問題鏈教學的實踐與思考
——以“三角形中的最值”為例

許榮好

(江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 215124)

1 問題鏈的概念與內涵

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出:“教師應準確把握課程目標、課程內容、學業質量要求……促進數學學科核心素養的提升及水平的達成[1]”.由于上述目標的達成不是一蹴而就的,具有階段性、連續性、整合性等特點,因此教師要積極探索數學教學策略,優化課堂設計方案．

近年來,唐恒鈞教授領銜的研究團隊在系統研究“問題”與“問題解決”的基礎上,提出了“問題鏈”的基本概念．唐教授指出,數學問題鏈是指教師在課外預設,并在課堂上以多種方式呈現給學生的、有序的主干問題序列,它既為學生提供了數學學習的骨架,又為學生發展高水平的思維提供了可能性[2]．其內涵主要包括以下五個方面:第一,問題鏈是由主干問題組成的;第二,問題鏈中的問題是有序的;第三,問題鏈是在課外預設的,但并非線性的、僵化的;第四,問題鏈教學倡導用主干問題驅動學生思考,為學生提供冷靜思考的時間和充分表達的機會;第五,盡管問題鏈中的問題以教師課外預設為主,課堂上卻是在師生交互作用下得以呈現的．

2 問題鏈設計的基本原則

問題鏈的本質是具有邏輯連貫性的“情境和問題”,引導學生體驗數學知識發生發展過程,理解抽象學習活動中蘊含的思想方法．

(1)最近發展區原則

問題鏈設計中,要以學生的實際情況為準,要遵循最近發展區原則．教師在進行問題鏈設計時,既要參考學生現階段的認知發展水平,又要考慮到學生可能達到的水平和能力,問題設計應合情合理,難度適中.這樣既可以讓學生有探索的欲望,又可以保證學生能夠解決相關問題,保護學生信心不受挫,并提升學生的數學學習興趣．

(2)循序漸進原則

問題鏈設計要遵循漸進的基本原則,這不僅符合學生的認知規律,也符合數學課程的基本規律．知識的建構應從簡單到復雜、從淺到深,保證問題設計具有層次性,根據知識的難易程度循序漸進地設計問題,這樣才能發揮問題鏈的引導價值和啟發價值．

(3)趣味性原則

問題鏈設計要遵循趣味性原則,保證問題能吸引學生的注意力．問題探索以學生為主,在教師和問題的引導下讓學生自主對課程進行探究,最終達到幫助學生理解知識、鞏固知識、提升能力的目的．

3 問題鏈教學的實踐

不管是數學概念的形成還是數學規律的建構,都離不開問題的引導．數學家哈爾莫斯曾指出,問題是數學的心臟．數學的發展過程可以看成:問題的提出→問題的解決→新問題的提出→新問題的解決．可見問題鏈對于數學研究至關重要．現以筆者執教的一節市級公開課“三角形中的最值”為例,談談自己的做法和思考．

三角形中的最值是高考考查的熱點和難點問題,此類問題突出考查正余弦定理、三角形面積公式、三角函數性質以及基本不等式等．從關鍵能力層面上看,綜合考查推理論證能力、運算求解能力和數學建模能力,同時滲透了數形結合、轉化與化歸、函數與方程等重要思想．

·環節1 通過問題鏈歸納最值問題的求解方法

師:的確,在求解三角形問題時,我們通常進行邊角之間的互換．

圖1

生:可以嘗試以目標為導向,直接將BD的長看成變量(設BD=x),直接構建目標函數,并求其最小值．

師:很好!直接選取BD為變量,方法容易理解,求解過程也很清晰簡潔,這也是此類問題的通性通法．

生:老師,這個方法可以再優化.

師:這位同學思維很活躍,我們一起來聽聽他的想法．

生:我們能觀察到,題中的∠ADB是特殊角,所以可以考慮建系求出各點坐標,用解析幾何的方法來求解此題．

師:數學家拉格朗日曾說過,如果代數與幾何各自分開發展,那它的進步將十分緩慢,而且應用范圍也很有限,但若兩者互相結合而共同發展,則會相互加強,并以快速的步伐向著完美化的方向猛進．我們來嘗試一下建系求解．

圖2

師:“爪”形三角形的最值問題,其本質可以追溯到函數思想,即選擇合適的變量,構建目標函數,將三角形中的最值問題轉化成函數的最值問題．

設計意圖例1是經典的解三角形問題,可以使用角元變量,而后選擇三角函數、基本不等式加以處理．對于這類問題的分析學生是熟悉的,但對求解方法的不斷優化、如何選用最恰當的變量則是比較薄弱的．因此,解決此類問題往往分兩步走:一是在課上給學生充分表達的機會,讓他們完整體驗數據的計算,指導學生將思路形成文字,既達成課堂以學生為主體的目標,又為其指明了解決此類問題的常規方法;二是通過問題鏈,以師生互動的方式,逐一解決問題鏈上的一系列問題,形成對不同方法的欣賞和辨析,進而加深學生對此類問題的理解．

·環節2 通過問題鏈歸納尋找最值問題的最優解

師:通過前期方法的歸納,最值問題就是尋找恰當的變量,構建目標函數,進而求目標函數的最值.本題中可以選擇哪些量作為變量?

生:選擇角作為變量或者邊作為變量．

師:若是用角,用哪個角作為變量?

師:此思路是當年高考不少考生都能想到的做法,但需要調用的知識較多,推理過程也比較麻煩,很多考生沒有完整解答．是否可以選用其他角來求解?

圖3

師:很好!能將已知條件進一步挖深,探究出邊長之間的關系,根據我們的經驗,能用角元處理的問題,我們也可以嘗試用邊元處理．那么你能看出哪條邊長可以作為變量研究呢?

師:此方法求解過程清晰,相對來說也不麻煩,效率很高,說明要想尋找解題的最優解,那就一定要充分挖掘題目中的條件．

設計意圖例2由高考題改編而來,教學的重點是讓學生充分理解題意,感受到三角形中最值問題的靈活多變．學生處理問題時往往不能第一時間發現最優解,那就需要用問題鏈的形式,引導學生不斷思考,直至找到最合適的解法．

4 問題鏈在教學過程中的有效性思考

(1)創設問題鏈需體現整體性

數學課堂教學一般會根據某條固定的結構線索展開,因此在開展問題鏈設計時,教師要能把握教學內容的結構線索,從整體的視角對教學內容進行設計．只有通過對教學內容的整體理解,并在問題鏈的設計中得以體現,才能最終實現數學教學的育人價值．

(2)創設問題鏈需體現主體性

問題鏈光靠教師設計還不足以實現問題鏈的有效性,學生親歷問題鏈的生成過程才是關鍵．創設問題鏈需要體現學生的主體性,需要有學生的積極思維參與,需要結合學生上課的實際情況不斷地加以調整．

(3)創設問題鏈需體現發展性

新課標進一步明確了數學學科的核心素養,更新了數學的教學內容,增強了指導性．新課標明確地提出要學會用數學的眼光觀察世界,用數學的思維分析世界,用數學的語言表達世界．因此,問題鏈的設計必須體現發展性,把握對學生的總體期望,將課程標準中的核心素養內涵具體化到問題鏈的每一個環節里．