在一道有“問題”的高中數學試題中追根源、釋全景

? 山東省桓臺第一中學 蘇同安

在一些名校或地區的2021屆高三數學試卷中出現了一道有“問題”的試題,不僅答案錯誤,而且所給的選項中也沒有正確答案.

然而,試題題干本身不僅沒有問題,而且還與“初中”的一類典型問題密切相關、本質相同,是值得探究和推廣的.以下針對此題,運用“一題釋全景”的方法,全面分析問題出現的原因,并圍繞此問題進行追根求源、拓展推廣,提煉出其本質內涵,生成從“二維”到“三維”相關知識方法的“全景圖”.

1 試題及分析

試題如圖1,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是該正方體棱上一點,若滿足|PB|+|PC1|=m(m>0)的點P的個數為4,則m的取值范圍是( ).

圖1

命題者給出的參考答案為B,其理由是:

由橢圓(如圖2)的性質,知:

圖2

當m=4時,點P的個數為2.

實際上,點P從點A到點A1,m的值并不是單調遞增,是先“遞減”再“遞增”——這里涉及到一個大家早已熟知且非常典型的初中的最短路徑問題,把此問題進行推廣(二維到三維),便能詮釋當前問題的“本質內涵”,并自然生成相關知識方法的“全景圖”.

2 問題探源

首先追根求源,給出初中的最短路徑問題.

求源問題:在平面內,一條直線l和該直線外的兩點A與B,P是直線l上一點,求PA+PB的最小值,并確定點P的位置.

解決此問題分兩種情況:

一是點A與點B在直線l的異側(如圖3).只要連接AB,其與直線l的交點便是所求的點P,此時PA+PB的最小值為AB的長度;

圖3

二是點A與B在直線l的同側(如圖4).作出A關于直線l的對稱點A′,連接A′B,其與直線l的交點便是所求的點P,此時PA+PB的最小值為A′B的長度.

圖4

3 問題推廣

在空間中,一條直線l和該直線外的兩點A與B,點P是直線l上一點,求PA+PB的最小值,并確定點P的位置.

解決此問題,分為如下兩種情形.

(1)當兩點AB與直線l共面時,屬于上面的求源問題.

(2)當直線AB與直線l異面時,就是本文所分析的試題中易出問題的情形:點P在平面ADD1A1內的棱上(其中的四條棱所在直線均與直線BC1異面).

情形(2)通過圖形變換可轉化成為情形(1),并得到“統一性的結論”.

如圖5,設點B與直線l所確定的平面為α.

圖5

將點A與直線l所確定的平面以l為軸“旋轉”(或折疊)到與平面α“重合”,點A的對應點為A′(讓點A′與點B在l異側).

連接A′B,則A′P=AP(也可看作是以AP為母線,l為軸旋轉形成圓錐側面的兩條母線).

所以,PA+PB=PA′+PB≥A′B,當且僅當A′,P,B三點共線時,等號成立.

這樣已轉化為情形(1)(A′B與直線l共面),由此可總結出具有“共性”的一般結論.

一般結論:點P將直線l分為兩條射線,分別與AP,BP所成角為θ和φ(如圖5),當且僅當θ=φ時,PA+PB取最小值.(共面或異面的共性特征.)

此結論不僅詮釋了各種情形的本質聯系和共性特征,也可進一步思悟聯想光線反射中的“入射角”與“反射角”相等的自然本質.

4 方法總結

根據上面的分析可知,PA+PB最小值的求法及相應點P的確定,主要有如下三種方法.

(1)圖形變換法:利用相關圖形的折疊或旋轉,把“異面”轉化為“共面”.

(2)等角計算法:利用θ=φ,確定點P的位置.(比如利用tanθ=tanφ進行計算.)

(3)設參求解法:圍繞點P,設出恰當參數x,表示出PA+PB=f(x),然后求f(x)的最值.

5 回到原題

此時再回看原題,不但一清二楚,而且還能悟出此題的本質.

下面用上述三種方法簡略解析本試題.重點分析當點P在棱A1A上時的情況.

方法一:如圖6,將正方形ABB1A1以AA1為軸旋轉到與矩形ACC1A1共面,點B的對應點為B′.

圖6

6 原題拓展

有了以上的全景分析和方法總結,自然會產生更全面深入的思考,再將原題進行拓展.

(1)正方體棱長一般化

(2)正方體變為長方體

進而想到的是,把正方體變為長方體.

把試題中的正方體改為長方體,并設AB=a,BC=b,AA1=c.

討論b+c與其最小者的大小即可:

這樣,在更為一般的情境下,更能體會到此問題的本質和價值,也會激發進一步的探究興趣(比如圍繞點P的個數進行拓展),這也是本文更廣泛的意義.

以上,通過對“問題”試題進行的探究分析、追根求源、拓展推廣所形成的“全景圖”以及追根求源、縱橫拓展的研學方法,充分體現出“一題釋全景”思想理念的價值,為學習數學知識方法的“本真”帶來一些啟迪.