考慮柔性變形的諧波減速器動力學建模與振動響應分析

鄭子恒,丁 康,徐 磊

(華南理工大學 機械與汽車工程學院, 廣州 510640)

0 引言

諧波減速器作為一種新型的齒輪傳動系統,具有體積小、傳動比大、傳動平穩、傳動誤差小等特點[1],因此被廣泛運用于航天航空、工業機器人等領域。雖然諧波減速器早在20世紀中葉就被發明了出來,并已經從齒形、嚙合特性、疲勞壽命等方面進行了研究[2],但相比于傳統齒輪傳動系統的研究,尤其是振動機理方面[3],還遠遠不夠完善。

在準靜力學方面,莊小斌[4]設計了一種扭轉剛度的測量以及統計方法,基于這些方法得到了諧波減速器的扭轉剛度曲線,并且該曲線很好地反映出了柔性傳動元件存在的遲滯曲線特性。曾浩等[5]分析了柔輪結構參數對齒條近似法齒廓諧波減速器的靜力學特性的影響,通過有限元分析研究了包括壁厚、齒圈寬度等參數對柔輪應力和扭轉剛度的影響,研究結果可為該類減速器的優化設計提供參考和指導。宿鵬飛等[6]設計一種可持續加載和卸載的測試平臺,不僅得到了諧波減速器的扭轉剛度曲線,還發現了諧波減速器的回程誤差和扭轉剛度主要與其輪齒間隙和嚙合程度有關,這對諧波減速器的性能研究有非常大的指導意義。Ma等[7]通過有限元仿真的方法分析了影響諧波減速器綜合剛度的因素,發現隨著諧波減速器負荷的增大,參與有效嚙合的輪齒對的數量也在增多,導致諧波齒輪的綜合嚙合剛度增大。Li等[8]為了獲得薄壁軸承的載荷分布,建立了一個精細的靜力分析模型,并研究了最大徑向變形、徑向間隙和幾何缺陷對柔性軸承載荷分布的影響。

在動力學研究方面,Zhang等[9]建立了諧波減速器在扭轉方向上的傳動模型,分析了輸入輸出扭矩的波動。Wang等[10]為了更好地理解和優化諧波傳動系統的性能,對柔性機械臂系統中的諧波減速器進行耦合動態建模和參數辨識,得到了諧波傳動系統的傳遞函數,可用于研究系統建模和減振。Li等[11]為了研究柔性部件(如諧波齒輪減速器中的柔性軸承和柔輪)的接觸力學特性,建立了柔性軸承的接觸力學模型、柔輪的殼振動微分方程和各自的有限元模型。Hu等[12]將諧波減速器視為一個黑箱模型,結合輸入輸出關系,建立了諧波減速器的非線性扭轉振動模型,分析了諧波減速器在啟停過程中出現的扭振問題。Gu等[13]和Wang等[14]的研究工作有很多相似之處了,考慮了由于制造誤差引起的諧波減速器時變剛度現象,同時建立了帶慣性負載的諧波傳動系統扭轉方向上的受迫振動模型,并基于該模型模擬了振動響應。

以上有關諧波減速器動力學的研究中,或者將諧波減速器視為黑箱模型,僅依靠輸入輸出參數指標推斷諧波傳動所具備的性質,無法對諧波減速器的振動響應研究提供指導,或者只單獨考慮諧波減速器中部分元件之間的作用,如單獨考慮諧波齒輪間相互作用、單獨考慮薄壁軸承間相互作用,沒有建立完整的傳動鏈,沒有完整考慮諧波減速器傳動過程中各元件相互作用,無法有效地解釋在諧波減速器一般工況中振動響應中出現的特征頻率。為此,考慮了諧波減速器各元件之間的相互作用關系,建立“輸入-凸輪-薄壁軸承-柔輪-剛輪-輸出”完整的傳動鏈,基于集中參數法,建立了諧波減速器多體動力學耦合模型,解釋了傳動過程振動響應中出現振動特征頻率。主要創新如下：

1) 根據諧波減速器元件之間的相互作用特點,將凸輪與薄壁軸承內圈簡化為“等效凸輪”,將柔輪與薄壁軸承外圈簡化為“等效柔輪”,并建立“等效凸輪-等效柔輪”與“等效柔輪-剛輪”的相互作用模型。

