借助生活素材 生成數(shù)學(xué)概念
——以“函數(shù)”的概念教學(xué)為例

■李 煥

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在認(rèn)識(shí)上有兩次質(zhì)的飛躍。第一次飛躍是代數(shù)式的學(xué)習(xí)，由具體的數(shù)到具有普遍意義的式；第二次飛躍是函數(shù)的學(xué)習(xí)，由靜止不變的數(shù)到運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)。函數(shù)這節(jié)課的教學(xué)就是要帶領(lǐng)學(xué)生感受生活中的變化，體會(huì)變量與變量間對(duì)應(yīng)的關(guān)系，經(jīng)歷由生活情境歸納函數(shù)概念的過程，體會(huì)由特殊到一般、由具體到抽象的思維過程。

對(duì)于函數(shù)概念，筆者認(rèn)為可以從以下5個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)。

一、背景意義高位引領(lǐng)

很多教師在展示了常量與變量后就開始引入具體例子，讓學(xué)生感受變量間的關(guān)系，這種做法顯得操之過急。從學(xué)生的角度來看，他們一定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)疑問：“為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)？”如果不給學(xué)生解釋清楚這個(gè)問題，那么本節(jié)課不可避免地會(huì)成為灌輸式教學(xué)。數(shù)學(xué)是一門講道理的學(xué)科，凡事要問個(gè)為什么。教師如果只交代“數(shù)學(xué)來源于生活，生活中有變量，所以我們要學(xué)習(xí)函數(shù)，研究變量間的關(guān)系”，這便屬于無效教學(xué)，沒有交代清楚學(xué)習(xí)函數(shù)的背景和意義。

對(duì)此，筆者從以下幾個(gè)角度來引導(dǎo)學(xué)生。例如，“我們生活在一個(gè)變化的世界，潮起潮落、云卷云舒、滄海桑田，變化在我們身邊無處不在，這個(gè)世界中唯一不變的就是變化。我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我想要從數(shù)學(xué)的角度去研究身邊的這些變化。”“如果我能了解變化背后的規(guī)律，那么我就能預(yù)測(cè)未來發(fā)展的趨勢(shì)，也就是說我具有了未卜先知的能力。古人用二十四節(jié)氣來預(yù)測(cè)一年中氣候的變化；現(xiàn)在天氣預(yù)報(bào)可以預(yù)測(cè)未來幾天天氣的情況；導(dǎo)航利用大數(shù)據(jù)建模預(yù)測(cè)城市交通的擁堵情況……這些未卜先知是多么神奇而又美妙。”“一個(gè)變化過程中往往有多個(gè)變量，而這些變量之間又有著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系。我們剛開始學(xué)習(xí)，可以從簡(jiǎn)單的入手，先研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系。”這些角度分別說明了學(xué)習(xí)函數(shù)的背景、意義以及學(xué)習(xí)策略，在交代了以上內(nèi)容以后，再進(jìn)入函數(shù)概念的生成過程，學(xué)生便會(huì)帶著強(qiáng)烈的好奇心主動(dòng)投入學(xué)習(xí)。

二、三個(gè)素材全面覆蓋

為了能自然地生成函數(shù)的概念，教師可以給學(xué)生展示3 個(gè)比較特別的生活中的素材，如下頁(yè)圖1—圖3。

圖1

圖1 為某水庫(kù)水位的高低與相應(yīng)蓄水量關(guān)系的表格。由表格可以看出，隨著水位的升高，蓄水量增大；隨著水位的降低，蓄水量減少；當(dāng)水位確定時(shí)，蓄水量也隨之確定。圖2 中，用火柴棒搭建小魚，小魚的條數(shù)n與火柴棒的根數(shù)S之間的關(guān)系可以很清楚地表示出來，隨著n的增大，可以得到表達(dá)式S=6n+2。圖3 為常州市某天24 小時(shí)內(nèi)氣溫變化的圖像。這3 個(gè)素材分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的三種表示方式：表格、表達(dá)式、圖像。雖然這不是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，但是教師在選擇教學(xué)素材時(shí)要考慮全面，讓學(xué)生首次接觸函數(shù)時(shí)就能對(duì)函數(shù)的表示方式有全面的印象，也為下節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的表示方法做好知識(shí)鋪墊。_________________

