基于固有頻率和邁克耳孫干涉測楊氏模量

楊子瑜,胡彥姍,王雪珍

(南京理工大學 a.電子工程與光電技術學院;b.理學院,江蘇 南京 210094)

楊氏模量是材料抵抗彈性形變能力的標志[1],也是工程設計中選擇機械構件的重要依據之一. 固體材料楊氏模量的測量是理工院校物理實驗中必做實驗之一,測量楊氏模量的方法一般有靜態拉伸法[2]、梁彎曲法[3]、光杠桿法[4]、振動法[5]、劈尖干涉法[6]等,也可以利用拉伸時金屬絲的電阻變化來測量楊氏模量[7].

傳統楊氏模量的測量方法大部分是對微小形變進行直接測量,本文在動力學方程的基礎上結合邁克耳孫干涉的原理,利用材料的固有頻率與楊氏模量的關系,通過邁克耳孫等傾干涉條紋中心光斑強度的周期性變化來獲取材料穩定振動時的固有頻率,從而實現對楊氏模量的間接測量. 相對于光杠桿法1%左右的相對誤差,在相對誤差相差不大的前提下,該方法避免了裝置占地面積大、調節和觀測困難等問題. 同時,區別于傳統邁克耳孫干涉法是對一定持續作用力下的微小形變的直接測量,導致人為觀測困難、受外界作用力變化干擾大,單次只能測得1組數據等問題. 本實驗將測量對象轉換為振動頻率進行間接測量,振動頻率的變化可以通過示波器直觀顯示. 另外,固有頻率振動穩定且起振操作簡單,也可通過增加周期數量減小誤差.

1 實驗原理

1.1 材料的楊氏模量與固有振動頻率的關系

根據胡克定律,在物體的彈性限度內,應力與應變成正比,該比值稱為楊氏模量,基本公式為

(1)

將材料制作為如圖1(a)所示長為L、橫截面厚為a、寬為b的長條棒狀,固定一端,對其運動過程中的受力情況進行分析[8-9].取距離固定端為x、長度為Δx的一小段材料,將其形變放大,由于兩端的形變程度不同,設其所受彎曲力矩分別為M和M+ΔM,兩端的截面受到切應力分別為F和F+ΔF,如圖1(b)所示.可見該段材料中間層ghij(只有形變,無拉伸或壓縮,在振動角度較小時可視為與xoz平面平行)上部被拉伸且下部被壓縮,取左側截面,求其力矩,分析距離中間層為y0的薄層,可以得到作用在該薄層截面的小元面積ds=bΔy上的總力為

(a)

(2)

其中,fs為作用在ds上的長度形變應力,Δφ為截面的彎曲形變角,Δx為L上的微小段,y0為薄層與中間層的距離,如圖2所示.

圖2 材料gh側平面圖[8]

圖2為gh側的正視圖,OO′為該平面的中心線,作用在ds上的力對以O點的中心線(在中間層內而垂直于紙面)為軸的彎曲力矩,對于整個截面積分記為截面張力對中心軸的彎曲力矩M為

(3)

由于振動幅度十分微小,則有

(4)

其中,η(x,t)為距離固定端x的截面在t時刻振動的位移,φ為角位移,φ1和φ2為O點和O′點側截面旋轉偏角,則

(5)

(6)

又因為切應力的力矩和彎曲力矩平衡關系,加之Δx極小,所以可推知棒彎曲振動時的運動方程為

(7)

根據式(7),可設彎曲振動時棒中每點都做簡諧振動,則

η(x,t)=Y(x)cos (ωt-φ),

(8)

其中,ω為振動頻率,Y(x)為該點做振動的振幅分布函數,將式(8)代入式(7),解得分布函數為

(9)

其中,A～D均為常量.

根據邊界條件可求其簡諧振動的固有頻率,設固定點為原點o,其邊界條件為

將邊界條件代入式(9)中,可得頻率ω滿足:

(10)

利用式(10)通過圖解法確定其基頻為

(11)

于是得到楊氏模量與基頻之間的關系為

(12)

1.2 基于邁克耳孫干涉光路測固有頻率

實驗光路如圖3所示,調整儀器使激光器發出的光通過邁克耳孫光路后形成的干涉中心對準光電探測器的探頭.當干涉條紋中心為亮斑時,光程差為2d=kλ.中心點的干涉亮斑每涌出1次,相當于平面鏡移動半個波長,則Δd=Nλ/2,因此可以測量nm量級的微小位移.

圖3 實驗光路圖

為了更好地展現光程差的變化,圖4給出了全反鏡與材料連接處的放大圖.為了避免全反鏡對測量結果的影響,實際所用全反鏡的尺寸在滿足反射的前提下應越小越好,待測材料與全反鏡的質量比應越大越好,以避免對材料的整體密度、慣性矩等產生較大影響.實驗中,待測材料和全反鏡的體積比約為30(材料的體積為2 069 mm3,全反鏡的體積為68 mm3),質量比約為85(材料的質量為16.200 g,全反鏡的質量為0.190 g),因此全反鏡對測量結果的影響較小.