2) 根據簡化后元件間的相互作用模型建立“輸入-等效凸輪-等效柔輪-剛輪-輸出”傳動鏈的集中參數模型,并基于該集中參數模型推導出動力學微分方程,通過對動力學微分方程的求解分析得到諧波減速器傳動過程中的振動響應頻率分布規律。

1 諧波傳動

如圖1所示,諧波減速器主要由波發生器、柔輪和剛輪組成。其中波發生器包括凸輪與薄壁軸承。凸輪的形狀是一個橢圓;薄壁軸承也是一個滾動軸承,與傳統滾動軸承不同的是,其內圈與外圈是一種薄壁柔性元件。當凸輪裝配進薄壁軸承內時,在凸輪與薄壁軸承內圈的緊配合作用下,兩者共同構成橢圓形狀;而滾子結構可以近似為一個剛體,在其作用下薄壁軸承外圈也發生變形。當凸輪不斷旋轉時,薄壁軸承外圈在凸輪長軸兩端處就會不斷產生變形,這種變形與凸輪形狀相關,是凸輪轉頻的周期性函數,可以用傅里葉級數展開成轉頻及其高次倍頻的諧波成分,故稱為波發生器。柔輪也是一個柔性元件,當波發生器旋轉時,其長軸處的變形會使得柔輪也產生相應的變形,從而讓柔輪與剛輪的輪齒在長軸兩端一段區域內產生多齒嚙合,且嚙合位置隨著長軸的旋轉產生周期性變化。

圖1 諧波減速器

2 等效相互作用模型

諧波減速器由剛輪、柔輪、薄壁軸承外圈、薄壁軸承內圈和凸輪組成。元件越多意味著建模所需的自由度越多,建立的模型的復雜度就越高,求解模型的計算量便越大,因此在建立等效相互作用模型時會進行一些合理簡化。

2.1 柔輪與剛輪等效相互作用模型

傳統齒輪嚙合過程中,由于輪齒的嚙入嚙出,嚙合剛度會產生變化,因此傳統齒輪的動剛度包含的特征頻率為嚙合頻率。與傳統齒輪嚙合不同的是,諧波齒輪在嚙合過程中會有多對輪齒參與嚙合。

承載較大的位置在嚙合區域中間部位,而諧波齒輪傳動時的嚙入嚙出發生在嚙合區域兩端承載較小的位置,故對整體綜合剛度的影響可以忽略不計。影響諧波齒輪嚙合剛度的主要因素為其所承受載荷的大小,載荷越大,諧波減速器傳動過程中參與嚙合的輪齒對數越多,嚙合剛度也就越大,故當載荷發生周期性變化時,諧波齒輪之間的嚙合剛度也將發生周期性變化。

根據傅里葉級數可以將諧波齒輪之間的嚙合剛度表示為：

(1)

式中：fc為諧波減速器所承受載荷變化的頻率,即嚙合剛度的特征頻率;m為嚙合剛度傅里葉級數的階數;ψm為每一階所對應的相位;km為每一階所對應的幅值;kfc為嚙合剛度函數的直流分量,對應的是恒定載荷下的嚙合剛度。

由于柔輪與薄壁軸承外圈之間不會產生相互滑動或相互滑動量非常小,因此可以將柔輪與薄壁軸承外圈看作一體,為等效柔輪。柔輪與剛輪之間的等效相互作用模型如圖2所示。其中,ωn為諧波減速器的輸入角速度,即諧波減速器凸輪的角速度;αfc為諧波齒輪之間的等效嚙合角;kfc(t)即式(1)所表示的諧波齒輪嚙合剛度;OXY為以諧波減速器中心為原點建立的絕對坐標系;OX′Y′為以諧波減速器中心為原點建立的隨動坐標系,其加速度與凸輪一致。

圖2 柔輪與剛輪等效相互作用模型

當諧波減速器裝配時,橢圓形凸輪使得圓形柔輪也變形為橢圓,柔輪與剛輪之間的輪齒在橢圓長軸處產生嚙合。隨著凸輪不斷地旋轉,長軸位置改變,諧波齒輪之間產生嚙合的位置也在不斷發生變化,故諧波齒輪之間等效剛度kfc(t)的作用點在隨動坐標系OX′Y′上,不斷繞著原點O旋轉。

