局部有源憶阻耦合異質神經元的設計及在DNA編碼圖像加密的應用

王子成 馬永幸 王延峰 孫軍偉

(鄭州輕工業大學電氣信息工程學院 鄭州 450002)

1 引言

2008年首次報道憶阻的物理實現[1,2]。與普通非線性系統相比，含有憶阻的非線性電路具有更豐富的非線性動力學行為[3]。局部有源被認為是復雜性的起源，與無源憶阻相比局部有源憶阻具有更復雜的動態特性[4]。然而，擁有比普通憶阻更高性能的局部有源憶阻模型卻很少，有必要擴增新型局部有源憶阻模型。由于其仿生特性，憶阻被認為是模擬突觸的自然模型[5]。當憶阻涉及神經元回路時，作為耦合突觸表征兩個神經元膜電位之間產生的感應電流。

神經網絡由許多神經元組成，神經元之間通過電突觸或化學突觸連接。對神經元模型已經有一些研究，如Fitzhugh-Nagumo(FN)神經元模型[6]、Hodgkin-Huxley神經元模型[7]、Hopfield神經元網絡[8]和Hindmarsh-Rose(HR)神經元。文獻[9]提出一個由憶阻和2維HR神經元模型組成的HR神經元。文獻[10]研究一種具有共存吸引子的憶阻耦合HR神經元模型。對比上述文獻，為研究復雜動力學活動中系統參數變化對動力學特性的影響，本文對系統的譜熵和3參數最大李雅普諾夫指數圖進行分析。

異質耦合神經元對初始條件、系統參數、遍歷性和隨機性行為的依賴性較高，適用于圖像加密[11,12]。文獻[13]提出一種復合級聯混沌系統的圖像加密算法，該算法具有良好的隨機性統計特征，密鑰空間小。DNA計算具有較高的并行計算能力和巨大的信息存儲能力，引入DNA計算來解決圖像加密的問題。文獻[14]提出一種基于憶阻和動態DNA編碼的加密算法。文獻[15]將超混沌系統與DNA序列相結合實現圖像加密。上述研究中所提混沌系統，其動力學特性較為單一，在面對基于深度神經網絡的新型攻擊算法時，極易遭到攻擊，從而導致加密失敗。局部有源是復雜性的起源，因此基于局部有源憶阻耦合異質神經元的DNA加密具有一定的研究價值。

與之前的結果[16–21]相比本文的主要貢獻如下：設計一種局部有源憶阻模型，本模型在一定程度上擴展憶阻的類型。將局部有源憶阻用于模擬生物突觸，通過耦合FN和HR神經元構建一個局部有源憶阻耦合異質神經元。本異質神經元有多個周期窗，存在混沌、準周期和周期等吸引子。為提高圖像傳輸的抗攻擊能力，提出一種基于局部有源憶阻突觸耦合異質神經元結合DNA編碼的圖像加密算法。噪聲和裁剪攻擊結果表明，本文所提神經元應用于圖像加密具有較高的安全性能。

2 局部有源憶阻數學模型及特性

本文通過引入正弦函數，提出一個局部有源憶阻模型，可以描述為

其中，i是輸出電流，φ代表磁通，vm=y-w表示FN神經元和HR神經元的恢復電位差。

2.1 磁滯回路

當一個周期激勵信號V=Asin(2πft)施加在憶阻上，不同的頻率和幅值對憶阻的影響如圖1所示。幅值A=3固定，憶阻隨頻率變化的電壓-電流曲線如圖1(a)所示。從圖1(a)分析出隨著輸入信號頻率的增加，憶阻的磁滯回線面積逐漸變小。幅值A從1變化到3時，憶阻的電壓-電流曲線如圖1(b)所示。頻率f=1 Hz固定，隨著振幅A增加，磁滯回線的面積將逐漸增大。

圖1 磁滯回線

2.2 局部有源

通常情況下，通過直流電壓-電流曲線判斷局部有源特性。為描述該憶阻的直流電壓-電流曲線，設置dφ/dt=0，得平衡方程V=X-X3。這里，V表示直流電壓，X表示始終滿足dφ/dt=0的可變平衡態。直流電流I表示為

