聯合稀疏和低秩表示的醫學超聲圖像去噪

武俊珂　魏國亮　蘭蘭　蔡賢杰

摘要：為了保持超聲圖像的邊緣和細節特征，同時去除圖像中的噪聲，提出了一種改進的低秩稀疏矩陣分解模型。首先，通過對數變換將乘性性質的斑點噪聲轉換為加性噪聲；然后引入 L1 范數和改進的低秩正則項，以最小化保真項、正則項為目標函數，迭代恢復出去噪后的超聲圖像；最后使用指數變換從對數域中還原。將本模型應用于腫瘤超聲圖像，與一些經典的去噪算法進行比較，得出該模型對消化道粘膜下腫瘤超聲圖像去噪估計具有良好的適用性和實時性。

關鍵詞：消化道粘膜下腫瘤；超聲圖像；斑點噪聲；去噪估計；低秩稀疏模型

中圖分類號：? TP 391.41???????????? 文獻標志碼：? A

Medical ultrasound image denoising based on low-rank and sparse model

WU Junke1，WEI Guoliang2，LAN Lan1，CAI Xianjie3

（1. College of Science， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China;2. Business School， Universityof Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China;3. School of Optical-Electrical and Computer Engineering，University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： An improved low-rank and sparse matrix decomposition model was proposed to preserve edge， detail features and remove noise in ultrasound images. Firstly， logarithmic transformation was carried out to transform the multiplicative speckle noise into additive noise. Then the L1-norm and improved? low-rank? regularizer term were? introduced? to? iteratively? recover? the? denoised? ultrasound image with the minimisation of the fidelity and regularization term as the objective function. Finally， the exponential transformation was used to restore the resulting graph from the logarithmic domain. The model was compared with some classical denoising algorithms using tumour ultrasound images. The results show that the model has good applicability and realtime for the estimation of ultrasonic image denoising of gastrointestinal submucosal tumours.

Keywords： gastrointestinal submucosal tumors; ultrasound image; speckle? noise; denoising ; low- rank and sparse model

近年來，隨著大眾健康意識的提升和內鏡檢查的普及，消化道粘膜下腫瘤（SMT）的檢出率逐年提高。超聲內鏡具有雙重檢查優勢，既能通過內鏡清晰地觀察粘膜下腫瘤的外部形態，又可通過小探頭超聲對腫瘤進行掃描，獲得更清晰、全面的超聲圖像[1]。超聲內鏡掃描的超聲圖像可以顯示病灶管壁及其周圍結構，并根據回聲信號高低、是否均勻、及與消化道管壁的關系，明確腫瘤的起源層次、范圍、浸潤深度，是初步診斷消化道粘膜下腫瘤的首選方法。但超聲內鏡也有不足之處，其成像過程中生成的斑點噪聲嚴重影響了圖像的人工判讀和后續處理[2]。隨著人工智能在內鏡診斷領域的發展，醫學圖片的原始像素提取及有效預處理對挖掘圖像特征并預測腫瘤至關重要。總之，基于消化道粘膜下的超聲圖像去噪處理意義重大。

目前已經將多種濾波算法應用到了醫學超聲圖像處理中，晏滿鈺等[3]提出了一種基于各向異性擴散方程的改進方法，利用各方向梯度值和圖像梯度變化選取不同擴散函數，進一步提高了去噪效果。張聚等[4]針對斑點噪聲問題，提出了一種新型的基于小波和雙邊濾波的去噪算法，經過臨床實驗證明該算法能夠很好地抑制超聲中的斑點噪聲，并且能保留圖像病灶邊緣等細節。 Zhou 等[5]提出了采用雙邊濾波去噪的方法來減少散斑，并驗證了該方法的性能，結果表明雙邊濾波去噪方法在平滑散斑的同時能很好地保護病變邊緣。Rahimizadeh等[6]提出了一種改進的線性最小均方誤差（LMMSE）估計器，用于降低超聲醫學圖像的斑點噪聲，在保持小細節和降低圖像不同區域散斑噪聲之間可以達到很好的平衡。陳曉東等[7]提出分數階微分加權的引導濾波算法，利用像素與邊緣紋理的關系設計紋理因子，改進引導濾波方法，并對豬胃和豬氣管超聲圖像進行了算法實驗，驗證了該算法具有良好的適用性。薛雙青等[8]提出了將二維變分模態分解和雙邊濾波相結合的超聲圖像去噪方法，并實驗驗證了該方法在去除圖像中的噪聲和保護細節信息方面效果不錯。張光華等[9]提出了一種基于 BM3D 算法的醫學圖像去噪與增強方法，為去除噪聲和圖像增強提供了全新的思路。