2.2 柔輪與凸輪等效相互作用模型

在諧波減速器的傳動過程中,波發生器所轉過的一圈,柔輪上某一點變形的循環次數被稱為波數U。雙觸頭波發生器是一種常見的波發生器類型,在諧波齒輪傳動中得到廣泛應用,下面討論的也是該型號的波發生器。

凸輪與柔輪之間的相互作用,實質上是柔輪在受到凸輪擠壓后發生的周期性變形,且因為凸輪的對稱結構,凸輪每旋轉半圈,凸輪與柔輪之間的相互作用完整變化1次,即柔輪的變形重復1次,所以很容易知道柔輪與凸輪之間相互作用的函數是以2倍凸輪轉頻為基頻的周期函數。根據傅里葉級數,可以將凸輪與柔輪之間水平、豎直以及扭轉方向上的相互作用剛度表示為：

式中：fn為諧波減速器的輸入轉頻,即凸輪轉頻;m為相互作用剛度傅里葉級數的階數;ψpm(p=x,y,t)為每一階所對應的相位;kpm(p=x,y,t)為每一階所對應的幅值;kp0(p=x,y,t)為相互作用剛度函數的直流分量。

由于凸輪與薄壁軸承內圈之間為緊配合,因此可以將凸輪與薄壁軸承內圈看作一體,為等效凸輪。柔輪與凸輪之間的等效相互作用模型如圖3所示。

圖3 柔輪與凸輪等效相互作用模型

因已經將凸輪旋轉造成的剛度變化考慮到函數中,故凸輪與柔輪之間各個方向上的相互作用剛度的作用點位于絕對坐標系OXY上,在傳動過程中不會發生改變。

3 諧波減速器集中參數模型

結合柔輪與剛輪、柔輪與凸輪之間的等效相互作用模型,可以建立諧波減速器整體的相互作用模型,如圖4所示。該模型為柔輪固定、凸輪輸入、剛輪輸出的形式。其中,每一個元件都具有水平、豎直、扭轉3個自由度。kpx、cpx、kpy、cpy、kpt和cpt(p=c,f,w)為各元件在3個自由度上與外殼相連接的剛度、阻尼,且都可以都看作是定值。

圖4 諧波減速器集中參數模型

efc1(t)、efc2(t)為諧波齒輪嚙合兩端的位移誤差激勵。由于諧波減速器制造和安裝誤差會在諧波減速器傳動過程中出現一個位移激勵源,因此這種現象在實際工程中是無法避免的。

位移誤差的產生有柔輪偏心與剛輪偏心2種情況。當柔輪偏心時,由于柔輪是固定不動的,柔輪與凸輪之間的相對轉速即為凸輪的轉速,因此該偏心量在嚙合區域的投影應是以輸入轉頻為基頻的周期函數。而當剛輪偏心時,由于剛輪輸出轉速與輸入轉速方向相同,剛輪與凸輪之間的相對轉速是兩者轉速之差,因此該偏心量在嚙合區域的投影應是以輸入轉頻與輸出轉頻之差為基頻的周期函數。同時,諧波齒輪嚙合區域兩端的偏心量投影函數的相位相差π,故可以將efc1(t)、efc2(t)的傅里葉級數表示為：

式中：fc為諧波減速器的輸出轉頻,即剛輪轉頻;m為位移誤差激勵函數的階數;Ep0、Epm、φpm(p=f,c)為柔輪或剛輪偏心時位移激勵誤差函數的直流分量與每一階的幅值、相位。

在圖4所示的坐標系下,以xp、yp、θp(p=w,f,c)表示凸輪、柔輪以及剛輪在絕對坐標系OXY下水平、豎直以及扭轉方向上的位移,分別對凸輪、柔輪、剛輪建立動力學微分方程。

凸輪的動力學微分方程為：

(4)

柔輪的動力學微分方程為：

(5)

剛輪的動力學微分方程為：

(6)