如果X∈[-π,π]，則直流電壓-電流曲線如圖2所示。在直流電壓-電流曲線圖中有1個或多個負斜率，則憶阻是局部有源的。從圖2可以看出，青色曲線的斜率為負值，局部有源區域存在。

圖2 局部有源性

3 局部有源憶阻耦合異質神經元系統及動力學特性

孤立神經元中生物電信號的活動模式相對簡單。一個由兩種不同類型的神經元組成的異質神經元可能有多個電信號。當對異質神經元進行一定程度的刺激時，由于神經元細胞膜內外離子濃度的不同而產生電磁感應電流。將提出的局部有源憶阻與FN和HR神經元模型耦合成為一個5維的局部有源憶阻耦合異質神經元

其中，a, b, c為系統參數，d為憶阻的耦合強度。將參數分別設置為a=5, b=3, c=2和d=0.5。x和z分別為FN神經元和HR神經元的膜電位。y和w分別為FN神經元和HR神經元的恢復電位。本文探討了局部有源憶阻通過耦合影響FN神經元和HR神經元恢復電位的動力學特性。

3.1 局部有源憶阻耦合異質神經元的哈密頓能量

基于哈密頓能量函數的方法被廣泛應用于分析各種動力學系統，有助于探索神經元的能量釋放和供應。根據亥姆霍茲定理，耦合神經元模型的向量場F(x)可以分為兩類：渦旋場Fc(x)和梯度場Fd(x)

其中，Fc(x)表示保守分量，對系統運動相位軌跡的方向沒有影響。Fd(x)表示耗散分量，可以約束系統運動的相位軌跡。哈密頓能量函數可以確定為

對于系統式(4)的局部有源憶阻耦合異質神經元，保守分量和耗散分量可以表示為

局部有源憶阻耦合異質神經元的哈密頓能量函數H可以表示為

對式(7)求解可以得到哈密頓能量函數

對哈密頓能量函數求導可得

經化簡可得到

式(10)可以用矩陣形式表示為

其中，β1=c/a-bx/a,β2=y,β3=az2-1,β4=w,β5= 0 。式(9)—式(11)證實了H˙ =?HTFd(x)的結論，驗證能量函數的選擇。根據對式(8)的分析，哈密頓能量與兩個神經元的膜電位和恢復電位直接相關，而不是外部刺激。

3.2 參數b對動力學特性的影響

系統的初始值為(–1, 0, 1, 0, 0)。當參數b從2.5變化到6.2，分岔圖和李雅普諾夫指數圖如圖3(a)和圖3(b)所示。紅色區域的憶阻耦合強度為0.2，藍色區域的憶阻耦合強度為0.5。紅色區域在范圍(2.5,2.7)內李雅普諾夫指數為(+, 0, –, –, –)，系統表現混沌狀態，在(2.7, 2.78)和(2.84, 3.04)的范圍內李雅普諾夫指數為(0, –, –, –, –)，系統表現為周期態。在(3.33, 3.75), (3.87, 4.97)和(5.07, 6.2)的范圍內李雅普諾夫指數為(0, 0, –, –, –)，系統表現為準周期現象。藍色區域在范圍(2.5, 2.65)內為雙周期狀態，在(2.65, 3)的范圍內系統表現為混沌態。在(3,5.2)的范圍內系統表現為周期和準周期現象。在區域(5.2, 6.2)系統表現為周期態。注意到隨著耦合強度d由0.2變為0.5，系統吸引子的多變性和復雜性都有提高。b=3時的3維相圖及時序圖如圖3(c)和圖3(d)所示。b=4.88時的3維相圖及龐加萊映射圖如圖3(e)和圖3(f)所示。