由于醫學超聲圖像具有斑點噪聲多[10]、紋理細節豐富[11]的特點，上述算法雖然在保持邊緣和去噪方面有一定成效，但很難保留圖像的紋理細節[12-13]。為解決上述問題，本文利用散斑噪聲的乘性性質，通過對數變換將斑點噪聲轉換為加性噪聲；分別利用圖像和噪聲的特性，將 L1范數和改進的低秩項作為正則項，以最小化保真項、正則項為目標函數，對圖像迭代進行去噪估計，最后使用指數變換將結果圖從對數域中還原，流程如圖1所示。實驗部分結合真實的消化道粘膜下腫瘤超聲圖像，對其添加斑點噪聲和混合噪聲后，與現有幾種經典濾波算法進行對比實驗。

1 研究方法

1.1 斑點噪聲

超聲內鏡中的超聲探頭被安置在內鏡前端，在進入消化道時進行實時掃描。由于人體的結構復雜和大量隨機分布的散射粒子的存在，導致超聲波在傳播過程中發生干涉現象，因此在超聲圖像中形成了亮暗不定的斑點，這些斑點即為斑點噪聲。

針對超聲圖像噪聲， Jain 于1989年提出乘性和加性噪聲組成的模型

式中： I、表示原始超聲圖像； R、和L、分別表示不含噪的圖像和乘性噪聲； N表示加性噪聲；i和j為圖像在空間域的局部坐標值。由于超聲圖像加性噪聲的影響遠小于乘性噪聲，因此式（1）可寫為

對兩邊取對數可得

進而得到斑點噪聲圖像近似的加性噪聲模型

式中，I，R，L 分別為原始超聲圖像、不含噪圖像和乘性噪聲的對數表示形式。針對該加性噪聲模型，建立低秩稀疏矩陣的分解模型，恢復出去噪后的圖像，最后使用指數變換將結果圖從對數域中還原。

1.2 稀疏模型

如果一個非零向量X中有少數幾個非零元素，絕大多數元素為零，則稱向量X具有稀疏特性。稀疏表示問題的目標即是尋找具有最少非零元素個數的解向量X*，數學上可表示為以下問題[14]：

式中：||x||0記為向量x 的 L0范數，表示向量x 中非零元素的個數； y 為已知向量；φ為給定參數。

以上優化求解是個 NP 難問題，在求解時通常會轉而考慮計算近似解或者說次優解。故選擇用其他的稀疏度量 L1范數取代非凸的 L0范數， 實現將以上優化問題凸松弛化，即

式中，||x||1記為向量x 的 L1范數，表示向量x 中所有元素的絕對值之和。

得到優化問題的解

1.3 低秩模型

低秩表示理論致力于求解所有數據向量聯合后矩陣的最低秩表示。已有文獻[15]證明絕大多數低秩矩陣可通過核范數約束來進行恢復，而加上保真項的低秩核范數約束問題又可以通過對奇異值矩陣軟閾值操作來進行求解，這種核范數約束的表達式為

