坐標法在求解三角形中線與角平分線問題中的應用舉例

廣東省佛山市第二中學(528000) 李耀光

1 三角形中的中線問題

例1(2022 佛山一模)?ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC=(2b-c)cosA.

解法2第(1)問的求解可參照解法1.下面介紹用坐標法對第(2)問進行求解.

(2)用坐標法: 建立如圖1 所示的直角坐標系,?ABC的頂點A與坐標原點O(0,0)重合,AC邊與x軸正半軸重合.

圖1

圖2

圖3

圖4

解析根據三角形角A和邊AB、AC,分別設定點B、C的坐標,通過中點公式得到點D的坐標,用兩點間距離公式得到方程c2+2c-8=0,從而求出c的值,最后用三角形面積公式進行求解,不需動用正弦定理、余弦定理等工具,兩種解法各有特色.

練習1已知?ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b=3(acosB+bcosA),b+c=8.

解法2 第(1)問的求解可參照解法1.下面用坐標法對第(2)問進行求解.

2 三角形中的角平分線問題

解析第(1) 問用三角形中的角平分線定理、正弦定理,兩角和的余弦展開式進行求解; 第(2) 問用三角形的邊長與內角,設定相應點的坐標,通過角平分線定理、三點共線的向量模型,求出BC邊的長.對比解法1 的第(2) 問,這里不需動用三角形的面積公式及面積關系S?ABC=S?ABD+S?ACD和余弦定理等工具,兩種解法特點各異.

練習3已知?ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+bsinB.

(1)求角A;

(2)若AD平分∠BAC交線段BC于點D,且AD=2,BD=2CD,求?ABC的周長.

解析 第(1)問用三角形中的正弦定理,同角三角函數(shù)的基本關系和倍角公式進行求解;第(2)問用三角形角平分線性質、三角形面積公式及面積關系、正弦定理、兩角和的正弦展開式進行計算.

解法2 第(1)問的求解可參照解法1.下面用坐標法對第(2)問進行求解.

(2) 用坐標法: 建立如圖5 所示的直角坐標系,使?ABC的頂點A與坐標原點O(0,0)重合,AB邊與x軸的正半軸重合.

圖5

因為AM為∠BAC的角平分線,設∠BAC=2∠BAM=2∠MAC=2θ,且AM=x.結合已知AB=2AC=2,則B(2,0),設點M、C的坐標分別為M(xcosθ,xsinθ)、C(cos 2θ,sin 2θ).

結論筆者在講授解三角形關于中線與角平分線的教學實踐中,調查發(fā)現(xiàn)有八成以上的學生認為只有在直角三角形、等腰三角形等特殊三角形中,才會想起并愿意去嘗試通過建立直角坐標系進行求解.

本文通過解題方法的對比,針對一般三角形建立直角坐標系,利用三角形的邊與內角的關系,設定相應點的坐標,再用兩點間距離公式、三角形角平分線定理、共線向量的性質、三角恒等變換等知識和方法求解三角形,提供了用坐標法解三角形中線與角平分線問題的一種解題方法論.