圖3 系統隨參數b變化時的動力學特性

3.3 譜熵分析

譜熵(Spectral Entropy, SE)可以評估動力系統的復雜性。得到的譜熵值越大則復雜度越高，相反得到的譜熵值越小則復雜度越低。為評估系統式(3)的復雜性，繪制當系統參數a, c發生變化時的譜熵值如圖4所示。當憶阻的耦合強度d=0.5時的譜熵值如圖4(a)所示，當憶阻的耦合強度d=1時的譜熵值如圖4(c)所示。譜熵3維可視化圖如圖4(b)和圖4(d)所示。SE的值接近0，對應藍色區域，藍色區域表示系統式(3)處于周期狀態。在黃色和紅色區域SE值較高，系統式(3)處于混沌狀態。

圖4 復雜性分析，b=3

3.4 3參數的李雅普諾夫指數圖

系統參數的變化會影響系統的動力學特性。為研究更復雜的動力學活動，參數空間(a, b, c)的最大李雅普諾夫指數圖如圖5(a)所示。初始值設為(–1, 0, 1, 0, 0)。當a∈(0, 6), b∈(0, 3)和c∈(–2,6)時，圖5(a)描述參數(a, b, c)之間最大李雅普諾夫指數的關系。藍色和青色區域最大李雅普諾夫小于0對應周期態，紫色區域最大李雅普諾夫等于0代表準周期狀態，粉紅色區域最大李雅普諾夫大于0代表混沌狀態。3個參數的空間剖面圖如圖5(b)所示，該剖面圖可以更清楚地觀察到參數變化對混沌系統的影響。

圖5 3參數的最大李雅普諾夫指數圖

4 電路設計

主電路如圖6所示。在局部有源憶阻耦合異質神經元模型電路中有5個電路變量，vx, vy, vz, vw和vv。電路變量由積分器的輸出電壓表示，推導出局部有源憶阻耦合異質神經元的電路方程為

圖6 主電路

其中，v1和v2為兩個外部偏置電壓，乘法器的輸出增益g1～g8設為1。設C=100 nF，通過對比系統式(4)與式(12)，電路元件的阻值為：R0=R6=R8=R10=R11=R12=R13=R14=10 kΩ, R1=R3=R9=2 kΩ, R2=4 kΩ, R4=R7=3.33 kΩ, R5=5 kΩ。當RL=100 kΩ(d=0.1)時，vx-vz平面的相軌圖如圖7(a)所示。當RL=20 kΩ(d=0.5)時，vx-vy平面的相軌圖如圖7(b)所示。

圖7 仿真結果

5 圖像加密

本文的局部有源憶阻耦合異質神經元由于復雜度高而適用于圖像加密。提出一種基于該局部有源憶阻耦合異質神經元和DNA編碼的圖像加密算法。圖像加密方案共分為9步(加密流程如圖8所示)：引。在每次迭代中，存儲4個狀態值

圖8 加密流程圖

(1) 生成隨機序列k。將系統式(3)離散化后先進行3 000次預迭代消除不良影響，提高安全性。迭代3 000次后，系統再迭代m×n次。用j來表示迭代索在迭代的過程中，使用每個狀態值分別生成兩個不同的密鑰和并將生成的值轉換為0～255的范圍

其中，mod表示模運算用于求余數，floor表示地板操作，將元素舍入為最接近負無窮的整數。密鑰和與式(15)連接起來作為序列K

完整迭代后生成隨機序列k

(2) 對原始圖像P進行GBS得到1維的二進制序列b1。全局位置亂(Global Bit Scrambling, GBS)導

致輸入圖像和密碼圖像之間存在復雜的非線性關系，從而提高安全性。GBS通過兩個步驟實現：原始圖像每個像素的強度值用二進制數字逐一表示，得到一個1維二進制序列b0。隨機序列k按升序排列，得到索引序列kx。根據索引序列kx，b0被全局位置亂為1維二進制序列b1

(3)b1序列由DNA編碼規則3進行編碼，得到DNA序列d1。-1與進行DNA減法運算，得到d2序列。-1代 表d2序 列中第i–1個元素，代表d1序列中第i個元素