X（?）= argminX ||X 一 Y||F（2）+φ||X||*（8）

式中： Y 為已知矩陣；φ為平衡第一項數據保真項和第二項核范數約束項的參數。該式的解可通過下式得到

式中： U， V 是對 Y 的奇異值分解得到的，對 Y的奇異值分解為Y = UΣVT ；S φ（Σ）為對角陣Σ的軟閾值算子，軟閾值算子可表示為

式中， ii表示元素所在的位置。

但核范數也存在一些問題。為了保持模型的凸性，核范數約束將每個奇異值做了同等處理，即軟閾值算子將每個奇異值均做相同數值的收縮。往往較大的奇異值通常表示想要保留的圖像信息，不應過度懲罰；較小的奇異值通常表示想要去除的噪聲信息，應予以懲罰。所以引入新的低秩約束矩陣[16]，定義為

式中，ε為一個非常小的正數。對數函數可以對奇異值進行收縮，這有利于保持更多有用的信息和消除噪聲。

對以下低秩恢復問題

式中：α為權重參數。求解則有

2 基于低秩稀疏模型的去噪估計

本文引入了 L1范數和改進的低秩正則項，建立了稀疏低秩的加權范數約束模型[17]

式中：α ， β為權重參數。上式第一項控制數據的保真度，第二項約束稀疏噪聲，第三項約束干凈圖像的低秩特性。

上述模型其求解問題可表示為

3 實驗

為了驗證本文提出的模型在超聲內鏡圖像下抑制斑點噪聲的有效性和魯棒性，采用上海市第六人民醫院所提供的消化道粘膜下腫瘤超聲圖片進行了實驗。一共選取兩幅圖片：圖像 a 為原始分辨率下的腫瘤超聲圖片；圖像 b 為4張腫瘤超聲圖像縮小尺寸后拼接成的一幅圖片。本實驗使用的計算機主要配置如下：處理器為 AMD， R7-5800H，主頻為3.20 GHz ，64位 Window11操作系統，實驗所用軟件為 R2016a 版本。由于現實中無法得到不存在噪聲的理想圖像，所以本文首先對得到的超聲圖像數據進行加噪處理[18]，加噪類型為斑點噪聲和混合噪聲，其中混合噪聲為斑點噪聲與高斯噪聲混合，再利用本文模型與其他現有的經典去噪模型進行對比。

3.1 實驗評價指標

為了客觀地評價去噪算法，選擇峰值信噪比（peak signal to noise ratio ， PSNR）、結構相似性（structural similarity ， SSIM）以及無參考銳化因子（cumulative probability of blur detection ， CPBD）這3種圖像評判指標分別對不同濾波算法的去除噪聲和結構信息、邊緣保持能力進行量化對比。 SSIM[19]是一種結構一致性因子指標，建立在人眼的視覺特征基礎上，用于衡量兩幅圖像的相似度，結果在0～1之間，其值越大，表明算法保存的組織結構信息越完整。 CPBD[20]是一種無參考圖像銳化因子指標，可以反映出邊緣和紋理細節的清晰度，其值越大，表明邊緣和紋理區域越清晰。這里特別注意的是，我們想要達到的效果是圖像在最大可能保持結構信息和紋理邊緣細節的基礎上去除噪聲，所以優先關注 SSIM 和 CPBD。