圖4 全反鏡與材料連接處的放大圖

為避免其他方向的諧振產生較大影響,通過夾具夾緊厚度方向,同時材料的寬厚比(即b/a)也需取較大值. 實驗中,材料的寬厚比約為23(寬20.000 mm,厚0.862 mm).

待測材料(附全反射鏡)示意圖如圖5所示,觀察到在這些參量設置下示波器顯示圖形變化如圖6所示,與理論推導周期變化相符.

圖5 待測材料(附全反鏡)示意圖

圖6 簡諧振動位移、速度變化曲線和實際中心光斑光強隨時間變化示意圖

在待測材料下方(靠近固定端)沿著垂直于寬邊方向施加力,使材料自由端自由振動(支架主要作用為使固定端不產生位移,其對自由端的作用力可以忽略),理論分析中已將該條件考慮進邊界條件,此時的振動頻率即為待測材料的固有頻率. 將待測材料與邁克耳孫干涉儀的固定反射鏡做硬性連接,則該點的位移信息將以光信號形式輸出.

采用光電探測器將光信號轉換成電信號,并將電信號接入示波器進行觀察,可以觀察到信號呈現周期調制的正弦規律變化. 根據式(8)可以推測板上任意一點振動位移可近似為正弦函數,而干涉級次變化ΔN又與移動距離Δη成正比,即ΔN～Δη,本文定義示波器波形密度為單位時間內干涉級次改變量,即P=ΔN/Δt,結合振動點移動速度v=Δη/Δt,故而可推導得出波形密度與振動點移動速度成正比,如圖6所示. 速度越大,波形越密,故而2次疏密交替結束,代表物體1次正弦運動周期,則固有頻率可以由最終采集到的電信號周期體現.

2 實驗過程

2.1 實驗儀器的安裝與調整

實驗中主要用到器材:氦氖激光器、擴束鏡、半透半反鏡、全反鏡、光電轉換、光電探測器、示波器(用于觀察現象)及數據采集卡(用于采集數據計算固有頻率),實驗光路見圖3.

搭建邁克耳孫干涉光路,將儀器固定于防震臺上,并且保持激光器、擴束鏡、全反鏡(一面與待測材料相連)和分束鏡的中心等高,使2個全反鏡相互垂直,產生干涉圓環并且用光電探測器接收(圖7). 自由振動時可在示波器上看到明顯的振動周期,由數據采集卡采集圓環光斑的光強信號數據.

圖7 干涉圓環

為了獲取較好的信噪比,根據中心光斑尺寸在光電探測器探頭處加直徑為3～5 mm的光闌,使探測口僅接收中心光斑的信號.

2.2 實驗操作

1)給待測材料垂直于寬邊的初始振動,此時肉眼觀察不到材料的振動,但毛玻璃上會出現條紋的“涌出”或者“陷入”現象.

2)將光電探測器的接收孔對準中心光斑并連接示波器,在示波器屏幕上可以觀察到周期變化的信號.

3)將光電探測器通過數據采集卡連接電腦,并利用電腦對數據進行處理.

3 實驗數據及其處理

實驗所用材料為45鋼,E=209 GPa,ρ=7.85 g/cm3,由直尺和千分尺測得L=12.00 cm,a=0.862 mm.

由數據采集卡收集數據(采集速率為50 kb/s),利用計算機軟件繪制出圖像,如圖8所示. 圖8最開始的區域為材料起振階段,取材料穩定振動的階段放大后可以看見更明顯的周期變化,如圖9所示.

圖8 數據采集卡收集數據

圖8～9所示的觀測現象符合圖6所示位移、速度與波形密度的理論解釋. 利用信號采集卡采集信號并對數據進行計算處理. 由信號波形圖可觀察到,起振后待測材料將產生有規律的振動,取穩定后波段進行處理. 計算材料的楊氏模量,測量結果見表1. 計算得E=(207.3±2.4) GPa.

表1 楊氏模量的測量結果(15個周期)

4 結束語

本文所述方法適用于塑性片狀材料以及具有一定彈性的片狀金屬材料. 限制因素主要為材料的尺寸和性質,即材料的厚度會對推導過程中部分步驟產生影響,故而樣品的尺寸應滿足寬度與厚度的比值大于10;若在加工過程中材料易斷裂或者不能制成所要求的形狀,則不適用于本方案. 因為增加了微小鏡面,當材料與鏡面的質量相差較大時,基本不影響測量,但若是纖維等小密度復合材料,則需選取較大體積才能滿足要求,由于材料的體積過大,振動產生的偏角增大,可能無法產生穩定的等傾干涉條紋,因此對材料的密度有一定限制,同時,要求材料的密度夠均勻(密度不均勻時,不同的振動方向可能測量的固有振動頻率不同).