(7) 使用第2個DNA編碼規則解碼d4，得到一個二進制序列b2。

(8) 在b2和bk之間進行異或運算，得到二進制序列b3

(9) 二進制序列b3被轉換為十進制像素強度值。將十進制像素強度值重新排列成一個長度為256×256的矩陣，形成密碼圖像Q。

解密過程是加密過程的逆操作。該局部有源憶阻耦合異質神經元的初始條件為x0=0.1, y0=0.2,z0=0.3, w0=0.4和v0=0.5。基于Matlab實現加密算法，選擇256×256的灰度圖像作為加密對象，分析算法的性能。本文算法得到的原始圖像和加密圖像如圖9所示。原始圖像直方圖和加密圖像直方圖如圖10所示。圖像加密的結果表明，加密效果良好。

圖9 原始圖像和加密圖像

圖10 直方圖分析

5.1 信息熵分析

信息熵可以用來反映混沌序列的隨機性，也是評價加密算法的一種重要方法。信息熵的計算方法為

其中，si表示不同的像素值，n等于si的總數，p(si)表示像素值si出現的概率。灰度圖像有256種信息狀態，最小值和最大值分別為0和255。計算得到加密圖像的信息熵為7.997 2。信息熵描述信息源的不確定性，其值越接近8，在加密算法中混沌序列的隨機性越好，安全性越高。表1不同算法下信息熵的比較。

表1 不同算法下信息熵的比較

5.2 相關性分析

原始圖像的像素值高度集中，具有較強的相關性。表2為不同算法下相關系數的比較。加密算法可以使加密圖像中的相鄰像素隨機分布，意味著加密圖像在各個方向上的相關性較低。從各個方向上選擇10 000對相鄰像素，每兩個相鄰像素的分布情況如圖11所示。原始圖像中的像素高度集中，而加密后的圖像則分布均勻。像素分布均勻，說明加密圖像的相關性較低。

表2 不同算法下相關系數的比較

圖11 相關性分析

5.3 系統的魯棒性分析

密碼圖像在傳輸過程中通常因噪聲而退化。噪聲像素對解密圖像的質量有不可忽視的影響，因此圖像加密算法需要在一定程度上抵抗噪聲攻擊。在密碼圖像中加入椒鹽噪聲和胡椒噪聲，對噪聲強度分別為5%, 10%和15%的加密圖像進行解密，解密結果如圖12(a)—圖12(c)所示。加入噪聲后雖然解密后的圖像變模糊，但可以清楚區分出圖像的全局特征。對于噪聲強度為50%的加密圖像進行解密，解密結果如圖12(d)所示。圖像特征已經丟失十分嚴重，加密圖像的噪聲強度高于50%本文的抵抗噪聲攻擊能力開始失效。

加密系統對裁剪攻擊的魯棒性非常重要。為驗證該方案的魯棒性，在抗裁剪攻擊實驗中，對裁剪區域分別為4%, 16%和25%的加密圖像進行解密，解密結果如圖13(a)—圖13(c)所示。裁剪后雖然解密圖像變模糊，但可以清楚地區分出圖像的全局特征。結果表明，該方案能很好抵御裁剪攻擊的能力。對于裁剪區域為50%的加密圖像進行解密，解密結果如圖13(d)所示。圖像特征已經丟失十分嚴重，當加密圖像的裁剪區域大于50%時本文的抵抗裁剪攻擊能力開始失效。綜上分析，該加密方案能夠有效抵抗裁剪攻擊和噪聲攻擊，并能在密文圖像發生不同程度損壞時，對可識別的明文圖像進行解密。

圖13 裁剪攻擊

6 結論

本文引入正弦函數提出一種憶阻模型，并利用直流電壓-電流曲線對局部有源區域進行探討。將所設計的局部有源憶阻應用到FN神經元和HR神經元的異質耦合神經元中。使用分岔圖、譜熵和3參數李雅普諾夫指數圖等對局部有源憶阻耦合異質神經元進行分析，發現該異質神經元具有混沌、準周期和周期等豐富的動態特性。利用Spice仿真電路證明本文提出的異質耦合神經元可以物理實現。最后，提出一種基于局部有源憶阻耦合異質神經元的DNA編碼圖像加密算法，提高數據傳輸的安全性。對加密圖像的噪聲和裁剪分析也表明該加密算法具有較強的魯棒性。