3種量化指標公式分別如下：

3.2 實驗結果

圖2為加入斑點噪聲后不同算法處理下的圖像。其中，數字1為原圖；2為斑點噪聲；3為維納濾波；4為引導濾波；5為 PM擴散濾波；6為 NLM 濾波；7為 BM3D濾波；8為本文算法。表2給出了加入半點噪聲后各算法的結果比較。由表2數據可以看出，在加入斑點噪聲的情況下，維納濾波、 NLM 濾波、 BM3D 濾波的 PSNR 明顯高于本文模型算法，針對維納濾波和 BM3D 濾波，其 SSIM 和 CPBD 值均低于本文模型算法，這說明兩種濾波在去除圖像噪聲的同時，不僅造成了圖像組織結構信息的破壞，也使邊緣和紋理區域變得模糊，這并不是我們想要的結果。針對 NLM 濾波，其 SSIM 值較高于本文模型算法，但 CPBD 較低于本文模型算法，就評價指標而言，算法在處理斑點噪聲時表現良好，但值得注意的是， NLM 濾波算法的處理時間較長，為本文模型的數十倍甚至上百倍，無法滿足快速去噪的特點[21]。針對 PSNR 較低于本文模型算法的 PM 擴散濾波，其 SSIM 和 CPBD 指標均不如本文模型算法。針對引導濾波，3種指標的表現和本文模型算法相差不大，處理時間也較快。

圖3為加入混合噪聲后不同算法處理下的圖像，其中數字2為混合噪聲，其他數字代表意義同圖2。表3給出了加入混合噪聲后各算法的結果比較。由表3數據可以看出，在加入混合噪聲的情況下，維納濾波、NLM 濾波、BM3D 濾波的 PSNR 明顯高于本文算法，但3種濾波算法的 SSIM 和 CPBD 均低于本文算法，在去除圖像噪聲的同時，無法很好地滿足結構信息和細節邊緣的保存。針對 PSNR 較低或近似于本文算法的引導濾波和 PM 擴散濾波，其 SSIM 和 CPBD指標也均不如本文算法。

根據圖4～6，經過對比可以發現，在加入斑點噪聲時， NLM 濾波的表現最好，本文模型算法和引導濾波次之，兩者不相上下。但是 NLM 濾波處理的時間較長，為引導濾波和本文算法處理時間的數十倍，甚至上百倍。在加入混合噪聲時，本文算法的表現最好，在最大可能保持圖像結構信息和邊緣紋理細節的情況下，能夠進行快速去噪。

綜上所述，本文模型在處理斑點噪聲和混合噪聲時，在減少噪聲影響的基礎上，不僅能夠很好地保存組織結構信息，減少邊緣和紋理區域的模糊，還大大縮短了運算時間，能夠滿足實時性的特點。

4 結論

針對醫學超聲圖像具有斑點噪聲多、紋理細節豐富的特點，目前大多數去噪算法在保持邊緣和去噪方面成效不錯，但未能很好地保留圖像的紋理細節。本文提出了一種改進的低秩稀疏矩陣分解模型，通過迭代的方式逐步消除超聲圖像中的噪聲影響。實現了去除散斑噪聲的同時保留紋理信息和邊緣。本文根據上海市第六人民醫院所提供的消化道粘膜下腫瘤超聲圖片進行實驗，對醫院提供的圖片進行斑點噪聲與混合噪聲的合成，將本文模型與一些經典主流去噪模型進行對比，利用 PSNR ，SSIM ，CPBD 評價指標對去噪效果進行了評估，得出本文模型具備較好的 SSIM 和 CPDB。針對 SSIM，在處理斑點噪聲時和混合噪聲時，平均提高了18%和22%；針對 CPBD，在處理斑點噪聲時和混合噪聲時，平均提高了28%和26%，在處理速度上也能達到實時性的特點。表明本文算法不僅能快速地對含有斑點噪聲或混合噪聲的超聲圖像進行去噪，而且在定量評價指標表現上性能優良。綜上所述，本文模型針對消化道粘膜下腫瘤超聲圖像的去噪估計具有良好的適用性和實時性。

參考文獻：

[1]楊琴， 冶麗娜， 楊紅偉.超聲內鏡在上消化道黏膜下病變診治中的價值分析[J].中國實用醫藥 ， 2021， 16（30）：83–85.

[2] YUYJ，ACTONST. Specklereducinganisotropic diffusion[J]. IEEETransactionsonImageProcessing， 2002， 11（11）：1260–1270.