方程中dfc1、dfc2為諧波齒輪沿等效相互作用方向上的相對位移,有：

dfc1=-(xf-xc)cos(ωnt-αfc)-

(yf-yc)sin(ωnt-αfc)+

(θf-θc)rfc+efc1(t)

dfc2=(xf-xc)cos(ωnt-αfc)+

(yf-yc)sin(ωnt-αfc)+

(θf-θc)rfc+efc2(t)

(7)

4 振動響應理論分析

由于柔輪同時與凸輪、剛輪相互作用,因此只選取等效柔輪的動力學微分方程進行振動分析。同時y方向的振動響應信號是最容易獲取的,故選取柔輪y方向的動力學微分方程進行振動響應分析。柔輪y方向的動力學微分方程為

(8)

將式(7)代入式(8),并處理成左邊為線性系統、右邊為激勵力的形式,忽略其中的阻尼項,根據線性系統的頻率保持性,進一步分解成以下形式：

(9)

(10)

(11)

(12)

式(9)右端激勵是一個周期激勵,沒有其他自由度的反饋項,所以是一個線性振動方程,其響應也是一個穩態響應。而式(10)—式(12)都存在坐標反饋項,是非線性方程。式(9)右端的激勵項可以表示為：

f1(t)=e(t)sin(ωnt-αfc)kfc(t)

(13)

其中,e(t)=efc1(t)-efc2(t),將式(3)代入可得：

(14)

對式(13)兩端做傅里葉變化,可以得到

F1(f)=E(f)*F[sin(ωnt-αfc)]*Kfc(f)

(15)

式中,*表示卷積;F表示傅里葉變換。E(f)的頻率特征如圖5(a)所示,為mfn、m(fn-fc)且m=1,3,5,…。sin(2πfnt-αfc)的頻率特征如圖5(b)所示。kfc(t)的頻率特征如圖5(c)所示。三者的頻率特征在頻域中相互卷積后的結果即為激勵力f1(t)的頻率特征,結果如圖5(d)所示。頻率特征為主要以mfn和mfn-(m-1)fc為載波頻率(其中m為偶數),以fc及其高次諧波為調制頻率的主要調制邊帶頻率成分。

圖5 激勵力f1(t)各項頻率特征

為了分析方程(10)—(12)的振動響應,先將來自其他自由度的振動反饋視為0,故式(10)—(11)右端的激勵力可以表示為：

f2(t)=[cos(2ωnt-2αfc)-1]kfc(t)yf

(16)

f3(t)=-kwfy(t)yf

(17)

考慮yf已有的振動響應頻率特征F1(f),對式(16)—式(17)兩端進行傅里葉變換,可得：

F2(f)=F[cos(2ωnt-2αfc)-1]*

Kfc(f)*F1(f)

(18)

F3(f)=-F1(f)*Kwfy(f)

(19)

f2(t)的頻率特征如圖6(a)所示,kwfy(t)的頻率特征如圖6(b)所示,f3(t)的頻率特征如圖6(c)所示。f2(t)、f3(t)的頻率特征與f1(t)相似,都是主要在mfn和mfn-(m-1)fc(m為偶數)處分布著一定寬度間隔為fc的頻率成分,且隨著反饋次數增多,頻率分布范圍變寬,但與穩態激勵響應頻率成分相比幅值較小。

圖6 振動響應頻率特征

從式(10)—式(12)可以看出系統還會對來自xf、xc、yw、yc自由度的振動信號進行反饋,由于自由度之間相互耦合,其他自由度振動響應的頻率特征與yf方向上的頻率特征是一樣的。這會使得振動響應中可較好地觀測到以2fn為基頻的頻率成分階數越來越多,同時也會使得各階頻率成分處分布著越來越多間隔為fc的頻率成分。

