜率之間的關系.

兩條直線的斜率之積為定值,由此衍生出對應的兩條線段之積也為定值.由此可將l更換為其他直線(與x軸垂直)時,對應的線段之積仍為定值.

現將一般化結論介紹如下:

本題在設計該問題時進行了一次包裝,將斜率的定值問題轉化為線段的乘積之間的關系.這樣的設問方式還增加了解題的突破口,為了降低運算方面的難度,本題還選擇將點T特殊化為橢圓的左焦點,對應的線段設計為橢圓的左準線,這也是為了突出橢圓的幾何特征,由此也可衍生出利用第二定義的相關知識進行求解.

4 命制試卷的核心理念

本次模擬試題的命制過程堅持重基礎、重本質、重應用、重創新的一貫命題思路,實現強化了“三位一體”(考查內容、考查要求、考查載體)的認識.命題更加強調了“知識為基、能力為重、素養導向、價值引領”的理念,更加突出考查數學本質,重視理性思維的考查,更加關注學生問題解決能力和學科素養,在關鍵能力的考查上更加深入.命題時,我們充分吸收黨的二十大精神以及新時代對數學人才的要求,多角度思考命題所能起到的引領作用,貫徹德智體美勞全面發展的教育方針,設計真實問題情境,體現我國的社會主義建設成就和社會主義的制度優勢,具有鮮明的時代特色,發揮數學試卷的育人價值

筆者認為,模擬試題承載著復習備考的指導作用.本套試題突出新舊教材的差異,倡導數學文化,深入分析經典結論,為后續的復習備考指明了方向.