[3]晏滿鈺， 文成玉.改進的 PM 模型的醫學超聲圖像去噪算法[J].成都信息工程大學學報， 2019， 34（6）：600–605.

[4]張聚， 王陳， 程蕓.小波與雙邊濾波的醫學超聲圖像去噪[J].中國圖象圖形學報， 2014， 19（1）：126–132.

[5] ZHOUXM，LIUW，ZHANGCY，etal. Speckle reduction of ultrasound elastography with bilateral filter[J]. Advanced Science Letters， 2013， 19（10）：3025–3027.

[6] RAHIMIZADEHN，HASANZADEHRP，JANABI- SHARIFI F. An optimized non-local LMMSE approach for speckle noise reduction of medical ultrasound images[J]. MultimediaToolsandApplications，2021，80（6）：9231–9253.

[7]陳曉冬， 吉佳瑞， 盛婧， 等.分數階微分加權引導濾波對超聲圖像的紋理保持[J].光學精密工程， 2020， 28（1）：174–181.

[8]薛雙青， 賀東東.基于2D-VMD 和雙邊濾波的醫學超聲圖像去噪算法[J].西安科技大學學報 ， 2021， 41（3）：516–523.

[9]張光華， 潘婧， 邢昌元.基于 BM3D 算法的醫學圖像去噪與增強方法研究[J].電腦知識與技術， 2019， 15（18）：223.

[10] UDDINMS，TAHTALIM，LAMBERTAJ，etal.Speckle-reductionalgorithmforultrasoundimagesin complexwaveletdomainusinggeneticalgorithm-based mixturemodel[J].AppliedOptics，2016，55（15）：4024–4035.

[11] KHAN A H， AL-ASAD J， LATIF G. Speckle suppression inmedicalultrasoundimagesthroughSchur decomposition[J]. IETImageProcessing， 2018， 12（3）：307–313.

[12] ADAMOF，ANDRIAG，ATTIVISSIMOF，etal. A comparativestudyonmotherwaveletselectionin ultrasound image denoising[J]. Measurement， 2013， 46（8）：2447–2456.

[13] BONNY S， CHANU Y J， SINGH K M. Speckle reduction of ultrasound medical images using Bhattacharyya distanceinmodifiednon-localmeanfilter[J]. Signal，Imageand Video Processing， 2019， 13（2）：299–305.

[14]沈曉東.基于結構性稀疏優化的 SAR 圖像斑點噪聲抑制[D].重慶：重慶大學， 2018.

[15] CAND?SEJ，RECHTB. Exactmatrixcompletionvia convexoptimization[J]. FoundationsofComputational Mathematics， 2009， 9（6）：717–772.

[16] DIAN R W， LI S T， FANG L Y. Learning a low tensor- trainrankrepresentationforhyperspectralimagesuper- resolution[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems， 2019， 30（9）：2672–2683.

[17]楊垚， 黃聰， 王華軍.基于低秩和稀疏模型的高光譜圖像快速去噪方法[J].物探化探計算技術 ， 2021， 43（5）：663–668.

[18] MAFIM，TABARESTANIS，CABRERIZOM，etal. Denoisingofultrasoundimagesaffectedbycombined speckleandGaussiannoise[J]. IETImageProcessing， 2018， 12（12）：2346–2351.

[19] HOR?A，ZIOUD. Imagequalitymetrics： PSNRvs. SSIM[C]//Proceedings of the 20th International Conference onPatternRecognition. Istanbul，Turkey： IEEE， 2010：2366–2369.

[20] NARVEKAR N D， KARAM L J. A no-reference image blurmetricbasedonthecumulativeprobabilityof blur detection（CPBD）[J].IEEETransactionsonImage Processing， 2011， 20（9）：2678–2683.

[21] DE FONTES F P X， BARROSO G A， COUP? P， et al. Real time ultrasound image denoising[J]. Journal of Real- Time Image Processing， 2011， 6（1）：15–22.

（編輯：董偉）