基于STEM理念，項目化實施“綜合與實踐”
——以蘇科版數學八（上）“關于勾股定理的研究”為例

■韓新正

蘇科版數學教材中的“綜合與實踐”板塊安排在每章的開始、結束和每冊書的結尾處。章節開始時有“數學實驗室”，即通過“做”數學，感悟、理解數學知識；每章結束后有“數學活動”，即運用本章知識解決一些簡單問題；每冊書的結尾處有“課題學習”，即綜合運用有關知識解決實際問題。這里的“綜合運用有關知識”，如果我們僅僅理解為數學知識，就顯得比較狹隘了。

STEM 教育作為一種跨學科教育模式，其目的在于通過探究式、項目式等活動去解決真實問題。運用其理念進行“綜合與實踐”的研究，其實就是綜合運用各種知識和各種技術解決實際問題的過程，也是深度學習的過程。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，初中階段綜合與實踐領域可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法。下面，筆者以蘇科版數學教材八（上）的課題“關于勾股定理的研究”為例，談談如何項目化實施“綜合與實踐”。

一、教材分析

對于課題“關于勾股定理的研究”，教材中提供了三個研究方向：1.閱讀有關書籍和查閱有關資料，了解勾股定理的歷史；2.收集、整理驗證勾股定理的各種方法；3.收集生活中應用勾股定理的例子。

前兩點主要引導學生進行文獻檢索。教師可以指導學生通過查閱書籍，登錄知網、北大圖書館等專業網站來研究，而不是簡單通過“百度”來泛泛了解。這是借用工具的做法，也是科學研究的起點，主要培養學生進行科學的探究。第三點是為了引導學生關注生活，解決生活中的實際問題，也是“綜合與實踐”的本意。對此，筆者嘗試設計了一些項目化活動，旨在分階段、分層次培養學生綜合運用多種知識和技能解決實際問題的能力。

二、項目化活動

1.由勾股定理引發猜想

勾股定理的式結構a2+b2=c2具有數學美，教師可以請學生對其進行合理猜想。通過猜想，然后驗證得出結論，這是推動數學發展的重要方法。

猜想1：結合“勾股數”，如3、4、5，5、12、13等，我們能得到一切勾股數嗎？

猜想2：從“形”的角度看a2+b2=c2，在幾何上相當于作一個矩形，使它的長、寬、對角線分別為a、b、c，且a、b、c都是整數。按照這樣的思路，聯想到長方體，會得到什么結論？能否作出一個長方體，使它的長、寬、高和對角線都是整數？如4、3、12、13。

猜想3：是否可以進行“指數推廣”？如從a2+b2=c2，推廣到a3+b3=c3，甚至an+bn=cn（n≥3）。它們是否有正整數解（費馬大定理）？ 項數、指數同時推廣呢（這是著名的歐拉猜想）？如a2+b2+c2=w2，a3+b3+c3=w3，甚至a4+b4+c4=w4。

2.古代數學中的勾股定理

結合文獻，教師引導學生通過感受勾股定理在古代的應用，理解這類問題在古代數學中是經常出現的，其解決方法就是使用勾股定理。

（1）“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？

（2）“折竹”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高幾何？

（3）枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？題意是：如圖1 所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20 尺，底面周長為3 尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是_____尺。

圖1

3.運用信息技術手段，感受數學之美

借助計算機軟件，利用勾股定理設計各種精美圖案，挖掘其文化價值，欣賞數學之美。如利用幾何畫板的動畫效果制作勾股樹（畢達哥拉斯樹），圖略。

4.做中學，解決實際問題

引導學生關注生活，通過解決生活中的問題，以及各種知識和技術的綜合運用，感受勾股定理的廣泛應用。

問題：已知圖2—圖4，一只螞蟻從A點出發，沿圓柱表面到點B，求它的最短路程（π取3）。

圖2

教師可以引導學生先從最簡單的紙質圓柱形（圖2）開始測量。有的學生直接用細繩連接A、B兩點，并繃緊，然后測量細繩的長度；有的學生用剪刀剪開紙質側面圖，在平面上測量或計算。對于圖3 這樣的玻璃杯，是不可以剪成平面圖形，通過測量來解決的；對于圖4 的高樓，既不可以剪成平面圖形，又無法直接用繩子測量，這時就需要用到數學知識，通過間接測量，然后計算得到結果。圖3、圖4 的測量要用到三角函數、相似形等知識，教師可以引導學生在九年級下學期結合數學活動“測量建筑物的高度”進行探究。

圖3

圖4

基于勾股定理的綜合與實踐活動是一個系統的研究過程，學生收集資料、小組合作、猜想驗證、探究發現不是一兩節課就可以解決的，而是需要若干個課時進行專題研究。當然，對于初中生來講，不一定要研究出成果，關鍵是通過研究，學會研究的方法，養成愛思考的習慣，培養科學探究的精神。

三、教學反思

STEM 理念和“綜合與實踐”理念在本質上是相通的，其育人價值有共通性。前者是調動科學、技術、工程、數學的綜合運用；“綜合與實踐”旨在培養學生綜合運用各種知識的能力，側重于數學知識的運用。以“綜合與實踐”為抓手，能夠培養學生的STEM 素養；以STEM 理念為統整，引導學生在聯系其他學科知識和實踐經驗的基礎上，系統設計“綜合與實踐”活動課程，符合《義務教育數學課程標準（2022 年版）》所強調的跨學科教學、主題學習以及“做中學”等項目化學習要求。

“綜合與實踐”活動設計不僅體現在“動手活動”上，也體現在“動腦活動”上。數學活動教學更關注學生的活動過程，因此,教師可以設計更加合理的抽象活動，并給予學生充分的動手操作與思考的空間與時間，讓學生親身經歷數學抽象的全過程。一個好的“綜合與實踐”活動，一定是一個項目化工程。首先，教師要對工程進行系統思考，認真設計，從不同的角度去開發讓學生動手動腦的資源，不能狹隘地理解為只是學生動手實踐。其次，教師要對工程的實施做好方案，兼顧可操作性。

堅持“教學評一體化”，推動“綜合與實踐”教學落實到位。“綜合與實踐”活動是培養學生實踐創新能力的重要契機。事實上，“綜合與實踐”的教學一直是數學教學中的薄弱點，筆者希望通過中考命題改革，在考試評價中直接或間接地體現對“綜合與實踐”活動所獲得的素養和能力的考查。例如，通過改變傳統考試題型，加強對應用題的考查，更多地涉及跨學科知識有機結合；通過增加開放性問題，考查學生基于現實情境發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力等。筆者希望通過評價來引導教學轉變，將學生經歷“綜合與實踐”活動所發展的素養在新的評價體系中反映出來。