圖2

圖3

三、三個(gè)層次深度理解

對(duì)于以上3個(gè)素材，每一個(gè)教師都要帶領(lǐng)學(xué)生從3 個(gè)層次進(jìn)行深度理解。以圖1為例，第一個(gè)層次，“變化”。隨著水位升高，蓄水量增大；隨著水位降低，蓄水量減少。第二個(gè)層次，“確定”。當(dāng)水位確定時(shí)，蓄水量也隨著確定。第三個(gè)層次，“對(duì)應(yīng)”。當(dāng)水位取定一個(gè)值時(shí)，蓄水量也有一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)。以上3 個(gè)層次，由具體到抽象，對(duì)函數(shù)概念的闡釋不斷加深。要理解函數(shù)概念，就要理解對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是學(xué)生如果不能理解變量之間變化與確定的關(guān)系，也很難理解對(duì)應(yīng)關(guān)系。如圖1，教材中，其實(shí)編寫者早已將變化與確定寫在了表格下方，這就需要教師認(rèn)真研讀教材，理解編寫者的真實(shí)意圖。

四、生成概念，再識(shí)素材

經(jīng)歷了3個(gè)素材、3個(gè)層次的深入理解，學(xué)生對(duì)變量間的關(guān)系已經(jīng)有了一定認(rèn)識(shí)。函數(shù)概念在學(xué)生頭腦中生長(zhǎng)，此時(shí)，教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將自己的認(rèn)識(shí)表述出來。從表面上來看，這3 個(gè)素材沒什么聯(lián)系，但是如果我們從變化、確定、對(duì)應(yīng)的角度來看，這3個(gè)素材竟然是如此驚人的相似。教師可以請(qǐng)學(xué)生從變化、確定、對(duì)應(yīng)的角度歸納這3 個(gè)素材的共同屬性。由于函數(shù)概念對(duì)學(xué)生來說是非常抽象的，所以，學(xué)生歸納概念時(shí)，如果語(yǔ)言表述不到位，教師可以進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生只需要講出變量間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。

在得出函數(shù)概念后，教師再帶領(lǐng)學(xué)生從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)以上3個(gè)素材：對(duì)于水位高度的每一個(gè)值，蓄水量都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)；對(duì)于小魚的每一個(gè)值，火柴棒的數(shù)量都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)；對(duì)于時(shí)間的每一個(gè)值，溫度都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)。至此，學(xué)生對(duì)于兩個(gè)變量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了4 個(gè)層次，分別是變化、確定、對(duì)應(yīng)、函數(shù)。相信經(jīng)歷以上學(xué)習(xí)過程，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念能有一個(gè)較為深入的理解。

五、滲透歷史文化熏陶

恩格斯說：“有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了。”托馬斯稱函數(shù)概念為近代數(shù)學(xué)思想之花，可見函數(shù)對(duì)近代數(shù)學(xué)發(fā)展的影響之大。那么，在函數(shù)概念的教學(xué)中，如果不給學(xué)生講講函數(shù)的發(fā)展歷史，對(duì)學(xué)生來說也是一種遺憾。對(duì)于函數(shù)的發(fā)展史，教師可以從兩條線來講，其一是歐洲的多位知名數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)發(fā)展做出的貢獻(xiàn)。如萊布尼茲首次使用“function”，伯努利、歐拉、柯西等都給函數(shù)下過定義，奧斯瓦爾德維布倫用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)的定義等。其二是中國(guó)的數(shù)學(xué)家李善蘭和英國(guó)人偉烈亞力一起翻譯了《代數(shù)學(xué)》，將函數(shù)引入了中國(guó)，推動(dòng)了中國(guó)乃至整個(gè)東亞近代數(shù)學(xué)，尤其是微積分的發(fā)展。

總而言之，一堂好的概念課教學(xué)，一定要解決好怎樣逐步生成概念這個(gè)問題。教師要選擇好的生活素材，調(diào)動(dòng)和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、歸納總結(jié)的過程，從而自然地生成概念。