5 實驗驗證

諧波減速器實驗設備如圖7所示,由驅動電機帶動諧波減速器凸輪以3 000 r/min的恒定轉速旋轉輸入,柔輪固定,剛輪對外輸出帶動一個帶負載盤的擺臂穩速旋轉。

實驗裝置以及實驗條件所對應的各種參數如表1所示。

表1 實驗諧波減速器參數

實驗信號時域圖如圖8(a)所示,實驗信號頻域圖如圖8(b)所示,信號采集所用的采樣頻率為fs=51 200 Hz。傳感器布置在諧波減速器外殼的正上方,測量得到的信號為諧波減速器豎直方向上的振動響應信號,與振動響應理論分析中所選用的方向一致。諧波齒輪的嚙合頻率為柔輪齒數乘以輸入轉頻,即fz=nffn=10 000 Hz。在圖8(b)的1階以及2階嚙合頻率處,幅值譜都非常平坦,且沒有嚙合頻率的特征頻率成分,驗證了諧波齒輪多齒嚙合時嚙合動剛度很小、傳動平穩的特性。

圖8 實驗信號圖

如圖9所示,對圖7所示實驗裝置建立仿真模型,并使用龍格-庫塔法對式(4)—式(6)進行振動響應求解。

圖9 仿真模型

仿真信號與實驗信號的頻譜圖如圖10所示。由于仿真分析的參數選取在一定程度上是依據經驗的,頻率成分的幅值相對來說不夠精準,因此主要考慮振動響應信號頻率成分的分布規律。

圖10 實驗信號與仿真信號頻譜圖

由圖10(a)可以看出,仿真信號的頻率分布規律與理論分析完全一致,即以mfn(200、400、500 Hz)和mfn-(m-1)fc(198.51、196.53、495.54 Hz)為載波頻率,以fc=0.495 Hz及其高次諧波為調制頻率的調制邊帶。

實驗信號在低階特征頻率處的頻譜放大圖如圖10(b)所示,可以看出其頻率成分與振動響應理論分析以及仿真的結果高度一致,振動信號幅值較大的頻率成分主要集中在mfn的頻率處(m為偶數);在一些階次局部放大圖中出現以mfn(199.94、400.05、500.05 Hz)和mfn-(m-1)fc(198.57、396.59、 495.60 Hz)為載波頻率(m為偶數),以fc=0.495 Hz及其高次諧波為調制頻率的調制邊帶。

實驗信號中,在fn的奇數倍頻處也出現了幅值很小的頻率成分,原因是當存在偏心時,兩端嚙合區域之間的夾角不完全等于π,而是接近于π,這導致在實際振動信號中fn的奇數倍頻處的頻率成分并沒有完全抵消掉,但與偶數倍諧波相比幅值很小。

如圖11所示,不同轉速工況下都存在1 000 Hz附近一段頻率范圍內幅值放大現象,并且振動響應特征頻率的幅值很大,可以認為在1 000 Hz附近存在系統的某一階固有頻率,是系統的反饋頻率成分在固有頻率處放大產生的。

圖11 實驗信號3 000 Hz以內頻譜圖

實際情況中,諧波傳動過程中柔性元件在不斷發生變形,故不僅有系統的剛體固有頻率,也有柔性元件自身的固有頻率,且相對來說較低。由此可以在頻譜圖中看到,固有頻率成分附近的反饋特征頻率成分都被放大。

6 結論

建立了諧波減速器的集中參數法剛體動力學振動模型,研究了其振動響應的頻率分布規律。機理研究與實驗分析的主要頻率分布規律一致,填補了諧波減速器多體動力學耦合模型領域的空白。主要結論如下：

1) 由于諧波齒輪兩端嚙合中心對稱的特性,系統對于位移誤差激勵在水平、豎直和扭轉方向的響應都分布在以2fn為基頻的多階倍頻附近。

2) 諧波減速器的振動響應頻率特征為在mfn(m為偶數)處分布著間隔為fc的頻率成分,其主要的頻率成分為以位移激勵特征頻率mfn、mfn-(m-1)fc為載波頻率,以輸出轉頻fc及其高次倍諧波為調制頻率的調制邊頻帶。

3) 諧波齒輪傳動時很多齒嚙合,單齒的嚙入嚙出發生在嚙合區域兩端承載較小的位置,嚙合動剛度對振動響應的影響可以忽略不計,基本沒有嚙合頻率及其高次諧波成分。

4)諧波減速器由于柔性元件的存在,會在頻率成分較系統剛體運動固有頻率更低處出現共振頻率帶,放大系統的振動響應特征頻率。